Jak wycenia się opcje

Premia opcyjna jest rynkową ceną prawa wynikającego z kontraktu. Odzwierciedla możliwą wypłatę z opcji, pozostały czas oraz warunki wykonania i rozrachunku. Model wyceny szacuje wartość teoretyczną na podstawie określonych parametrów, w tym ceny instrumentu bazowego, ceny wykonania, zmienności, stóp procentowych i dywidend. Cenę, po której można faktycznie zawrzeć transakcję, wyznacza dostępny rynek, a nie sam model. 1

Główne parametry wyceny

Cena instrumentu bazowego i cena wykonania

Przy pozostałych parametrach wyceny bez zmian wyższa cena instrumentu bazowego zwiększa wartość opcji call i zmniejsza wartość opcji put. Stała cena zakupu zapewniana przez opcję call staje się korzystniejsza wraz ze wzrostem instrumentu bazowego; stała cena sprzedaży zapewniana przez opcję put staje się mniej korzystna. Zmiana ceny wykonania działa odwrotnie. Niższa cena wykonania podnosi wartość prawa kupna z opcji call, natomiast wyższa cena wykonania podnosi wartość prawa sprzedaży z opcji put.

Skala reakcji zależy od moneyness. Opcja call głęboko w pieniądzu zwykle reaguje bardziej podobnie do instrumentu bazowego, ponieważ znaczną część jej wartości stanowi już istniejąca korzyść z ceny zakupu. Opcja call poza pieniądzem słabiej reaguje na niewielki ruch ceny, gdyż do uzyskania wypłaty w terminie wygaśnięcia cena instrumentu bazowego musi przekroczyć cenę wykonania. Te zmieniające się wrażliwości cenowe mierzą delta i gamma.

Czas i zmienność

Czas wyznacza pozostały horyzont, w którym cena instrumentu bazowego może się zmienić; zmienność opisuje skalę zróżnicowania jego stóp zwrotu. W standardowych modelach wyceny opcji wyższa zmienność na ogół podnosi wartość zarówno opcji call, jak i put. Korzystne scenariusze mogą dawać większe wypłaty, a w niekorzystnych posiadacz nadal może zrezygnować z wykonania. Opcja może więc mieć dodatnią premię nawet wtedy, gdy przy bieżącej cenie instrumentu bazowego jej cena wykonania nie zapewnia żadnej korzyści. 2

W miarę zbliżania się wygaśnięcia maleją możliwości zmiany wypłaty, a wartość czasowa na ogół spada. Tempo tego spadku zależy od moneyness i pozostałego okresu. Dłuższy czas nie zawsze jednak zwiększa wartość opcji. Opcja amerykańska identyczna pod pozostałymi względami z późniejszym terminem wygaśnięcia obejmuje możliwości wykonania opcji krótszej i dodaje kolejne. Opcja europejska natomiast odracza swój jedyny termin wykonania. Przy dodatnich stopach procentowych europejska opcja put głęboko w pieniądzu może tracić na wartości wraz z wydłużeniem okresu, ponieważ otrzymanie wpływów po cenie wykonania zostaje opóźnione.

Opcja call może zatem tracić na wartości mimo niewielkiego wzrostu instrumentu bazowego, jeżeli utrata wartości czasowej lub spadek zmienności mają większy wpływ. Analogiczne rozważania dotyczą opcji put po niewielkim spadku instrumentu bazowego.

Stopy procentowe i dywidendy

Wykonanie wiąże się z płatnością po cenie wykonania. Wyższe stopy procentowe obniżają wartość bieżącą przyszłej płatności, co na ogół sprzyja posiadaczowi opcji call, który może odroczyć zapłatę ceny wykonania. Dla posiadacza opcji put cena wykonania oznacza przyszłe wpływy, dlatego dyskontowanie zwykle działa w przeciwnym kierunku. Porównania te zakładają niezmienioną cenę instrumentu bazowego i pozostałe parametry; nie przewidują reakcji samego instrumentu bazowego na zmiany stóp procentowych.

Dywidendy otrzymują akcjonariusze, a nie posiadacze opcji. Oczekiwane wypłaty obniżają również przyszłą cenę akcji po odłączeniu prawa do dywidendy w porównaniu ze ścieżką bez wypłaty, identyczną pod pozostałymi względami. Wyższe oczekiwane dywidendy na ogół obniżają więc wartość opcji call i podnoszą wartość opcji put. Daty i kwoty wypłat mogą także wpływać na opłacalność wcześniejszego wykonania, szczególnie w przypadku opcji call w pieniądzu z niewielką pozostałą wartością czasową. 3

Dlaczego wynik kalkulatora różni się od wyniku u brokera?

Często obie liczby mierzą różne rzeczy. Wartość modelowa, cena referencyjna do wyceny u brokera i cena zrealizowanej transakcji nie są zamienne. Zanim zaczniesz szukać błędu obliczeń, sprawdź rodzaj ceny, kontrakt, jednostki, moment wyceny i premię otwarcia. Jak zaznacza omówienie modeli wyceny przez OIC, wzory szacują wartości teoretyczne, a rzeczywiste premie wyznacza rynek.

Porównuj ceny oznaczające to samo

Cena kupna (bid) jest oferowaną ceną zakupu, a cena sprzedaży (ask) — oferowaną ceną sprzedaży. Ich cena środkowa jest jedynie średnią, a nie zawartą transakcją. Cena ostatniej transakcji rejestruje wcześniejszą realizację, która może już nie odzwierciedlać rynku. Liczą się również moment kwotowania i dostępna liczba kontraktów; przewodnik po kwotowaniach opcji wyjaśnia te pola.

Załóżmy, że kupiłeś jedną opcję po $8.70 na akcję. Późniejsze hipotetyczne kwotowanie pokazuje cenę kupna $8.30, cenę sprzedaży $8.70 i cenę ostatniej transakcji $9.10. Cena środkowa wynosi $8.50. Przy mnożniku 100 akcji:

Porównanie z zakupem po $8.70	Obliczenie przed kosztami	Znaczenie
Sprzedaż zamykająca faktycznie zostaje zrealizowana po $8.30	($8.30 − $8.70) × 100 = −$40	Zrealizowana strata dla tej hipotetycznej realizacji
Broker wycenia otwartą pozycję po $8.50	($8.50 − $8.70) × 100 = −$20	Niezrealizowany szacunek, jeżeli broker stosuje cenę środkową
Ekran pokazuje cenę ostatniej transakcji $9.10	Nie ustalono, że doszło do nowej sprzedaży	Wcześniejsza transakcja nie wyznacza Twojej ceny wyjścia

Są to kwoty ilustracyjne, a nie kwotowania na żywo. Brokerzy mogą stosować różne ceny referencyjne do wyceny, a opłaty i inne koszty zmieniają wynik. Nawet aktualnie wyświetlana cena kupna nie gwarantuje późniejszej realizacji po tej cenie.

Dopasuj kontrakt i jednostki

Sprawdź instrument bazowy, typ call lub put, cenę wykonania, wygaśnięcie, styl wykonania, liczbę kontraktów i mnożnik. Premia na akcję nie jest wartością całej pozycji: $8.50 na akcję to $850 za jeden kontrakt na 100 akcji, przed kosztami. Inne produkty i kontrakty skorygowane mogą mieć odmienne mnożniki lub warunki rozrachunku.

Uzgodnij założenia i moment wyceny

Porównuj tę samą cenę instrumentu bazowego, pozostały czas, IV, stopę procentową i dywidendy. Nieaktualna cena akcji, odmienne założenie dotyczące dywidend czy inny sposób uwzględniania wcześniejszego wykonania mogą wyjaśniać różnicę bez błędu arytmetycznego w którymkolwiek obliczeniu.

Ten kalkulator wykorzystuje Twoje założenia, a nie dane brokera. Symbol oznacza scenariusz; nie pobiera kwotowań. Wszystkie elementy mają wspólne wygaśnięcie, zmienność, stopę procentową i stopę dywidendy, podczas gdy rynkowa IV może różnić się między cenami wykonania i terminami. Wycena wykorzystuje pełne dni: wygaśnięcie dziś oznacza zerowy pozostały czas modelowy i wartość wewnętrzną, a nie utratę wartości czasowej w ciągu sesji. Modele i jednostki opisuje metodyka.

Sprawdź, co oznacza premia otwarcia

Cena wejścia to cena instrumentu bazowego przy otwarciu, a nie zapłacona premia opcyjna. Kalkulator modeluje premie otwarcia przy tej cenie i dzisiejszej dacie. Edycja pola Cena wejścia, IV, stóp, dywidend lub parametrów kontraktu powoduje ponowne obliczenie tych premii i podsumowania pozycji. Suwak ceny w widoku czasu zmienia tę samą cenę otwarcia.

Pole Data analizy zmienia datę wyceny na wykresie ceny akcji, a nie premię otwarcia lub podsumowanie pozycji na dziś. Widok ceny akcji zmienia cenę instrumentu bazowego w tym dniu; widok czasu utrzymuje stałą wartość pola Cena wejścia i zmienia datę. Odczytanie punktu na krzywej jest czymś innym niż edycja założenia otwarcia.

Nie ma pola ceny rzeczywistej realizacji ani importu od brokera. Dostosowywanie założeń, aż premia zrówna się z ceną Twojego zakupu, nie zamienia wykresu w zapis tej transakcji. Wynik rzeczywistej transakcji uzgadniaj na podstawie premii wejścia i wyjścia, liczby kontraktów, mnożnika i kosztów; dla pozycji otwartej ustal cenę referencyjną użytą do wyceny.

Interpretuj IV w kontekście ceny i modelu

Zmienność implikowana, czyli IV, odwraca zwykłe obliczenie wyceny. Przy pozostałych parametrach bez zmian jest to zmienność, przy której wybrany model odtwarza wybraną premię. Cena kupna, cena środkowa i cena sprzedaży mogą więc wskazywać różne IV. Na wynik wpływają również założenia dotyczące czasu, dywidend i wykonania. IV należy odczytywać razem z tymi parametrami, jak wyjaśnia przewodnik Zmienność implikowana.

Modele wyceny opcji europejskich i amerykańskich

Model Blacka–Scholesa–Mertona wycenia opcje o europejskim stylu wykonania, które można wykonać wyłącznie w terminie wygaśnięcia. Jego założenia obejmują ciągłe zmiany ceny instrumentu bazowego, stałą zmienność i stopy procentowe oraz obrót bez tarć rynkowych. Wersja uwzględniająca dywidendy przedstawia wypłaty za pomocą ciągłej stopy dywidendy, a nie pojedynczych płatności. 4

Wycenę można wyprowadzić, replikując opcję za pomocą zmiennej liczby posiadanych akcji oraz pozycji pożyczkowej lub lokacyjnej. Przy założeniach modelu dostosowywanie liczby akcji do zmian cen odtwarza wypłatę z opcji. Portfel replikujący i opcja muszą wtedy mieć tę samą wartość; w przeciwnym razie różnica ich cen stwarzałaby możliwość arbitrażu. Rozumowanie to wyznacza cenę opcji bez konieczności prognozowania oczekiwanej inwestycyjnej stopy zwrotu z instrumentu bazowego.

Opcja o amerykańskim stylu wykonania dopuszcza również wcześniejsze wykonanie. Drzewo dwumianowe przybliża wycenę, dzieląc pozostały okres na kroki, w których możliwe są wzrosty i spadki ceny. Obliczenia rozpoczyna się od wypłat w terminie wygaśnięcia i prowadzi wstecz przez drzewo. W każdym momencie, w którym wykonanie jest dopuszczalne, porównuje się wartość wewnętrzną ze zdyskontowaną wartością kontynuacji i wybiera większą kwotę. Prawo wykonania jest więc wyceniane bezpośrednio, zamiast traktowania go tak, jakby było dostępne dopiero w ostatnim terminie. 1

Dla opcji call na akcje niewypłacające dywidendy wcześniejsze wykonanie nie dodaje wartości przy założeniu braku tarć rynkowych i nieujemnych stóp procentowych. Zachowanie opcji utrzymuje pozostałą możliwość wyboru i odracza zapłatę ceny wykonania. W takim przypadku wzór dla opcji europejskiej wycenia również opcję call o amerykańskim stylu wykonania. Opcja call na akcje wypłacające dywidendę lub opcja put w pieniądzu może zyskiwać dzięki możliwości wcześniejszego wykonania, więc ta sama równoważność nie zachodzi ogólnie. Kalkulator uwzględnia tę różnicę, zamiast stosować wzór europejski do każdej opcji amerykańskiej.

Wzory wyceny opcji europejskich

Niech $S$ oznacza bieżącą cenę instrumentu bazowego, $K$ cenę wykonania, a $T$ pozostały czas w latach. Roczną zmienność oznaczamy przez $\sigma$ , stopę procentową z kapitalizacją ciągłą przez $r$ , a ciągłą stopę dywidendy przez $y$ . Zmienność i stopy wprowadza się jako ułamki dziesiętne; na przykład zmienność 20% to $0.20$ . Dla dodatnich $S$ , $K$ , $T$ i $\sigma$ wartość opcji call $C$ oraz opcji put $P$ w przeliczeniu na akcję wynosi:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Czynnik $e^{-rT}$ dyskontuje płatność po cenie wykonania, a $e^{-yT}$ koryguje składnik ceny instrumentu bazowego o ciągłą stopę dywidendy. Funkcja $N(z)$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego: prawdopodobieństwem, że zmienna o standardowym rozkładzie normalnym nie przekracza $z$ . Jej argumenty są następujące:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Symbol $\ln$ oznacza tutaj logarytm naturalny. Licznik $d_1$ łączy relację ceny spot do ceny wykonania z finansowaniem, dywidendami i zmiennością w pozostałym okresie. Mianownik skaluje tę relację przez modelową zmienność w tym samym horyzoncie. We wzorze na $d_2$ od $d_1$ odejmuje się tę skalę zmienności.

Na przykład dla opcji europejskiej przy cenie instrumentu bazowego $750, cenie wykonania $775, 45 dniach do wygaśnięcia, zmienności 20%, stopie procentowej 4% i ciągłej stopie dywidendy 1% wartość na akcję wynosi około $12.03 dla opcji call i $34.14 dla opcji put, gdy $T=45/365.25$ .

W terminie wygaśnięcia wartość sprowadza się do wartości wewnętrznej. Zerowy czas lub zerowa zmienność wymagają osobnego potraktowania przypadku granicznego zamiast bezpośredniego podstawiania do $d_1$ i $d_2$ . Gdy zmienność jest zerowa, model zakłada deterministyczną ścieżkę ceny instrumentu bazowego i dyskontuje wynikającą z niej wypłatę.

Ograniczenia modeli

Rzeczywiste dywidendy są wypłacane w konkretnych terminach, ceny rynkowe mogą zmieniać się skokowo, a zmienność ewoluuje w czasie. Stała zmienność i ciągła stopa dywidendy upraszczają te cechy, zamiast dokładnie je odtwarzać. Skończone drzewo dwumianowe wprowadza dodatkowe przybliżenie, ograniczając decyzje o wykonaniu do swoich kroków czasowych. Wynik modelu jest zatem wyceną warunkową, którą należy interpretować łącznie ze specyfikacją kontraktu, obserwowanymi kwotowaniami i przyjętymi założeniami, a nie ceną gwarantującą realizację transakcji. 4

Wykonanie i przypisanie mogą tworzyć pozycje w akcjach i obowiązki finansowania wykraczające poza P/L kalkulatora obejmujący wyłącznie opcje. Kalkulator nie oblicza depozytu brokerskiego ani stóp zwrotu z rachunku, a poszczególne kontrakty opcyjne zachowują własne zasady wykonania i przypisania.