ऑप्शन का मूल्य कैसे तय होता है

ऑप्शन का प्रीमियम उसके अनुबंधित अधिकार का बाज़ार मूल्य है। इसमें ऑप्शन से मिल सकने वाला पेऑफ़, शेष समय और एक्सरसाइज़ तथा निपटान की शर्तें प्रतिबिंबित होती हैं। मूल्यांकन मॉडल अंडरलाइंग मूल्य, स्ट्राइक, अस्थिरता, ब्याज दरों और लाभांश सहित निर्दिष्ट इनपुट से सैद्धांतिक मूल्य का अनुमान देता है। सौदा वास्तव में किस मूल्य पर निष्पादित हो सकता है, यह उपलब्ध बाज़ार तय करता है, केवल मॉडल नहीं।

मूल्यांकन के प्रमुख इनपुट

अंडरलाइंग मूल्य और स्ट्राइक

अन्य मूल्यांकन इनपुट अपरिवर्तित रहने पर ऊँचा अंडरलाइंग मूल्य कॉल का मूल्य बढ़ाता और पुट का मूल्य घटाता है। अंडरलाइंग बढ़ने पर कॉल का निश्चित खरीद मूल्य अधिक लाभप्रद और पुट का निश्चित बिक्री मूल्य कम लाभप्रद हो जाता है। स्ट्राइक बदलने का प्रभाव विपरीत होता है। निचली स्ट्राइक कॉल के खरीद अधिकार को बेहतर बनाती है, जबकि ऊँची स्ट्राइक पुट के बिक्री अधिकार को।

प्रतिक्रिया का आकार मनीनेस पर निर्भर करता है। गहरा इन द मनी कॉल सामान्यतः अंडरलाइंग की तरह अधिक प्रतिक्रिया देता है, क्योंकि उसके मूल्य का बड़ा हिस्सा पहले से मौजूद खरीद-मूल्य लाभ होता है। आउट ऑफ़ द मनी कॉल छोटे मूल्य बदलाव के प्रति कम संवेदनशील होता है, क्योंकि एक्सपायरी पेऑफ़ के लिए अंडरलाइंग को उसकी स्ट्राइक पार करनी होती है। इन बदलती संवेदनशीलताओं को ऑप्शन के ग्रीक्स मापते हैं।

समय और अस्थिरता

समय तय करता है कि अंडरलाइंग में बदलाव के लिए कितना शेष समय-क्षितिज उपलब्ध है; अस्थिरता उसके प्रतिफल की परिवर्तनशीलता का पैमाना बताती है। मानक ऑप्शन मूल्यांकन मॉडलों में ऊँची अस्थिरता सामान्यतः कॉल और पुट, दोनों का मूल्य बढ़ाती है। अनुकूल परिणामों में बड़े पेऑफ़ मिल सकते हैं, जबकि प्रतिकूल परिणामों में धारक एक्सरसाइज़ न करने के लिए स्वतंत्र रहता है। इसलिए मौजूदा अंडरलाइंग मूल्य पर स्ट्राइक से कोई लाभ न मिलने पर भी ऑप्शन का प्रीमियम धनात्मक हो सकता है।

एक्सपायरी पास आने पर पेऑफ़ बदलने की संभावना के लिए कम समय बचता है और समय मूल्य सामान्यतः घटता है। घटने की दर मनीनेस और शेष अवधि पर निर्भर करती है। इसलिए अंडरलाइंग में मामूली बढ़त के बावजूद कॉल का मूल्य घट सकता है, यदि समय क्षय या अस्थिरता में गिरावट का प्रभाव अधिक हो। अंडरलाइंग की मामूली गिरावट के बाद पुट पर भी यही विचार लागू होते हैं।

ब्याज दरें और लाभांश

एक्सरसाइज़ में स्ट्राइक भुगतान शामिल होता है। ऊँची ब्याज दरें भविष्य के भुगतान का वर्तमान मूल्य घटाती हैं, जिससे सामान्यतः उस कॉल धारक को लाभ होता है जो स्ट्राइक चुकाना टाल सकता है। पुट धारक के लिए स्ट्राइक भविष्य में प्राप्त होने वाली राशि है, इसलिए वर्तमान मूल्य पर लाने का प्रभाव सामान्यतः उलटा होता है। इन तुलनाओं में अंडरलाइंग मूल्य और अन्य इनपुट स्थिर रखे गए हैं; ये इस बात का पूर्वानुमान नहीं हैं कि ब्याज दर बदलने पर स्वयं अंडरलाइंग कैसे प्रतिक्रिया देगा।

लाभांश शेयरधारकों को मिलता है, ऑप्शन धारकों को नहीं। अपेक्षित वितरण भविष्य के एक्स-डिविडेंड शेयर मूल्य को भी उस अन्यथा समान मूल्य-पथ की तुलना में घटाते हैं जिसमें भुगतान न हो। इसलिए ऊँचे अपेक्षित लाभांश सामान्यतः कॉल का मूल्य घटाते और पुट का मूल्य बढ़ाते हैं। वितरण की तारीखें और राशियाँ इस बात को भी प्रभावित कर सकती हैं कि समय से पहले एक्सरसाइज़ लाभप्रद है या नहीं, विशेषकर कम शेष समय मूल्य वाले इन द मनी कॉल में।

बाज़ार मूल्य, मॉडल मूल्य और निहित अस्थिरता

बिड और ऑफ़र वे मूल्य बताते हैं जिन पर बाज़ार भागीदार निर्दिष्ट मात्राएँ खरीदने और बेचने को तैयार हैं। मॉडल अपनी धारणाओं के आधार पर सैद्धांतिक तुलना देता है। अस्थिरता के अलग पूर्वानुमान, लाभांश के अलग अनुमान या एक्सरसाइज़ के अलग निरूपण से एक ही कॉन्ट्रैक्ट के अलग मूल्य मिल सकते हैं, जबकि लेनदेन लागतें और बाज़ार की गहराई व्यवहार में उपलब्ध मूल्यों को प्रभावित करती हैं।

निहित अस्थिरता, या IV, मूल्यांकन की सामान्य गणना को उलटती है। अन्य इनपुट स्थिर रहने पर यह वह अस्थिरता है जिससे मॉडल चयनित बाज़ार प्रीमियम के बराबर मूल्य देता है। बिड, मध्य मूल्य और आस्क से अलग-अलग निहित अस्थिरताएँ निकल सकती हैं। इसलिए IV चुने गए मूल्य और मॉडल की धारणाओं पर निर्भर है, अंडरलाइंग की स्वतंत्र रूप से प्रेक्षित विशेषता नहीं।

यूरोपीय और अमेरिकी मूल्यांकन मॉडल

ब्लैक–शोल्स–मर्टन मॉडल यूरोपीय शैली के ऑप्शन का मूल्यांकन करता है, जिनमें केवल एक्सपायरी पर एक्सरसाइज़ संभव है। इसकी धारणाओं में अंडरलाइंग मूल्य का सतत परिवर्तन, स्थिर अस्थिरता और ब्याज दरें तथा घर्षणरहित कारोबार शामिल हैं। लाभांश-समायोजित सूत्र अलग-अलग भुगतानों के बजाय सतत यील्ड के माध्यम से वितरण दर्शाता है।

ऑप्शन का मूल्य, बदलती शेयर होल्डिंग और उधार लेने या देने की पोज़िशन से उसके पेऑफ़ की प्रतिकृति बनाकर निकाला जा सकता है। मॉडल की धारणाओं के अंतर्गत, मूल्य बदलने पर शेयर होल्डिंग को समायोजित करने से ऑप्शन का पेऑफ़ दोहराया जाता है। तब प्रतिकृति पोर्टफ़ोलियो और ऑप्शन का मूल्य समान होना चाहिए; अन्यथा उनके मूल्य अंतर से आर्बिट्राज का अवसर बनेगा। इस तर्क से अंडरलाइंग के अपेक्षित निवेश प्रतिफल का पूर्वानुमान लगाए बिना ऑप्शन मूल्य निर्धारित होता है।

अमेरिकी शैली का ऑप्शन समय से पहले एक्सरसाइज़ की भी अनुमति देता है। द्विपद ट्री शेष अवधि को संभावित ऊपर और नीचे की मूल्य चालों वाले चरणों में बाँटकर मूल्यांकन का सन्निकटन करता है। एक्सपायरी पेऑफ़ से शुरू होकर गणना ट्री में पीछे की ओर चलती है। हर एक्सरसाइज़ अवसर पर आंतरिक मूल्य की तुलना ऑप्शन बनाए रखने के बट्टाकृत मूल्य से की जाती है और बड़ी राशि चुनी जाती है। इस प्रकार एक्सरसाइज़ अधिकार का स्पष्ट मूल्यांकन होता है; उसे केवल अंतिम तारीख पर उपलब्ध मानकर नहीं चला जाता।

लाभांश न देने वाले शेयरों के कॉल में, घर्षणरहित धारणाओं और गैर-ऋणात्मक ब्याज दरों के अंतर्गत, समय से पहले एक्सरसाइज़ कोई अतिरिक्त मूल्य नहीं जोड़ता। ऑप्शन बनाए रखने से शेष विकल्प सुरक्षित रहता है और स्ट्राइक भुगतान टलता है। ऐसी स्थिति में यूरोपीय सूत्र अमेरिकी शैली के कॉल का मूल्यांकन भी करता है। लाभांश देने वाले शेयरों के कॉल या इन द मनी पुट को समय से पहले एक्सरसाइज़ से लाभ हो सकता है, इसलिए वही समतुल्यता सामान्यतः लागू नहीं होती।

एक्सरसाइज़ शैली, समय और मूल्य के सामान्य संबंध पर भी शर्त लगाती है। अन्यथा समान, बाद में एक्सपायर होने वाला अमेरिकी ऑप्शन कम अवधि वाले ऑप्शन के एक्सरसाइज़ अवसर समाहित करता है और आगे के अवसर जोड़ता है। इसके विपरीत, यूरोपीय ऑप्शन अपनी एकमात्र एक्सरसाइज़ तारीख आगे बढ़ाता है। धनात्मक ब्याज दरों पर गहरे इन द मनी यूरोपीय पुट की अवधि बढ़ने से उसका मूल्य घट सकता है, क्योंकि स्ट्राइक की राशि मिलने में देर होती है। वित्तपोषण का यह प्रभाव बताता है कि अधिक समय हर यूरोपीय ऑप्शन का मूल्य क्यों नहीं बढ़ाता।

यूरोपीय मूल्यांकन के सूत्र

मान लें कि मौजूदा अंडरलाइंग मूल्य $S$, स्ट्राइक $K$ और वर्षों में शेष समय $T$ है। वार्षिक अस्थिरता $\sigma$, सतत चक्रवृद्धि ब्याज दर $r$ और सतत लाभांश यील्ड $y$ है। अस्थिरता और दरें दशमलव के रूप में दर्ज की जाती हैं; उदाहरण के लिए 20% अस्थिरता $0.20$ है। धनात्मक मूल्यों, समय और अस्थिरता के लिए प्रति शेयर कॉल मूल्य $C$ और पुट मूल्य $P$ हैं:

गुणन कारक $e^{-rT}$ स्ट्राइक भुगतान को वर्तमान मूल्य पर लाता है और $e^{-yT}$ अंडरलाइंग मूल्य वाले पद को सतत लाभांश यील्ड के लिए समायोजित करता है। फलन $N(z)$ संचयी मानक सामान्य वितरण है: यह उस संभावना को दर्शाता है कि कोई मानक सामान्य चर $z$ से अधिक न हो। इसके आर्ग्युमेंट हैं:

यहाँ $\ln$ प्राकृतिक लघुगणक दर्शाता है। $d_1$ का अंश स्पॉट और स्ट्राइक के संबंध को शेष अवधि के वित्तपोषण, लाभांश और अस्थिरता से जोड़ता है। हर उसी समय-क्षितिज की मॉडल-आधारित परिवर्तनशीलता के अनुसार इस संबंध का पैमाना निर्धारित करता है। $d_2$ का सूत्र $d_1$ से अस्थिरता के इस पैमाने को घटाता है।

उदाहरण के लिए, $750 अंडरलाइंग मूल्य, $775 स्ट्राइक, 45 दिन शेष अवधि, 20% अस्थिरता, 4% ब्याज दर और 1% सतत लाभांश यील्ड वाले यूरोपीय ऑप्शन में, $T=45/365.25$ होने पर प्रति शेयर कॉल मूल्य लगभग $12.03 और पुट मूल्य लगभग $34.14 है।

एक्सपायरी पर मूल्य केवल आंतरिक मूल्य रह जाता है। अस्थिरता शून्य होने पर प्रदर्शित सूत्रों के लिए अलग सीमांत गणना आवश्यक है: उस स्थिति में मॉडल अंडरलाइंग के एक निश्चित मूल्य-पथ का अनुसरण करता है और परिणामी पेऑफ़ को वर्तमान मूल्य पर लाता है।

मॉडल की सीमाएँ

वास्तविक लाभांश विशेष तारीखों पर मिलते हैं, बाज़ार मूल्यों में अचानक उछाल या गिरावट हो सकती है और अस्थिरता समय के साथ बदलती है। स्थिर अस्थिरता और सतत लाभांश यील्ड इन विशेषताओं को ठीक-ठीक दोहराने के बजाय सरल बनाती हैं। सीमित द्विपद ट्री, एक्सरसाइज़ निर्णयों को अपने समय-चरणों तक सीमित करके एक और सन्निकटन जोड़ता है। इसलिए मॉडल का परिणाम शर्तों पर निर्भर मूल्यांकन है, जिसे कॉन्ट्रैक्ट विनिर्देशों, प्रेक्षित कोट और उपयोग की गई धारणाओं के साथ समझना चाहिए।