期权如何定价

期权的权利金是其合约权利的市场价格。该价格反映期权可能提供的到期收益、剩余时间，以及行权和结算条款。定价模型根据指定参数估算理论价值，包括标的价格、行权价、波动率、利率和股息。实际能够成交的价格由市场上可获得的交易条件决定，而不是仅由模型决定。

主要估值参数

标的价格与行权价

在其他估值参数不变时，标的价格上升会提高看涨期权价值、降低看跌期权价值。随着标的上涨，看涨期权的固定买入价格变得更有利，看跌期权的固定卖出价格则变得较不利。改变行权价的作用方向相反：较低行权价改善看涨期权的买入权利，较高行权价改善看跌期权的卖出权利。

响应幅度取决于实虚值状态。深度实值看涨期权的反应通常更接近标的，因为其价值中很大一部分来自已有的买入价格优势。虚值看涨期权对小幅价格变动较不敏感，因为标的必须越过行权价才会产生到期收益。这些不断变化的敏感度由期权希腊字母指标衡量。

时间与波动率

时间决定标的仍可能变化的剩余期间，波动率描述其收益率变动的幅度。在标准期权定价模型中，波动率上升通常会同时提高看涨和看跌期权价值。有利结果可能带来更大的到期收益，不利结果下持有人则可自由选择不行权。因此，即使当前标的价格下的行权价并无优势，期权仍可能具有正权利金。

随着到期临近，到期收益可发生变化的机会减少，时间价值通常下降。下降速度取决于实虚值状态和剩余期限。因此，即使标的小幅上涨，若时间衰减或波动率下降的影响更大，看涨期权仍可能贬值。标的小幅下跌后的看跌期权，也面临相应考量。

利率与股息

行权涉及行权价款的支付。利率上升会降低未来付款的现值，通常有利于能够推迟支付行权价款的看涨期权持有人。对于看跌期权持有人，行权价款是未来将收到的资金，因此贴现的作用通常相反。上述比较均假设标的价格和其他参数固定，不预测标的本身如何响应利率变化。

股息支付给股份持有人，而非期权持有人。相对于其他条件相同但不派息的价格路径，预期分配还会降低未来除息后的股价。因此，预期股息增加通常降低看涨期权价值、提高看跌期权价值。派息日期和金额也可能影响提前行权是否有利，尤其是剩余时间价值很少的实值看涨期权。

市场价格、模型价值与隐含波动率

买卖报价表示市场参与者愿意买入或卖出指定数量的价格。模型则根据自身假设提供理论比较。不同的波动率预测、股息估计或行权处理方式，可能为同一合约得出不同价值；交易成本和市场深度则影响实际可成交价格。

隐含波动率，简称 IV，将通常的定价计算反向进行：在其他参数固定时，寻找使模型复现所选市场权利金的波动率。买价、中间价和卖价可能分别对应不同的隐含波动率。因此，IV 取决于所选价格和模型假设，并非标的本身可独立观察的属性。

欧式与美式期权定价模型

布莱克–斯科尔斯–默顿模型用于只能在到期时行权的欧式期权估值。其假设包括标的价格连续变化、波动率和利率恒定，以及交易无摩擦。计入股息的公式以连续股息率表示分配，而非逐笔派息。

该估值可通过动态调整的股份持仓及借贷头寸复制期权来推导。在模型假设下，随价格变化调整持股量，可以复制期权到期收益。因此，复制组合与期权必须具有相同价值，否则两者的价格差异会产生套利机会。这一推理无需预测标的的预期投资回报率，即可确定期权价格。

美式期权还允许提前行权。二叉树将剩余期限分成若干时间步，每一步均有可能的价格上涨和下跌，以此近似估值。计算从到期收益出发，沿树逐步向前倒推。在每个可行权时点，比较内在价值与贴现后的继续持有价值，取较大者。由此，行权权利被明确计价，而不是被视为只能在最终日期使用。

对不派息股份的看涨期权，在无摩擦假设及非负利率条件下，提前行权不会增加价值。继续持有期权既保留剩余选择权，也推迟支付行权价款。在这种情况下，欧式公式也适用于美式看涨期权估值。派息标的的看涨期权或实值看跌期权可能受益于提前行权，因此通常不具备同样的等价关系。

行权方式也限定了时间与价值之间通常关系的适用范围。其他条件相同的较晚到期美式期权，包含短期期权的全部行权机会，并增加更多机会。欧式期权延长期限则是推迟唯一的行权日期。利率为正时，深度实值欧式看跌期权可能因收取行权价款的时间推迟，在期限延长后价值下降。这种融资效应说明，更多时间并非总能提高每一种欧式期权的价值。

欧式期权定价公式

设 $S$ 为当前标的价格， $K$ 为行权价， $T$ 为以年计的剩余时间。年化波动率为 $\sigma$ ，连续复利利率为 $r$ ，连续股息率为 $y$ 。波动率和利率均以小数输入，例如 20% 的波动率写作 $0.20$ 。当价格、时间及波动率均为正时，每股看涨期权价值 $C$ 和看跌期权价值 $P$ 为：

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

因子 $e^{-rT}$ 用于贴现行权价款， $e^{-yT}$ 则按连续股息率调整标的价格项。函数 $N(z)$ 为标准正态分布的累积分布函数，即标准正态随机变量不大于 $z$ 的概率。其自变量如下：

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

其中， $\ln$ 表示自然对数。 $d_1$ 的分子将现价与行权价的关系，同剩余期限内的融资、股息及波动率因素结合。分母则用模型中同一期间的波动尺度对这一关系进行标准化。 $d_2$ 的公式是从 $d_1$ 中减去该波动尺度。

例如，一份欧式期权的标的价格为 $750，行权价为 $775，剩余 45 天到期，波动率为 20%，利率为 4%，连续股息率为 1%。采用 $T=45/365.25$ 时，每股看涨期权价值约为 $12.03，看跌期权价值约为 $34.14。

到期时，期权价值退化为内在价值。波动率为零时，上述公式需要单独作极限处理：此时模型中的标的价格沿确定性路径变化，再将由此产生的到期收益贴现。

模型的局限性

实际股息在特定日期派发，市场价格可能跳跃，波动率也随时间变化。固定波动率和连续股息率只是对这些特征的简化，并非精确复现。有限二叉树还将行权决定限制在离散时间步上，增加了一层近似。因此，模型输出是有条件的估值，需要结合合约规格、观察到的报价及所用假设加以理解。