Comment les options sont évaluées

La prime d’une option est le prix de marché de son droit contractuel. Ce prix reflète la valeur que l’option peut procurer à l’échéance, la durée restante et les modalités d’exercice et de règlement. Un modèle d’évaluation estime une valeur théorique à partir de paramètres déterminés, notamment le cours du sous-jacent, le prix d’exercice, la volatilité, les taux d’intérêt et les dividendes. Le prix auquel une transaction peut effectivement être exécutée dépend du marché disponible, et non du seul modèle.

Principaux paramètres de valorisation

Cours du sous-jacent et prix d’exercice

Les autres paramètres de valorisation restant constants, une hausse du cours du sous-jacent augmente la valeur d’un call et diminue celle d’un put. Le prix d’achat fixe du call devient plus avantageux lorsque le sous-jacent monte ; le prix de vente fixe du put devient moins avantageux. Modifier le prix d’exercice produit l’effet inverse. Un prix d’exercice inférieur améliore le droit d’achat d’un call, tandis qu’un prix d’exercice supérieur améliore le droit de vente d’un put.

L’ampleur de la réaction dépend de la position par rapport au prix d’exercice. Un call profondément dans la monnaie réagit généralement davantage comme le sous-jacent, car une part importante de sa valeur provient de l’avantage d’achat déjà acquis. Un call hors de la monnaie réagit moins à une petite variation de cours, puisque le sous-jacent doit franchir son prix d’exercice pour qu’il ait une valeur positive à l’échéance. Ces sensibilités variables sont mesurées par les grecques de l’option.

Temps et volatilité

Le temps détermine l’horizon restant pendant lequel le sous-jacent peut évoluer ; la volatilité décrit l’ampleur de la variabilité de ses rendements. Dans les modèles standard d’évaluation des options, une volatilité plus élevée augmente généralement la valeur des calls comme celle des puts. Les scénarios favorables peuvent procurer une valeur plus importante à l’échéance, tandis que les scénarios défavorables laissent au détenteur la liberté de ne pas exercer. Une option peut donc avoir une prime positive même si son prix d’exercice n’offre aucun avantage au cours actuel du sous-jacent.

À l’approche de l’échéance, les possibilités de variation de la valeur finale diminuent et la valeur temps baisse généralement. Son rythme de diminution dépend de la position par rapport au prix d’exercice et de la durée restante. Un call peut donc perdre de la valeur malgré une hausse modeste du sous-jacent si l’érosion temporelle ou une baisse de volatilité produit un effet plus important. Le même raisonnement s’applique à un put après une baisse modeste du sous-jacent.

Taux d’intérêt et dividendes

L’exercice implique un paiement au prix d’exercice. Une hausse des taux d’intérêt réduit la valeur actuelle d’un paiement futur, ce qui favorise généralement le détenteur d’un call qui peut différer ce paiement. Pour le détenteur d’un put, le prix d’exercice représente un produit de vente à encaisser : l’actualisation agit donc généralement dans le sens opposé. Ces comparaisons supposent le cours du sous-jacent et les autres paramètres constants ; elles ne prédisent pas la réaction du sous-jacent lui-même aux variations de taux d’intérêt.

Les dividendes sont versés aux actionnaires, et non aux détenteurs d’options. Les distributions attendues réduisent aussi le cours futur de l’action après détachement par rapport à une trajectoire par ailleurs identique sans paiement. Des dividendes attendus plus élevés diminuent donc généralement la valeur des calls et augmentent celle des puts. Les dates et les montants des distributions peuvent également influer sur l’intérêt d’un exercice anticipé, notamment pour un call dans la monnaie dont la valeur temps restante est faible.

Prix de marché, valeur théorique et volatilité implicite

Les cours acheteur et vendeur indiquent les prix auxquels les participants au marché sont prêts à acheter et à vendre des quantités déterminées. Un modèle fournit une comparaison théorique fondée sur ses hypothèses. Des prévisions de volatilité, des estimations de dividendes ou des traitements de l’exercice différents peuvent produire des valeurs différentes pour un même contrat, tandis que les frais de transaction et la profondeur de marché influent sur les prix accessibles en pratique.

La volatilité implicite, ou IV, inverse le calcul habituel de valorisation. Les autres paramètres étant fixés, c’est la volatilité qui permet au modèle de reproduire une prime de marché choisie. Le cours acheteur, le prix médian et le cours vendeur peuvent chacun impliquer une volatilité différente. L’IV dépend donc du prix retenu et des hypothèses du modèle ; elle n’est pas une propriété du sous-jacent observée indépendamment.

Modèles d’évaluation des options européennes et américaines

Le modèle de Black–Scholes–Merton évalue les options de style européen, dont l’exercice n’est possible qu’à l’échéance. Ses hypothèses comprennent des variations continues du cours du sous-jacent, une volatilité et des taux d’intérêt constants, ainsi qu’un marché sans frictions. La formulation ajustée des dividendes représente les distributions par un rendement continu plutôt que par des paiements individuels.

La valorisation peut être obtenue en répliquant l’option au moyen d’une quantité variable d’actions et d’une position d’emprunt ou de prêt. Sous les hypothèses du modèle, ajuster les actions détenues à mesure que les cours évoluent reproduit la valeur de l’option à l’échéance. Le portefeuille de réplication et l’option doivent alors avoir la même valeur ; sinon, leur écart de prix créerait une possibilité d’arbitrage. Ce raisonnement détermine le prix de l’option sans nécessiter de prévision du rendement attendu d’un investissement dans le sous-jacent.

Une option de style américain autorise aussi l’exercice anticipé. Un arbre binomial approche sa valeur en divisant la durée restante en étapes comportant des mouvements possibles de hausse et de baisse. À partir des valeurs à l’échéance, le calcul remonte dans l’arbre. À chaque possibilité d’exercice, il compare la valeur intrinsèque à la valeur actualisée du maintien de l’option et retient le montant le plus élevé. Le droit d’exercice est ainsi valorisé explicitement, au lieu d’être traité comme s’il n’était disponible qu’à la date finale.

Pour un call sur des actions ne versant pas de dividende, l’exercice anticipé n’ajoute aucune valeur sous des hypothèses de marché sans frictions et de taux d’intérêt non négatifs. Conserver l’option préserve le choix restant et reporte le paiement au prix d’exercice. Dans ce cas, la formule européenne évalue également le call de style américain. Un call sur des actions versant un dividende ou un put dans la monnaie peut bénéficier d’un exercice anticipé ; cette équivalence ne s’applique donc pas de façon générale.

Le style d’exercice nuance également la relation habituelle entre durée et valeur. Une option américaine d’échéance plus lointaine, par ailleurs identique, comprend les possibilités d’exercice de l’option plus courte et en ajoute d’autres. Une option européenne reporte au contraire son unique date d’exercice. Lorsque les taux d’intérêt sont positifs, un put européen profondément dans la monnaie peut perdre de la valeur si sa durée est prolongée, car l’encaissement du produit au prix d’exercice est différé. Cet effet de financement explique pourquoi une durée supplémentaire n’augmente pas la valeur de toutes les options européennes.

Formules d’évaluation des options européennes

Notons $S$ le cours actuel du sous-jacent, $K$ le prix d’exercice et $T$ la durée restante en années. La volatilité annuelle est $\sigma$ , le taux d’intérêt à capitalisation continue est $r$ et le rendement continu du dividende est $y$ . La volatilité et les taux sont saisis sous forme décimale ; par exemple, une volatilité de 20% correspond à $0.20$ . Pour des prix, une durée et une volatilité strictement positifs, la valeur par action du call $C$ et celle du put $P$ sont :

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Le facteur $e^{-rT}$ actualise le paiement au prix d’exercice, et $e^{-yT}$ ajuste le terme lié au cours du sous-jacent pour tenir compte du rendement continu du dividende. La fonction $N(z)$ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : elle donne la probabilité qu’une variable normale centrée réduite soit inférieure ou égale à $z$ . Ses arguments sont :

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Ici, $\ln$ désigne le logarithme népérien. Le numérateur de $d_1$ combine la relation entre cours au comptant et prix d’exercice avec le financement, les dividendes et la volatilité sur la durée restante. Le dénominateur rapporte cette relation à la variabilité modélisée sur le même horizon. La formule de $d_2$ soustrait cette échelle de volatilité de $d_1$ .

Par exemple, pour une option européenne dont le sous-jacent cote $750, de prix d’exercice $775, avec 45 jours restants, une volatilité de 20%, un taux d’intérêt de 4% et un rendement continu du dividende de 1%, les valeurs par action sont d’environ $12.03 pour le call et $34.14 pour le put lorsque $T=45/365.25$ .

À l’échéance, la valeur se réduit à la valeur intrinsèque. Les formules présentées exigent un traitement limite distinct lorsque la volatilité est nulle : dans ce cas, le modèle suit une trajectoire déterministe du cours du sous-jacent et actualise la valeur finale qui en résulte.

Limites des modèles

Les dividendes réels sont versés à des dates précises, les cours de marché peuvent subir des sauts et la volatilité évolue au fil du temps. Une volatilité constante et un rendement continu du dividende simplifient ces caractéristiques sans les reproduire exactement. Un arbre binomial fini ajoute une approximation en limitant les décisions d’exercice à ses pas de temps. Le résultat d’un modèle est donc une valorisation conditionnelle, à interpréter conjointement avec les caractéristiques du contrat, les cotations observées et les hypothèses utilisées.