Como as opções são precificadas

O prêmio de uma opção é o preço de mercado de seu direito contratual. Esse preço reflete o payoff que a opção pode proporcionar, o tempo restante e os termos que regem o exercício e a liquidação. Um modelo de precificação estima um valor teórico a partir de parâmetros especificados, incluindo preço do ativo subjacente, preço de exercício, volatilidade, taxas de juros e dividendos. O preço pelo qual uma operação pode efetivamente ser executada é determinado pelo mercado disponível, e não apenas pelo modelo.

Principais parâmetros de avaliação

Preço do ativo subjacente e preço de exercício

Com os demais parâmetros de avaliação inalterados, um preço maior do ativo subjacente aumenta o valor de uma call e reduz o valor de uma put. O preço fixo de compra de uma call se torna mais vantajoso conforme o ativo sobe; o preço fixo de venda de uma put se torna menos vantajoso. Alterar o preço de exercício tem o efeito inverso. Um preço de exercício menor melhora o direito de compra de uma call, enquanto um preço de exercício maior melhora o direito de venda de uma put.

A magnitude da resposta depende do moneyness. Uma call muito dentro do dinheiro geralmente reage de forma mais semelhante ao ativo subjacente, pois parte substancial de seu valor corresponde à vantagem de compra já existente. Uma call fora do dinheiro é menos sensível a um pequeno movimento de preço porque o ativo precisa ultrapassar o preço de exercício para que ela gere payoff no vencimento. Essas sensibilidades variáveis são medidas pelas gregas da opção.

Prazo e volatilidade

O prazo determina o horizonte remanescente em que o ativo subjacente pode variar; a volatilidade descreve a magnitude da variabilidade de seus retornos. Nos modelos padrão de precificação de opções, uma volatilidade maior geralmente aumenta o valor tanto de calls quanto de puts. Resultados favoráveis podem proporcionar payoffs maiores, enquanto os desfavoráveis deixam o titular livre para não exercer. Assim, uma opção pode ter prêmio positivo mesmo quando seu preço de exercício não oferece vantagem em relação ao preço corrente do ativo subjacente.

À medida que o vencimento se aproxima, diminui a oportunidade de mudança no payoff, e o valor temporal geralmente cai. O ritmo dessa queda depende do moneyness e do prazo remanescente. Por isso, uma call pode perder valor apesar de uma alta modesta do ativo subjacente se a perda de valor temporal ou a redução da volatilidade tiver um efeito maior. As mesmas considerações se aplicam a uma put após uma queda modesta do ativo subjacente.

Taxas de juros e dividendos

O exercício envolve um pagamento pelo preço de exercício. Taxas de juros mais altas reduzem o valor presente de um pagamento futuro, o que geralmente beneficia o titular de uma call que pode adiar esse pagamento. Para o titular de uma put, o preço de exercício representa um valor a receber, de modo que o desconto geralmente atua no sentido oposto. Essas comparações mantêm fixos o preço do ativo subjacente e os demais parâmetros; elas não preveem como o próprio ativo reagirá a mudanças nas taxas de juros.

Dividendos são pagos aos acionistas, não aos titulares de opções. As distribuições esperadas também reduzem o preço futuro da ação após a data ex-dividendo em relação a uma trajetória idêntica sem o pagamento. Assim, dividendos esperados maiores geralmente reduzem o valor das calls e aumentam o das puts. As datas e os valores das distribuições também podem afetar a conveniência do exercício antecipado, especialmente para uma call dentro do dinheiro com pouco valor temporal remanescente.

Preço de mercado, valor do modelo e volatilidade implícita

As ofertas de compra e venda indicam os preços pelos quais os participantes do mercado estão dispostos a negociar quantidades especificadas. Um modelo oferece uma comparação teórica baseada em suas hipóteses. Diferentes previsões de volatilidade, estimativas de dividendos ou tratamentos do exercício podem produzir valores diferentes para o mesmo contrato, enquanto os custos de transação e a profundidade do mercado afetam os preços disponíveis na prática.

A volatilidade implícita, ou IV, inverte o cálculo usual de precificação. Com os demais parâmetros fixos, ela é a volatilidade que faz o modelo reproduzir um prêmio de mercado escolhido. O preço de compra, o ponto médio e o preço de venda podem implicar volatilidades diferentes. A IV depende, portanto, do preço escolhido e das hipóteses do modelo, em vez de ser uma propriedade do ativo subjacente observada de forma independente.

Modelos de precificação de opções europeias e americanas

O modelo de Black–Scholes–Merton avalia opções de estilo europeu, cujo exercício só é possível no vencimento. Suas hipóteses incluem variações contínuas do preço do ativo subjacente, volatilidade e taxas de juros constantes e negociação sem fricções. A formulação ajustada para dividendos representa as distribuições por meio de um rendimento contínuo, e não de pagamentos individuais.

A avaliação pode ser deduzida replicando a opção com uma posição variável em ações e uma posição de tomada ou aplicação de recursos. Sob as hipóteses do modelo, ajustar a quantidade de ações conforme os preços variam reproduz o payoff da opção. A carteira replicante e a opção devem, então, ter o mesmo valor; caso contrário, a diferença de preços criaria uma arbitragem. Esse raciocínio determina o preço da opção sem exigir uma previsão do retorno esperado do investimento no ativo subjacente.

Uma opção de estilo americano também permite exercício antecipado. Uma árvore binomial aproxima a avaliação dividindo o prazo remanescente em etapas com possíveis movimentos de alta e baixa de preço. Partindo dos payoffs no vencimento, o cálculo retrocede pela árvore. Em cada oportunidade de exercício, compara o valor intrínseco com o valor descontado de continuidade e utiliza o maior. Assim, o direito de exercício é avaliado explicitamente, em vez de ser tratado como se estivesse disponível apenas na data final.

Para uma call sobre ações que não pagam dividendos, o exercício antecipado não acrescenta valor sob hipóteses de ausência de fricções e taxas de juros não negativas. Manter a opção preserva a escolha remanescente e adia o pagamento do preço de exercício. Nesse caso, a fórmula europeia também avalia a call de estilo americano. Uma call sobre ações que pagam dividendos ou uma put dentro do dinheiro pode se beneficiar do exercício antecipado; por isso, essa equivalência não se aplica de forma geral.

O estilo de exercício também impõe ressalvas à relação usual entre prazo e valor. Uma opção americana de vencimento posterior, idêntica nos demais aspectos, inclui as oportunidades de exercício da opção mais curta e acrescenta outras. Já uma opção europeia adia sua única data de exercício. Com taxas de juros positivas, uma put europeia muito dentro do dinheiro pode perder valor quando seu prazo é ampliado, pois o recebimento pelo preço de exercício é adiado. Esse efeito de financiamento explica por que mais tempo não aumenta o valor de toda opção europeia.

Fórmulas de precificação de opções europeias

Sejam $S$ o preço corrente do ativo subjacente, $K$ o preço de exercício e $T$ o prazo remanescente em anos. A volatilidade anual é $\sigma$ , a taxa de juros com capitalização contínua é $r$ e o rendimento contínuo de dividendos é $y$ . Volatilidade e taxas são informadas em decimais; por exemplo, uma volatilidade de 20% é $0.20$ . Para preços, prazo e volatilidade positivos, o valor por ação da call, $C$ , e da put, $P$ , é:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

O fator $e^{-rT}$ desconta o pagamento pelo preço de exercício, e $e^{-yT}$ ajusta o termo do preço do ativo subjacente pelo rendimento contínuo de dividendos. A função $N(z)$ é a distribuição normal padrão acumulada: a probabilidade de uma variável normal padrão ser menor ou igual a $z$ . Seus argumentos são:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Aqui, $\ln$ indica o logaritmo natural. O numerador de $d_1$ combina a relação entre preço à vista e preço de exercício com financiamento, dividendos e volatilidade ao longo do prazo remanescente. O denominador dimensiona essa relação pela variabilidade modelada no mesmo horizonte. A fórmula de $d_2$ subtrai de $d_1$ essa escala de volatilidade.

Por exemplo, uma opção europeia com preço do ativo subjacente de $750, preço de exercício de $775, 45 dias restantes, volatilidade de 20%, taxa de juros de 4% e rendimento contínuo de dividendos de 1% tem valor aproximado de $12.03 para a call e $34.14 para a put por ação quando $T=45/365.25$ .

No vencimento, o valor se reduz ao valor intrínseco. As fórmulas apresentadas exigem um tratamento de limite separado quando a volatilidade é zero: nesse caso, o modelo segue uma trajetória determinística do preço do ativo subjacente e desconta o payoff resultante.

Limitações dos modelos

Os dividendos efetivos ocorrem em datas específicas, os preços de mercado podem apresentar saltos e a volatilidade muda ao longo do tempo. Uma volatilidade constante e um rendimento contínuo de dividendos simplificam essas características, em vez de reproduzi-las exatamente. Uma árvore binomial finita acrescenta outra aproximação ao limitar as decisões de exercício às suas etapas de tempo. O resultado do modelo é, portanto, uma avaliação condicional que deve ser interpretada em conjunto com as especificações contratuais, as cotações observadas e as hipóteses utilizadas.