Come si determina il prezzo delle opzioni

Il premio di un’opzione è il prezzo di mercato del suo diritto contrattuale. Riflette il payoff che l’opzione potrebbe offrire, il tempo residuo e le condizioni che disciplinano esercizio e regolamento. Un modello di valutazione stima un valore teorico a partire da parametri specificati, tra cui prezzo del sottostante, strike, volatilità, tassi di interesse e dividendi. Il prezzo al quale un’operazione può essere effettivamente eseguita dipende dal mercato disponibile, non dal solo modello.

Principali parametri di valutazione

Prezzo del sottostante e strike

A parità degli altri parametri di valutazione, un prezzo del sottostante più alto aumenta il valore di una call e riduce quello di una put. Il prezzo fisso di acquisto della call diventa più vantaggioso al rialzo del sottostante; il prezzo fisso di vendita della put diventa meno vantaggioso. Modificare lo strike ha l’effetto opposto. Uno strike più basso migliora il diritto di acquisto di una call, mentre uno strike più alto migliora il diritto di vendita di una put.

L’entità della risposta dipende dalla moneyness. Una call profondamente in the money si comporta generalmente in modo più simile al sottostante, perché gran parte del suo valore deriva dal vantaggio di acquisto già esistente. Una call out of the money risponde meno a un piccolo movimento di prezzo, perché il sottostante deve superare lo strike affinché produca un payoff a scadenza. Queste sensibilità variabili sono misurate dalle greche dell’opzione.

Tempo e volatilità

Il tempo determina l’orizzonte residuo nel quale il sottostante può cambiare; la volatilità descrive l’ampiezza della variabilità dei suoi rendimenti. Nei modelli standard di valutazione delle opzioni, una volatilità maggiore generalmente aumenta il valore sia delle call sia delle put. Gli esiti favorevoli possono offrire payoff più elevati, mentre quelli sfavorevoli lasciano il titolare libero di non esercitare. Un’opzione può quindi avere un premio positivo anche quando lo strike non offre alcun vantaggio al prezzo corrente del sottostante.

All’avvicinarsi della scadenza, diminuiscono le possibilità che il payoff cambi e il valore temporale generalmente si riduce. Il ritmo della diminuzione dipende dalla moneyness e dalla durata residua. Una call può quindi perdere valore nonostante un modesto rialzo del sottostante, se il decadimento temporale o un calo della volatilità hanno un effetto maggiore. Considerazioni analoghe valgono per una put dopo un modesto ribasso del sottostante.

Tassi di interesse e dividendi

L’esercizio comporta un pagamento allo strike. Tassi di interesse più alti riducono il valore attuale di un pagamento futuro, generalmente a vantaggio del titolare di una call che può rinviare il pagamento dello strike. Per il titolare di una put, lo strike rappresenta invece un importo da incassare, quindi l’attualizzazione agisce generalmente in senso opposto. Questi confronti mantengono fissi il prezzo del sottostante e gli altri parametri; non prevedono come il sottostante stesso reagirà alle variazioni dei tassi.

I dividendi vengono corrisposti agli azionisti, non ai titolari di opzioni. Le distribuzioni attese riducono inoltre il futuro prezzo ex dividendo dell’azione rispetto a un andamento altrimenti identico senza quel pagamento. Dividendi attesi più elevati generalmente riducono quindi il valore delle call e aumentano quello delle put. Le date e gli importi delle distribuzioni possono anche influire sulla convenienza dell’esercizio anticipato, soprattutto per una call in the money con poco valore temporale residuo.

Prezzo di mercato, valore del modello e volatilità implicita

I prezzi denaro e lettera indicano a quali prezzi gli operatori sono disposti ad acquistare e vendere determinate quantità. Un modello offre un termine di confronto teorico basato sulle sue ipotesi. Previsioni di volatilità, stime dei dividendi o modalità di trattamento dell’esercizio diverse possono produrre valori differenti per lo stesso contratto, mentre i costi di transazione e la profondità del mercato influiscono sui prezzi concretamente disponibili.

La volatilità implicita, o IV, inverte il consueto calcolo del prezzo. A parità degli altri parametri, è la volatilità che permette al modello di riprodurre un premio di mercato selezionato. Il denaro, il prezzo medio denaro-lettera e la lettera possono implicare ciascuno una volatilità diversa. L’IV dipende quindi dal prezzo scelto e dalle ipotesi del modello, anziché essere una proprietà del sottostante osservata indipendentemente.

Modelli di valutazione per opzioni europee e americane

Il modello di Black–Scholes–Merton valuta le opzioni di stile europeo, esercitabili soltanto a scadenza. Tra le sue ipotesi figurano variazioni continue del prezzo del sottostante, volatilità e tassi di interesse costanti e negoziazione priva di frizioni. La formulazione corretta per i dividendi rappresenta le distribuzioni mediante un rendimento continuo anziché pagamenti individuali.

La valutazione può essere ricavata replicando l’opzione con una quantità variabile di azioni e una posizione di finanziamento a debito o a credito. Secondo le ipotesi del modello, adeguare la quantità di azioni alle variazioni dei prezzi riproduce il payoff dell’opzione. Il portafoglio di replica e l’opzione devono quindi avere lo stesso valore; in caso contrario, la differenza di prezzo creerebbe un arbitraggio. Questo ragionamento determina il prezzo dell’opzione senza richiedere una previsione del rendimento atteso dell’investimento nel sottostante.

Un’opzione di stile americano consente anche l’esercizio anticipato. Un albero binomiale ne approssima la valutazione suddividendo la durata residua in intervalli con possibili movimenti di prezzo al rialzo e al ribasso. Partendo dai payoff a scadenza, il calcolo procede a ritroso lungo l’albero. A ogni possibilità di esercizio, confronta il valore intrinseco con il valore attualizzato del mantenimento dell’opzione e sceglie l’importo maggiore. Il diritto di esercizio viene così valutato esplicitamente, anziché considerato disponibile soltanto alla data finale.

Per una call su azioni che non pagano dividendi, l’esercizio anticipato non aggiunge valore in assenza di frizioni e con tassi di interesse non negativi. Mantenere l’opzione conserva la facoltà residua di scelta e rinvia il pagamento dello strike. In questo caso, la formula europea valuta anche la call di stile americano. Una call su azioni che pagano dividendi o una put in the money possono trarre beneficio dall’esercizio anticipato, quindi tale equivalenza non vale in generale.

Lo stile di esercizio introduce distinzioni anche nel consueto rapporto tra tempo e valore. Un’opzione americana altrimenti identica con scadenza più lontana comprende le possibilità di esercizio dell’opzione più breve e ne aggiunge altre. Un’opzione europea, invece, rinvia la sua unica data di esercizio. Con tassi di interesse positivi, una put europea profondamente in the money può perdere valore se se ne allunga la durata, perché l’incasso allo strike viene posticipato. Questo effetto di finanziamento spiega perché più tempo non accresca il valore di ogni opzione europea.

Formule di valutazione delle opzioni europee

Siano $S$ il prezzo corrente del sottostante, $K$ lo strike e $T$ il tempo residuo in anni. La volatilità annua è $\sigma$, il tasso di interesse a capitalizzazione continua è $r$ e il rendimento continuo da dividendi è $y$. Volatilità e tassi sono inseriti in forma decimale; per esempio, una volatilità del 20% corrisponde a $0.20$. Per prezzi, tempo e volatilità positivi, il valore per azione della call $C$ e della put $P$ è:

Il fattore $e^{-rT}$ attualizza il pagamento dello strike e $e^{-yT}$ corregge il termine relativo al prezzo del sottostante per il rendimento continuo da dividendi. La funzione $N(z)$ è la funzione di distribuzione cumulativa normale standard: la probabilità che una variabile normale standard non superi $z$. I suoi argomenti sono:

Qui $\ln$ indica il logaritmo naturale. Il numeratore di $d_1$ combina il rapporto tra spot e strike con finanziamento, dividendi e volatilità sulla durata residua. Il denominatore rapporta tale relazione alla variabilità prevista dal modello sullo stesso orizzonte. La formula di $d_2$ sottrae a $d_1$ questa misura della volatilità.

Per esempio, un’opzione europea con prezzo del sottostante di $750, strike $775, 45 giorni residui, volatilità del 20%, tasso di interesse del 4% e rendimento continuo da dividendi dell’1% ha un valore per azione di circa $12.03 per la call e $34.14 per la put quando $T=45/365.25$.

A scadenza, il valore si riduce al valore intrinseco. Le formule riportate richiedono un trattamento limite separato quando la volatilità è nulla: in quel caso il modello segue un andamento deterministico del prezzo del sottostante e attualizza il payoff risultante.

Limiti dei modelli

I dividendi effettivi vengono pagati a date specifiche, i prezzi di mercato possono subire salti e la volatilità cambia nel tempo. Una volatilità costante e un rendimento continuo da dividendi semplificano queste caratteristiche anziché riprodurle esattamente. Un albero binomiale finito introduce un’ulteriore approssimazione, limitando le decisioni di esercizio ai propri intervalli temporali. Il risultato del modello è quindi una valutazione condizionata, da interpretare insieme alle specifiche contrattuali, alle quotazioni osservate e alle ipotesi adottate.