Jak wycenia się opcje

Premia opcyjna jest rynkową ceną prawa wynikającego z kontraktu. Odzwierciedla możliwą wypłatę z opcji, pozostały czas oraz warunki wykonania i rozrachunku. Model wyceny szacuje wartość teoretyczną na podstawie określonych parametrów, w tym ceny instrumentu bazowego, ceny wykonania, zmienności, stóp procentowych i dywidend. Cenę, po której można faktycznie zawrzeć transakcję, wyznacza dostępny rynek, a nie sam model.

Główne parametry wyceny

Cena instrumentu bazowego i cena wykonania

Przy pozostałych parametrach wyceny bez zmian wyższa cena instrumentu bazowego zwiększa wartość opcji call i zmniejsza wartość opcji put. Stała cena zakupu zapewniana przez opcję call staje się korzystniejsza wraz ze wzrostem instrumentu bazowego; stała cena sprzedaży zapewniana przez opcję put staje się mniej korzystna. Zmiana ceny wykonania działa odwrotnie. Niższa cena wykonania podnosi wartość prawa kupna z opcji call, natomiast wyższa cena wykonania podnosi wartość prawa sprzedaży z opcji put.

Skala reakcji zależy od moneyness. Opcja call głęboko w pieniądzu zwykle reaguje bardziej podobnie do instrumentu bazowego, ponieważ znaczną część jej wartości stanowi już istniejąca korzyść z ceny zakupu. Opcja call poza pieniądzem słabiej reaguje na niewielki ruch ceny, gdyż do uzyskania wypłaty w terminie wygaśnięcia cena instrumentu bazowego musi przekroczyć cenę wykonania. Te zmieniające się wrażliwości mierzą współczynniki greckie opcji.

Czas i zmienność

Czas wyznacza pozostały horyzont, w którym cena instrumentu bazowego może się zmienić; zmienność opisuje skalę zróżnicowania jego stóp zwrotu. W standardowych modelach wyceny opcji wyższa zmienność na ogół podnosi wartość zarówno opcji call, jak i put. Korzystne scenariusze mogą dawać większe wypłaty, a w niekorzystnych posiadacz nadal może zrezygnować z wykonania. Opcja może więc mieć dodatnią premię nawet wtedy, gdy przy bieżącej cenie instrumentu bazowego jej cena wykonania nie zapewnia żadnej korzyści.

W miarę zbliżania się wygaśnięcia maleją możliwości zmiany wypłaty, a wartość czasowa na ogół spada. Tempo tego spadku zależy od moneyness i pozostałego okresu. Opcja call może zatem tracić na wartości mimo niewielkiego wzrostu instrumentu bazowego, jeżeli utrata wartości czasowej lub spadek zmienności mają większy wpływ. Analogiczne rozważania dotyczą opcji put po niewielkim spadku instrumentu bazowego.

Stopy procentowe i dywidendy

Wykonanie wiąże się z płatnością po cenie wykonania. Wyższe stopy procentowe obniżają wartość bieżącą przyszłej płatności, co na ogół sprzyja posiadaczowi opcji call, który może odroczyć zapłatę ceny wykonania. Dla posiadacza opcji put cena wykonania oznacza przyszłe wpływy, dlatego dyskontowanie zwykle działa w przeciwnym kierunku. Porównania te zakładają niezmienioną cenę instrumentu bazowego i pozostałe parametry; nie przewidują reakcji samego instrumentu bazowego na zmiany stóp procentowych.

Dywidendy otrzymują akcjonariusze, a nie posiadacze opcji. Oczekiwane wypłaty obniżają również przyszłą cenę akcji po odłączeniu prawa do dywidendy w porównaniu ze ścieżką bez wypłaty, identyczną pod pozostałymi względami. Wyższe oczekiwane dywidendy na ogół obniżają więc wartość opcji call i podnoszą wartość opcji put. Daty i kwoty wypłat mogą także wpływać na opłacalność wcześniejszego wykonania, szczególnie w przypadku opcji call w pieniądzu z niewielką pozostałą wartością czasową.

Cena rynkowa, wartość modelowa i zmienność implikowana

Oferty kupna i sprzedaży określają ceny, po których uczestnicy rynku są gotowi kupić lub sprzedać wskazane liczby kontraktów. Model dostarcza teoretycznego punktu porównania opartego na swoich założeniach. Różne prognozy zmienności, szacunki dywidend lub sposoby uwzględniania wykonania mogą dawać różne wartości tego samego kontraktu, podczas gdy koszty transakcyjne i głębokość rynku wpływają na ceny dostępne w praktyce.

Zmienność implikowana, czyli IV, odwraca zwykłe obliczenie wyceny. Przy pozostałych parametrach bez zmian jest to zmienność, przy której model odtwarza wybraną premię rynkową. Cena kupna, cena środkowa i cena sprzedaży mogą wskazywać różne zmienności. IV zależy zatem od wybranej ceny i założeń modelu, zamiast stanowić niezależnie obserwowaną cechę instrumentu bazowego.

Modele wyceny opcji europejskich i amerykańskich

Model Blacka–Scholesa–Mertona wycenia opcje o europejskim stylu wykonania, które można wykonać wyłącznie w terminie wygaśnięcia. Jego założenia obejmują ciągłe zmiany ceny instrumentu bazowego, stałą zmienność i stopy procentowe oraz obrót bez tarć rynkowych. Wersja uwzględniająca dywidendy przedstawia wypłaty za pomocą ciągłej stopy dywidendy, a nie pojedynczych płatności.

Wycenę można wyprowadzić, replikując opcję za pomocą zmiennej liczby posiadanych akcji oraz pozycji pożyczkowej lub lokacyjnej. Przy założeniach modelu dostosowywanie liczby akcji do zmian cen odtwarza wypłatę z opcji. Portfel replikujący i opcja muszą wtedy mieć tę samą wartość; w przeciwnym razie różnica ich cen stwarzałaby możliwość arbitrażu. Rozumowanie to wyznacza cenę opcji bez konieczności prognozowania oczekiwanej inwestycyjnej stopy zwrotu z instrumentu bazowego.

Opcja o amerykańskim stylu wykonania dopuszcza również wcześniejsze wykonanie. Drzewo dwumianowe przybliża wycenę, dzieląc pozostały okres na kroki, w których możliwe są wzrosty i spadki ceny. Obliczenia rozpoczyna się od wypłat w terminie wygaśnięcia i prowadzi wstecz przez drzewo. W każdym momencie, w którym wykonanie jest dopuszczalne, porównuje się wartość wewnętrzną ze zdyskontowaną wartością kontynuacji i wybiera większą kwotę. Prawo wykonania jest więc wyceniane bezpośrednio, zamiast traktowania go tak, jakby było dostępne dopiero w ostatnim terminie.

Dla opcji call na akcje niewypłacające dywidendy wcześniejsze wykonanie nie dodaje wartości przy założeniu braku tarć rynkowych i nieujemnych stóp procentowych. Zachowanie opcji utrzymuje pozostałą możliwość wyboru i odracza zapłatę ceny wykonania. W takim przypadku wzór dla opcji europejskiej wycenia również opcję call o amerykańskim stylu wykonania. Opcja call na akcje wypłacające dywidendę lub opcja put w pieniądzu może zyskiwać dzięki możliwości wcześniejszego wykonania, więc ta sama równoważność nie zachodzi ogólnie.

Styl wykonania wprowadza również zastrzeżenie do typowej zależności między czasem a wartością. Opcja amerykańska identyczna pod pozostałymi względami z późniejszym terminem wygaśnięcia obejmuje możliwości wykonania opcji krótszej i dodaje kolejne. Opcja europejska natomiast odracza swój jedyny termin wykonania. Przy dodatnich stopach procentowych europejska opcja put głęboko w pieniądzu może tracić na wartości wraz z wydłużeniem okresu, ponieważ otrzymanie wpływów po cenie wykonania zostaje opóźnione. Ten efekt finansowania wyjaśnia, dlaczego dłuższy czas nie zwiększa wartości każdej opcji europejskiej.

Wzory wyceny opcji europejskich

Niech $S$ oznacza bieżącą cenę instrumentu bazowego, $K$ cenę wykonania, a $T$ pozostały czas w latach. Roczną zmienność oznaczamy przez $\sigma$ , stopę procentową z kapitalizacją ciągłą przez $r$ , a ciągłą stopę dywidendy przez $y$ . Zmienność i stopy wprowadza się jako ułamki dziesiętne; na przykład zmienność 20% to $0.20$ . Dla dodatnich cen, czasu i zmienności wartość opcji call $C$ oraz opcji put $P$ w przeliczeniu na akcję wynosi:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Czynnik $e^{-rT}$ dyskontuje płatność po cenie wykonania, a $e^{-yT}$ koryguje składnik ceny instrumentu bazowego o ciągłą stopę dywidendy. Funkcja $N(z)$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego: prawdopodobieństwem, że zmienna o standardowym rozkładzie normalnym nie przekracza $z$ . Jej argumenty są następujące:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Symbol $\ln$ oznacza tutaj logarytm naturalny. Licznik $d_1$ łączy relację ceny spot do ceny wykonania z finansowaniem, dywidendami i zmiennością w pozostałym okresie. Mianownik skaluje tę relację przez modelową zmienność w tym samym horyzoncie. We wzorze na $d_2$ od $d_1$ odejmuje się tę skalę zmienności.

Na przykład dla opcji europejskiej przy cenie instrumentu bazowego $750, cenie wykonania $775, 45 dniach do wygaśnięcia, zmienności 20%, stopie procentowej 4% i ciągłej stopie dywidendy 1% wartość na akcję wynosi około $12.03 dla opcji call i $34.14 dla opcji put, gdy $T=45/365.25$ .

W terminie wygaśnięcia wartość sprowadza się do wartości wewnętrznej. Gdy zmienność jest zerowa, przedstawione wzory wymagają osobnego potraktowania przypadku granicznego: model zakłada wtedy deterministyczną ścieżkę ceny instrumentu bazowego i dyskontuje wynikającą z niej wypłatę.

Ograniczenia modeli

Rzeczywiste dywidendy są wypłacane w konkretnych terminach, ceny rynkowe mogą zmieniać się skokowo, a zmienność ewoluuje w czasie. Stała zmienność i ciągła stopa dywidendy upraszczają te cechy, zamiast dokładnie je odtwarzać. Skończone drzewo dwumianowe wprowadza dodatkowe przybliżenie, ograniczając decyzje o wykonaniu do swoich kroków czasowych. Wynik modelu jest zatem wyceną warunkową, którą należy interpretować łącznie ze specyfikacją kontraktu, obserwowanymi kwotowaniami i przyjętymi założeniami.