Come si determina il prezzo delle opzioni

Il premio di un’opzione è il prezzo che l’acquirente paga e il venditore incassa per l’opzione. Riflette il payoff che l’opzione potrebbe offrire, il tempo residuo e le condizioni contrattuali. Un modello di valutazione stima un valore teorico a partire da ipotesi sul sottostante, sulla volatilità, sui tassi di interesse e sui dividendi. Il prezzo al quale un’operazione viene effettivamente eseguita dipende però dal mercato disponibile e non coincide necessariamente con la stima del modello. 1

Principali parametri di valutazione

Prezzo del sottostante e strike

Una call conferisce al titolare il diritto di acquistare allo strike; una put il diritto di vendere. A parità degli altri parametri di valutazione, un prezzo del sottostante più alto aumenta il valore di una call e riduce quello di una put. Mantenendo fissi il prezzo dell’azione e gli altri parametri, uno strike più basso aumenta il valore della call, perché il titolare pagherebbe meno per ogni azione acquistata con l’esercizio. Uno strike più alto aumenta il valore della put, perché il titolare incasserebbe di più per ogni azione venduta con l’esercizio.

L’entità della risposta dipende dalla distanza del prezzo dell’azione sopra o sotto lo strike, ossia dalla moneyness. Una call profondamente in the money si comporta generalmente in modo più simile al sottostante rispetto a una call out of the money, il cui payoff a scadenza resta nullo se l’azione non supera lo strike. Delta e gamma misurano questa sensibilità variabile al prezzo.

Tempo e volatilità

Il tempo determina l’orizzonte residuo nel quale il sottostante può cambiare; la volatilità descrive l’ampiezza di tale variabilità. Nei modelli standard di valutazione delle opzioni, una volatilità maggiore generalmente aumenta il valore sia delle call sia delle put. Gli esiti favorevoli possono offrire payoff più elevati, mentre quelli sfavorevoli lasciano il titolare libero di non esercitare. Un’opzione può quindi avere valore anche quando è out of the money. 2

Il valore temporale generalmente diminuisce all’avvicinarsi della scadenza, ma più tempo non significa sempre più valore. Un’opzione americana altrimenti identica con scadenza più lontana comprende le possibilità di esercizio dell’opzione più breve. Un’opzione europea, invece, rinvia la sua unica data di esercizio. Con tassi di interesse positivi, questo rinvio può ridurre il valore di una put europea profondamente in the money, perché posticipa l’incasso allo strike.

Poiché questi effetti si combinano, una call può perdere valore nonostante un modesto rialzo del sottostante, se il decadimento temporale o un calo della volatilità hanno un effetto maggiore. Analogamente, una put può perdere valore nonostante un modesto ribasso del sottostante.

Tassi di interesse e dividendi

Tassi di interesse più alti riducono il valore attuale di un pagamento futuro allo strike, generalmente a vantaggio del titolare di una call che può rinviare quel pagamento. Riducono invece il valore dell’incasso che il titolare di una put potrebbe ricevere. Questi confronti mantengono fisso il prezzo dell’azione; non prevedono come l’azione stessa reagirà alle variazioni dei tassi.

I dividendi vengono corrisposti agli azionisti, non ai titolari di opzioni. Le distribuzioni attese riducono il futuro prezzo ex dividendo dell’azione rispetto a un andamento altrimenti identico senza quel pagamento, generalmente riducendo il valore delle call e aumentando quello delle put. Le date e gli importi delle distribuzioni possono anche influire sulla convenienza dell’esercizio anticipato, soprattutto per una call in the money con poco valore temporale residuo. 3

Perché il calcolatore dà un risultato diverso dal mio broker?

Spesso i due numeri misurano cose diverse. Un valore di modello, un prezzo di valorizzazione del broker e il prezzo di un’operazione eseguita non sono intercambiabili. Prima di cercare un errore di calcolo, controlla il tipo di prezzo, il contratto, le unità, il momento della valutazione e il premio di apertura. Come ricorda la spiegazione dell’OIC sui modelli di valutazione, le formule stimano valori teorici; sono i mercati a determinare i premi effettivi.

Confronta prezzi che rappresentano la stessa cosa

Il denaro è un prezzo offerto per acquistare e la lettera un prezzo offerto per vendere. Il prezzo medio denaro-lettera è semplicemente una media, non un’operazione conclusa. L’ultimo scambio registra un’esecuzione precedente che potrebbe non riflettere più il mercato. Contano anche il momento della quotazione e la quantità disponibile; la guida alle quotazioni delle opzioni spiega questi campi.

Supponi di aver acquistato un’opzione a $8.70 per azione. Una successiva quotazione ipotetica mostra un denaro di $8.30, una lettera di $8.70 e un ultimo scambio a $9.10. Il prezzo medio denaro-lettera è $8.50. Con un moltiplicatore di 100 azioni:

Confronto con l’acquisto a $8.70	Calcolo prima dei costi	Significato
La vendita di chiusura viene effettivamente eseguita a $8.30	($8.30 − $8.70) × 100 = −$40	Perdita realizzata per quell’esecuzione ipotetica
Il broker valuta la posizione aperta a $8.50	($8.50 − $8.70) × 100 = −$20	Stima non realizzata, se quel broker usa il prezzo medio denaro-lettera
La schermata mostra un ultimo scambio a $9.10	Non risulta effettuata alcuna nuova vendita	Uno scambio precedente non determina il tuo prezzo di uscita

Sono cifre illustrative, non quotazioni in tempo reale. I broker possono usare prezzi di valorizzazione diversi e le commissioni o gli altri costi modificano il risultato. Anche un denaro attualmente visualizzato non garantisce una successiva esecuzione a quel prezzo.

Verifica che contratto e unità coincidano

Controlla sottostante, tipo call o put, strike, scadenza, stile di esercizio, quantità e moltiplicatore. Un premio per azione non è il valore dell’intera posizione: $8.50 per azione equivalgono a $850 per un contratto su 100 azioni, prima dei costi. Altri prodotti e contratti rettificati possono avere moltiplicatori o condizioni di regolamento diversi.

Allinea le ipotesi e il momento della valutazione

Confronta lo stesso prezzo del sottostante, tempo residuo, IV, tasso di interesse e dividendi. Un prezzo azionario non aggiornato, una diversa ipotesi sui dividendi o un diverso trattamento dell’esercizio anticipato possono spiegare una discrepanza senza che uno dei calcoli sia aritmeticamente errato.

Questo calcolatore usa le tue ipotesi, non i dati del broker. Il ticker identifica uno scenario; non carica quotazioni. Tutte le gambe condividono una sola scadenza, volatilità, tasso di interesse e rendimento da dividendi, mentre l’IV di mercato può variare tra strike e scadenze. La valutazione usa giorni interi: una scadenza odierna ha tempo residuo nullo nel modello e valore intrinseco, senza decadimento infragiornaliero. Consulta la metodologia per i modelli e le unità.

Controlla che cosa rappresenta il premio di apertura

Prezzo iniziale è il prezzo del sottostante all’apertura, non il premio pagato per l’opzione. Il calcolatore determina i premi di apertura a quel prezzo e alla data odierna. Modificare Prezzo iniziale, IV, tassi, dividendi o dettagli contrattuali ricalcola quei premi e il riepilogo della posizione. Il cursore del prezzo nella vista temporale modifica lo stesso prezzo di apertura.

Data di analisi cambia la data di valutazione del grafico del prezzo dell’azione, non il premio di apertura o il riepilogo della posizione alla data odierna. La vista Prezzo dell’azione varia il sottostante a quella data; la vista Tempo alla scadenza mantiene fisso Prezzo iniziale e varia la data. Leggere un punto sulla curva è diverso dal modificare un’ipotesi di apertura.

Non sono disponibili un campo per i prezzi effettivi di esecuzione né l’importazione dal broker. Modificare le ipotesi finché un premio coincide con il prezzo di acquisto non trasforma il grafico nella registrazione di quell’operazione. Per verificare il risultato di un’operazione reale, usa premi di entrata e uscita, quantità, moltiplicatore e costi; per una posizione aperta, identifica il prezzo di valorizzazione utilizzato.

Interpreta l’IV nel contesto del prezzo e del modello

La volatilità implicita è la volatilità che permette a un modello selezionato di riprodurre un premio scelto, a parità degli altri parametri. Denaro, prezzo medio denaro-lettera e lettera possono quindi implicare IV diverse. Anche le ipotesi su tempo, dividendi ed esercizio influenzano il risultato. È opportuno leggere un dato di IV insieme a questi parametri, come spiega la guida alla volatilità implicita.

Modelli di valutazione per opzioni europee e americane

Il modello di Black–Scholes–Merton valuta le opzioni di stile europeo, esercitabili soltanto a scadenza. Tra le sue ipotesi figurano variazioni continue del prezzo del sottostante, volatilità e tassi di interesse costanti e negoziazione priva di frizioni. La formulazione corretta per i dividendi rappresenta le distribuzioni mediante un rendimento continuo anziché pagamenti individuali. 4

La valutazione può essere ricavata replicando l’opzione con una quantità variabile di azioni e una posizione di finanziamento a debito o a credito. Secondo le ipotesi del modello, adeguare la quantità di azioni alle variazioni dei prezzi riproduce il payoff dell’opzione. Il portafoglio di replica e l’opzione devono quindi avere lo stesso valore; in caso contrario, la differenza di prezzo creerebbe un arbitraggio. Questo ragionamento determina il prezzo dell’opzione senza richiedere una previsione del rendimento atteso dell’investimento nel sottostante.

Un’opzione di stile americano consente anche l’esercizio anticipato. Un albero binomiale ne approssima la valutazione suddividendo la durata residua in intervalli con possibili movimenti di prezzo al rialzo e al ribasso. Partendo dai payoff a scadenza, il calcolo procede a ritroso lungo l’albero. A ogni possibilità di esercizio, confronta il valore dell’esercizio immediato con il valore attualizzato del mantenimento dell’opzione e sceglie l’importo maggiore. Il diritto di esercizio viene così valutato esplicitamente, anziché considerato disponibile soltanto alla data finale. 1

Per una call su azioni che non pagano dividendi, l’esercizio anticipato non aggiunge valore in assenza di frizioni e con tassi di interesse non negativi. Mantenere l’opzione conserva la facoltà residua di scelta e rinvia il pagamento dello strike. I valori dei modelli americano ed europeo sono quindi uguali. Una call su azioni che pagano dividendi o una put in the money possono trarre beneficio dall’esercizio anticipato. Il calcolatore rispetta questa distinzione, anziché applicare la formula europea a tutte le opzioni americane.

Formule di valutazione delle opzioni europee

Siano $S$ il prezzo corrente del sottostante, $K$ lo strike e $T$ il tempo residuo in anni. La volatilità annua è $\sigma$ , il tasso di interesse a capitalizzazione continua è $r$ e il rendimento continuo da dividendi è $y$ . Volatilità e tassi sono inseriti in forma decimale; per esempio, una volatilità del 20% corrisponde a $0.20$ . Per $S$ , $K$ , $T$ e $\sigma$ positivi, il valore per azione della call $C$ e della put $P$ è:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Qui $N(z)$ è la funzione di distribuzione cumulativa normale standard, ossia la probabilità che una variabile normale standard non superi $z$ , e $\ln$ indica il logaritmo naturale. Gli argomenti sono:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Il fattore $e^{-rT}$ attualizza il pagamento dello strike, mentre $e^{-yT}$ corregge il termine relativo al prezzo del sottostante per il rendimento continuo da dividendi. I termini $d_1$ e $d_2$ combinano il rapporto tra prezzo dell’azione e strike con finanziamento, dividendi e volatilità sulla durata residua.

Per un’opzione europea con prezzo del sottostante di $750, strike $775, 45 giorni residui, volatilità del 20%, tasso di interesse del 4% e rendimento continuo da dividendi dell’1%, il modello dà un valore per azione di circa $12.03 per la call e $34.14 per la put, usando $T=45/365.25$ .

A scadenza, il valore è quello intrinseco. Un tempo o una volatilità nulli richiedono un caso limite, anziché la sostituzione diretta in $d_1$ e $d_2$ . Con volatilità nulla, il modello segue un andamento deterministico del prezzo del sottostante e attualizza il payoff risultante.

Limiti dei modelli

I dividendi effettivi vengono pagati a date specifiche, i prezzi di mercato possono subire salti e la volatilità cambia nel tempo. Una volatilità costante e un rendimento continuo da dividendi semplificano queste caratteristiche anziché riprodurle esattamente. Un albero binomiale finito introduce un’ulteriore approssimazione, limitando le decisioni di esercizio ai propri intervalli temporali. Il risultato del modello è quindi una valutazione condizionata alle sue ipotesi, non una quotazione eseguibile. 4

Esercizio e assegnazione possono generare posizioni azionarie e obblighi di finanziamento esterni al P/L di sole opzioni del calcolatore. Quest’ultimo non calcola il margine del broker o i rendimenti del conto e i singoli contratti di opzione mantengono un trattamento autonomo per esercizio e assegnazione.