Hoe optieprijzen tot stand komen

De premie van een optie is de marktprijs van het contractuele recht. Die prijs weerspiegelt de mogelijke expiratiewaarde, de resterende looptijd en de voorwaarden voor uitoefening en afwikkeling. Een prijsmodel schat een theoretische waarde op basis van opgegeven parameters, waaronder de onderliggende koers, uitoefenprijs, volatiliteit, rente en dividenden. De prijs waartegen een transactie daadwerkelijk kan worden uitgevoerd, wordt bepaald door de beschikbare markt, niet door het model alleen.

Belangrijkste waarderingsparameters

Onderliggende koers en uitoefenprijs

Als de overige waarderingsparameters gelijk blijven, verhoogt een hogere onderliggende koers de waarde van een call en verlaagt die de waarde van een put. De vaste aankoopprijs van een call wordt voordeliger wanneer de onderliggende koers stijgt; de vaste verkoopprijs van een put wordt juist minder voordelig. Een verandering van de uitoefenprijs heeft het omgekeerde effect. Een lagere uitoefenprijs verbetert het kooprecht van een call, terwijl een hogere uitoefenprijs het verkooprecht van een put verbetert.

De omvang van de reactie hangt af van de moneyness. Een diep in-the-money-call reageert doorgaans meer als de onderliggende waarde, omdat een aanzienlijk deel van de optiewaarde bestaat uit het bestaande aankoopprijsvoordeel. Een out-of-the-money-call reageert minder sterk op een kleine koersbeweging, omdat de onderliggende koers eerst de uitoefenprijs moet passeren om bij expiratie waarde op te leveren. Deze veranderende gevoeligheden worden gemeten met de optiegrieken.

Tijd en volatiliteit

De tijd bepaalt de resterende periode waarin de onderliggende koers kan veranderen; volatiliteit beschrijft de omvang van de variatie in het rendement. In standaardmodellen voor optieprijzen verhoogt een hogere volatiliteit doorgaans zowel de call- als de putwaarde. Gunstige uitkomsten kunnen grotere expiratiewaarden opleveren, terwijl de houder bij ongunstige uitkomsten vrij blijft om niet uit te oefenen. Een optie kan dus een positieve premie hebben, ook wanneer haar uitoefenprijs bij de huidige onderliggende koers geen voordeel biedt.

Naarmate de expiratie nadert, zijn er minder mogelijkheden voor verandering in de expiratiewaarde en neemt de tijdswaarde doorgaans af. Het tempo van die afname hangt af van de moneyness en de resterende looptijd. Een call kan daarom ondanks een bescheiden stijging van de onderliggende koers in waarde dalen wanneer tijdswaardeverlies of een daling van de volatiliteit een groter effect heeft. Het overeenkomstige geldt voor een put na een bescheiden daling van de onderliggende koers.

Rente en dividenden

Uitoefening gaat gepaard met een betaling tegen de uitoefenprijs. Een hogere rente verlaagt de contante waarde van een toekomstige betaling, wat doorgaans gunstig is voor een callhouder die de betaling van de uitoefenprijs kan uitstellen. Voor een puthouder vertegenwoordigt de uitoefenprijs een te ontvangen opbrengst, zodat discontering doorgaans in de tegenovergestelde richting werkt. Bij deze vergelijkingen blijven de onderliggende koers en de overige parameters gelijk; ze voorspellen niet hoe de onderliggende waarde zelf op renteveranderingen zal reageren.

Dividenden worden aan aandeelhouders betaald, niet aan optiehouders. Verwachte uitkeringen verlagen ook de toekomstige ex-dividendkoers ten opzichte van een verder identiek koersverloop zonder uitkering. Hogere verwachte dividenden verlagen daarom doorgaans callwaarden en verhogen putwaarden. De datums en bedragen van uitkeringen kunnen bovendien bepalen of vervroegde uitoefening voordelig is, vooral bij een in-the-money-call met weinig resterende tijdswaarde.

Marktprijs, modelwaarde en impliciete volatiliteit

Bied- en laatkoersen geven aan tegen welke prijzen marktpartijen bereid zijn bepaalde aantallen te kopen en verkopen. Een model biedt een theoretische vergelijking op basis van zijn aannames. Verschillende volatiliteitsverwachtingen, dividendschattingen of behandelingen van uitoefening kunnen voor hetzelfde contract andere waarden opleveren, terwijl transactiekosten en marktdiepte de in de praktijk beschikbare prijzen beïnvloeden.

Impliciete volatiliteit, of IV, keert de gebruikelijke prijsberekening om. Bij gelijkblijvende overige parameters is dit de volatiliteit waarmee het model een gekozen marktpremie reproduceert. De biedkoers, middenkoers en laatkoers kunnen elk een andere volatiliteit impliceren. IV hangt dus af van de gekozen prijs en modelaannames en is geen onafhankelijk waargenomen eigenschap van de onderliggende waarde.

Europese en Amerikaanse prijsmodellen

Het Black–Scholes–Merton-model waardeert opties met een Europese uitoefenstijl, die alleen bij expiratie kunnen worden uitgeoefend. Het veronderstelt onder meer continue veranderingen in de onderliggende koers, constante volatiliteit en rente en een frictieloze handel. De voor dividend aangepaste formulering verwerkt uitkeringen via een continu dividendrendement in plaats van afzonderlijke betalingen.

De waardering kan worden afgeleid door de optie na te bootsen met een veranderend aandelenbezit en een positie in geleend of uitgeleend geld. Onder de modelaannames reproduceert het aanpassen van het aandelenbezit bij koersveranderingen de expiratiewaarde van de optie. De replicerende portefeuille en de optie moeten dan dezelfde waarde hebben; anders zou hun prijsverschil een arbitragemogelijkheid opleveren. Deze redenering bepaalt de optieprijs zonder een voorspelling van het verwachte beleggingsrendement van de onderliggende waarde te vereisen.

Een optie met een Amerikaanse uitoefenstijl kan ook vervroegd worden uitgeoefend. Een binomiale boom benadert de waardering door de resterende looptijd op te delen in stappen met mogelijke opwaartse en neerwaartse koersbewegingen. Vanuit de expiratiewaarden rekent het model terug door de boom. Op elk mogelijk uitoefenmoment vergelijkt het de intrinsieke waarde met de contant gemaakte waarde van aanhouden en kiest het het hoogste bedrag. Het uitoefenrecht wordt zo expliciet gewaardeerd, in plaats van behandeld alsof het alleen op de einddatum beschikbaar is.

Voor een call op aandelen die geen dividend uitkeren, voegt vervroegde uitoefening bij frictieloze aannames en niet-negatieve rentes geen waarde toe. Aanhouden behoudt de resterende keuzevrijheid en stelt de betaling van de uitoefenprijs uit. In dat geval waardeert de Europese formule ook de call met Amerikaanse uitoefenstijl. Een call op dividenduitkerende aandelen of een in-the-money-put kan wel baat hebben bij vervroegde uitoefening, zodat die gelijkwaardigheid niet in het algemeen geldt.

De uitoefenstijl nuanceert ook het gebruikelijke verband tussen tijd en waarde. Een verder identieke Amerikaanse optie die later expireert, omvat de uitoefenmogelijkheden van de korter lopende optie en voegt er extra aan toe. Een Europese optie verschuift daarentegen haar enige uitoefendatum naar later. Bij positieve rentes kan een diep in-the-money Europese put minder waard worden wanneer de looptijd wordt verlengd, omdat de ontvangst van de opbrengst tegen de uitoefenprijs wordt uitgesteld. Dit financieringseffect verklaart waarom meer tijd niet iedere Europese optie waardevoller maakt.

Europese prijsformules

Laat $S$ de huidige onderliggende koers zijn, $K$ de uitoefenprijs en $T$ de resterende tijd in jaren. De volatiliteit op jaarbasis is $\sigma$, de continu samengestelde rente is $r$ en het continue dividendrendement is $y$. Volatiliteit en rentes worden als decimalen ingevoerd; 20% volatiliteit is bijvoorbeeld $0.20$. Bij positieve koersen, tijd en volatiliteit zijn de callwaarde $C$ en putwaarde $P$ per aandeel:

De factor $e^{-rT}$ maakt de betaling van de uitoefenprijs contant, en $e^{-yT}$ corrigeert de term voor de onderliggende koers voor het continue dividendrendement. De functie $N(z)$ is de cumulatieve standaardnormale verdeling: de kans dat een standaardnormale variabele niet groter is dan $z$. Haar argumenten zijn:

Hier staat $\ln$ voor de natuurlijke logaritme. De teller van $d_1$ combineert de verhouding tussen spotkoers en uitoefenprijs met financiering, dividenden en volatiliteit over de resterende looptijd. De noemer schaalt die verhouding met de gemodelleerde variabiliteit over dezelfde periode. De formule voor $d_2$ trekt deze volatiliteitsschaal af van $d_1$.

Een Europese optie met een onderliggende koers van $750, uitoefenprijs van $775, resterende looptijd van 45 dagen, volatiliteit van 20%, rente van 4% en continu dividendrendement van 1% heeft bijvoorbeeld een callwaarde van ongeveer $12.03 en een putwaarde van $34.14 per aandeel wanneer $T=45/365.25$.

Bij expiratie valt de waarde terug op de intrinsieke waarde. Wanneer de volatiliteit nul is, vereisen de weergegeven formules een afzonderlijke behandeling als grensgeval: het model volgt dan een deterministisch koerspad voor de onderliggende waarde en maakt de resulterende expiratiewaarde contant.

Beperkingen van de modellen

Werkelijke dividenden worden op specifieke datums uitgekeerd, marktkoersen kunnen sprongsgewijs veranderen en volatiliteit verandert in de tijd. Een constante volatiliteit en een continu dividendrendement vereenvoudigen deze kenmerken in plaats van ze exact weer te geven. Een eindige binomiale boom voegt een verdere benadering toe door uitoefenbeslissingen tot zijn tijdstappen te beperken. De modeluitkomst is daarom een voorwaardelijke waardering die moet worden geïnterpreteerd naast de contractspecificaties, waargenomen koersen en gebruikte aannames.