Cómo se valoran las opciones

La prima de una opción es el precio de mercado de su derecho contractual. Ese precio refleja el valor que la opción puede aportar al vencimiento, el tiempo restante y las condiciones de ejercicio y liquidación. Un modelo de valoración estima un valor teórico a partir de variables especificadas, entre ellas el precio del subyacente, el precio de ejercicio, la volatilidad, las tasas de interés y los dividendos. El precio al que realmente puede ejecutarse una operación lo determina el mercado disponible, no el modelo por sí solo.

Principales variables de valoración

Precio del subyacente y precio de ejercicio

Si las demás variables de valoración no cambian, un precio mayor del subyacente aumenta el valor de una call y reduce el de una put. El precio fijo de compra de la call se vuelve más ventajoso al subir el subyacente; el precio fijo de venta de la put se vuelve menos ventajoso. Modificar el precio de ejercicio tiene el efecto opuesto. Un precio de ejercicio inferior mejora el derecho de compra de una call, mientras que uno superior mejora el derecho de venta de una put.

La magnitud de la respuesta depende de la situación de la opción respecto al precio de ejercicio. Una call muy dentro del dinero suele responder de forma más parecida al subyacente porque una parte sustancial de su valor es la ventaja de compra que ya ofrece. Una call fuera del dinero responde menos a un pequeño movimiento del precio porque el subyacente debe superar el precio de ejercicio para que tenga valor al vencimiento. Estas sensibilidades variables se miden mediante las griegas de la opción.

Tiempo y volatilidad

El tiempo determina el horizonte restante durante el cual puede cambiar el subyacente; la volatilidad describe la magnitud de la variabilidad de sus rendimientos. En los modelos estándar de valoración de opciones, una volatilidad mayor suele aumentar tanto el valor de las calls como el de las puts. Los escenarios favorables pueden aportar valores al vencimiento más altos, mientras que en los desfavorables el titular conserva la libertad de no ejercer. Por ello, una opción puede tener una prima positiva aunque su precio de ejercicio no ofrezca ninguna ventaja al precio actual del subyacente.

A medida que se acerca el vencimiento, queda menos oportunidad de que cambie el valor final y el valor temporal suele disminuir. El ritmo de disminución depende de la situación de la opción respecto al precio de ejercicio y del plazo restante. Por tanto, una call puede perder valor pese a una subida moderada del subyacente si la pérdida de valor temporal o una caída de la volatilidad tienen un efecto mayor. Las mismas consideraciones se aplican a una put tras una caída moderada del subyacente.

Tasas de interés y dividendos

El ejercicio implica un pago al precio de ejercicio. Unas tasas de interés más altas reducen el valor actual de un pago futuro, lo que suele beneficiar al titular de una call que puede aplazar ese pago. Para el titular de una put, el precio de ejercicio representa un importe por cobrar, por lo que el descuento suele actuar en sentido contrario. Estas comparaciones mantienen constantes el precio del subyacente y las demás variables; no predicen cómo reaccionará el propio subyacente a los cambios de las tasas de interés.

Los dividendos se pagan a los accionistas, no a los titulares de opciones. Las distribuciones esperadas también reducen el precio futuro exdividendo de la acción frente a una trayectoria idéntica en la que no se realizara ese pago. Por ello, unos dividendos esperados más altos suelen reducir el valor de las calls y aumentar el de las puts. Las fechas y los importes de las distribuciones también pueden influir en la conveniencia del ejercicio anticipado, especialmente en una call dentro del dinero con poco valor temporal restante.

Precio de mercado, valor teórico y volatilidad implícita

Los precios de compra y venta describen los precios a los que los participantes del mercado están dispuestos a comprar y vender cantidades determinadas. Un modelo proporciona una referencia teórica basada en sus supuestos. Distintas previsiones de volatilidad, estimaciones de dividendos o tratamientos del ejercicio pueden producir valores diferentes para el mismo contrato, mientras que los costos de transacción y la profundidad del mercado afectan a los precios disponibles en la práctica.

La volatilidad implícita, o IV, invierte el cálculo habitual de valoración. Con las demás variables constantes, es la volatilidad que hace que el modelo reproduzca una prima de mercado seleccionada. El precio de compra, el punto medio y el precio de venta pueden implicar volatilidades diferentes. Por tanto, la IV está condicionada al precio elegido y a los supuestos del modelo, en lugar de ser una propiedad del subyacente observada de forma independiente.

Modelos de valoración europeos y americanos

El modelo de Black–Scholes–Merton valora opciones de estilo europeo, que solo pueden ejercerse al vencimiento. Sus supuestos incluyen cambios continuos del precio del subyacente, volatilidad y tasas de interés constantes y negociación sin fricciones. La formulación ajustada por dividendos representa las distribuciones mediante un rendimiento continuo en lugar de pagos individuales.

La valoración puede deducirse replicando la opción con una tenencia variable de acciones y una posición de endeudamiento o préstamo. Bajo los supuestos del modelo, ajustar la cantidad de acciones a medida que cambian los precios reproduce el valor de la opción al vencimiento. La cartera de réplica y la opción deben entonces tener el mismo valor; de lo contrario, la diferencia de precios generaría un arbitraje. Este razonamiento determina el precio de la opción sin exigir una previsión del rendimiento esperado de invertir en el subyacente.

Una opción de estilo americano permite además el ejercicio anticipado. Un árbol binomial aproxima la valoración dividiendo el plazo restante en pasos con posibles subidas y bajadas de precio. El cálculo parte de los valores al vencimiento y recorre el árbol hacia atrás. En cada oportunidad de ejercicio, compara el valor intrínseco con el valor descontado de continuar manteniendo la opción y utiliza el mayor de ambos. Así, el derecho de ejercicio se valora explícitamente en vez de tratarlo como si solo estuviera disponible en la fecha final.

En una call sobre acciones que no pagan dividendos, el ejercicio anticipado no añade valor bajo supuestos de ausencia de fricciones y tasas de interés no negativas. Mantener la opción conserva la posibilidad de elegir y aplaza el pago al precio de ejercicio. En ese caso, la fórmula europea también valora la call de estilo americano. Una call sobre acciones que pagan dividendos o una put dentro del dinero pueden beneficiarse del ejercicio anticipado, por lo que esa equivalencia no se aplica de forma general.

El estilo de ejercicio también matiza la relación habitual entre tiempo y valor. Una opción americana idéntica salvo por un vencimiento más lejano incluye las oportunidades de ejercicio de la opción de menor plazo y añade otras posteriores. Una opción europea, en cambio, aplaza su única fecha de ejercicio. Con tasas de interés positivas, una put europea muy dentro del dinero puede perder valor al ampliarse su plazo, porque se retrasa el cobro al precio de ejercicio. Este efecto financiero explica por qué disponer de más tiempo no aumenta el valor de todas las opciones europeas.

Fórmulas de valoración de opciones europeas

Sean $S$ el precio actual del subyacente, $K$ el precio de ejercicio y $T$ el tiempo restante en años. La volatilidad anual es $\sigma$ , la tasa de interés con capitalización continua es $r$ y el rendimiento continuo por dividendos es $y$ . La volatilidad y las tasas se introducen como decimales; por ejemplo, una volatilidad del 20% es $0.20$ . Con precios, tiempo y volatilidad positivos, el valor por acción de la call, $C$ , y el de la put, $P$ , son:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

El factor $e^{-rT}$ descuenta el pago al precio de ejercicio, y $e^{-yT}$ ajusta el término del precio del subyacente por el rendimiento continuo por dividendos. La función $N(z)$ es la distribución normal estándar acumulada: la probabilidad de que una variable normal estándar no sea mayor que $z$ . Sus argumentos son:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Aquí, $\ln$ representa el logaritmo natural. El numerador de $d_1$ combina la relación entre el precio al contado y el de ejercicio con la financiación, los dividendos y la volatilidad durante el plazo restante. El denominador ajusta esa relación por la variabilidad del modelo en el mismo horizonte. La fórmula de $d_2$ resta esa magnitud de volatilidad de $d_1$ .

Por ejemplo, una opción europea con precio del subyacente de $750, precio de ejercicio de $775, 45 días restantes, volatilidad del 20%, tasa de interés del 4% y rendimiento continuo por dividendos del 1% tiene un valor aproximado por acción de $12.03 para la call y de $34.14 para la put cuando $T=45/365.25$ .

Al vencimiento, el valor se reduce al valor intrínseco. Las fórmulas mostradas requieren un tratamiento límite separado cuando la volatilidad es cero: en ese caso, el modelo sigue una trayectoria determinista del precio del subyacente y descuenta el valor final resultante.

Limitaciones de los modelos

Los dividendos reales se pagan en fechas concretas, los precios de mercado pueden registrar saltos y la volatilidad cambia con el tiempo. Una volatilidad constante y un rendimiento continuo por dividendos simplifican estas características en lugar de reproducirlas exactamente. Un árbol binomial finito añade otra aproximación al limitar las decisiones de ejercicio a sus pasos temporales. Por tanto, el resultado del modelo es una valoración condicionada que debe interpretarse junto con las especificaciones del contrato, las cotizaciones observadas y los supuestos utilizados.