オプション価格の決まり方

オプションのプレミアムは、契約上の権利に付く市場価格である。その価格には、オプションがもたらし得るペイオフ、残存期間、権利行使と受渡しを定める条件が反映される。価格評価モデルは、原資産価格、権利行使価格、ボラティリティ、金利、配当などの所定の入力値から理論価値を推計する。実際に約定できる価格を決めるのは、モデルだけではなく、その時点で取引可能な市場である。

主な評価入力値

原資産価格と権利行使価格

他の評価入力値を一定とすると、原資産価格の上昇はコールの価値を高め、プットの価値を下げる。原資産が上昇するほど、コールの固定された購入価格は有利になり、プットの固定された売却価格は不利になる。権利行使価格の変更には逆の効果がある。権利行使価格が低いほどコールの購入権は有利になり、高いほどプットの売却権は有利になる。

反応の大きさはマネーネスによって異なる。ディープ・イン・ザ・マネーのコールは、その価値の多くを既存の購入価格の有利さが占めるため、一般に原資産に近い値動きをする。アウト・オブ・ザ・マネーのコールは、満期時のペイオフが生じるには原資産価格が権利行使価格を上回る必要があるため、小さな価格変動への反応が弱い。こうした変化する感応度は、オプションのグリークスで測定される。

時間とボラティリティ

時間は原資産が変動し得る残りの期間を定め、ボラティリティはそのリターンの変動幅を表す。標準的なオプション価格評価モデルでは、ボラティリティが高いほど、一般にコールとプットのいずれの価値も高くなる。有利な結果ではより大きなペイオフが得られ、不利な結果では保有者は行使しない自由を保てるためである。そのため現在の原資産価格に対して権利行使価格が有利でなくても、オプションに正のプレミアムが付くことがある。

満期が近づくと、ペイオフが変わり得る機会が減り、時間的価値は一般に低下する。その減少率は、マネーネスと残存期間によって異なる。したがって原資産が小幅に上昇しても、タイムディケイやボラティリティ低下の影響のほうが大きければ、コールの価値は下落し得る。原資産が小幅に下落した後のプットにも、同じ考え方が当てはまる。

金利と配当

権利行使には、権利行使価格による金銭の受け渡しが伴う。金利が高くなると将来の支払額の現在価値が下がるため、支払いを先送りできるコールの保有者には一般に有利となる。プットの保有者にとって権利行使価格は受け取る売却代金なので、割引は通常、逆方向に作用する。これらの比較では原資産価格と他の入力値を一定としており、金利変化に原資産自体がどう反応するかを予測しているわけではない。

配当はオプション保有者ではなく株主に支払われる。また、予想される配当は、それ以外の条件が同じで配当のない価格経路と比べ、将来の配当落ち後の株価を低くする。このため予想配当が大きいほど、一般にコールの価値は低下し、プットの価値は上昇する。配当の日付と金額は、早期行使が有利かどうかにも影響し得る。特に、イン・ザ・マネーで残存する時間的価値の小さいコールでは重要となる。

市場価格・モデル評価額・インプライド・ボラティリティ

買い気配値と売り気配値は、市場参加者が所定の数量を売買しようとしている価格を示す。モデルは、その仮定に基づく理論的な比較値を提供する。同じ契約でも、ボラティリティ予測、配当予想、権利行使の扱いが異なれば評価額は異なる。また、実際に取引できる価格には、取引費用と市場の厚みが影響する。

インプライド・ボラティリティ、略してIVは、通常の価格計算を逆向きに行って求める。他の入力値を固定したとき、選択した市場プレミアムをモデルが再現するボラティリティがIVである。買い気配値、仲値、売り気配値からは、それぞれ異なるボラティリティが得られ得る。したがってIVは、原資産から独立に観測される固有の性質ではなく、選択した価格とモデルの仮定を条件とする値である。

ヨーロピアン型とアメリカン型の価格評価モデル

ブラック–ショールズ–マートン・モデルは、満期時にのみ行使できるヨーロピアン型オプションを評価する。その仮定には、原資産価格の連続的な変化、一定のボラティリティと金利、取引摩擦のない市場などが含まれる。配当を考慮した式では、個別の配当支払いではなく、連続配当利回りによって分配を表す。

この評価は、株式の保有量を調整しながら借入れまたは貸付けを組み合わせ、オプションを複製することで導ける。モデルの仮定の下では、価格変化に応じて株式保有量を調整すると、オプションのペイオフを再現できる。その場合、複製ポートフォリオとオプションは同じ価値でなければならない。異なれば、その価格差から裁定機会が生じるためである。この考え方により、原資産の期待投資収益率を予測せずにオプション価格を決定できる。

アメリカン型オプションは早期行使も認める。二項ツリーは、残存期間を段階に分け、各段階で価格が上昇または下落する可能性を置いて価値を近似する。計算は満期時のペイオフから始め、ツリーを逆向きにたどる。各行使機会で、本質的価値と保有を継続する価値の割引額を比較し、大きいほうを採用する。これにより、行使権を最終日にしか使えないものとして扱うのではなく、その価値を明示的に評価する。

無配当株式のコールでは、取引摩擦がなく金利が非負という仮定の下で、早期行使による追加価値は生じない。オプションを保有し続ければ、残存する選択権を維持し、権利行使価格の支払いを先送りできるためである。この場合、ヨーロピアン型の式でアメリカン型コールも評価できる。配当のある株式のコールやイン・ザ・マネーのプットでは早期行使が有利になる場合があり、一般には同じ同値関係は成立しない。

時間と価値の通常の関係にも、権利行使方式に応じた留意点がある。他の条件が同一で満期が遅いアメリカン型オプションには、短期のオプションが持つ行使機会に加え、その後の行使機会もある。一方、ヨーロピアン型では唯一の行使日が先に延びる。金利が正の場合、ディープ・イン・ザ・マネーのヨーロピアン型プットは、期間が延びると権利行使価格での売却代金の受取りが遅れるため、価値が下がることがある。期間の延長がすべてのヨーロピアン型オプションの価値を高めるわけではないのは、この資金の時間価値による。

ヨーロピアン型の価格評価式

現在の原資産価格を $S$ 、権利行使価格を $K$ 、年単位の残存期間を $T$ とする。年率ボラティリティは $\sigma$ 、連続複利金利は $r$ 、連続配当利回りは $y$ である。ボラティリティや金利・利回りは小数で入力し、例えば20%のボラティリティは $0.20$ とする。価格、期間、ボラティリティが正の場合、1株当たりのコール価値 $C$ とプット価値 $P$ は次のようになる。

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

係数 $e^{-rT}$ は権利行使価格による支払いを割り引き、 $e^{-yT}$ は原資産価格の項を連続配当利回りに応じて調整する。関数 $N(z)$ は標準正規分布の累積分布関数であり、標準正規変数が $z$ 以下となる確率を示す。この関数に入る引数は次のとおりである。

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

ここで $\ln$ は自然対数を表す。 $d_1$ の分子は、現物価格と権利行使価格の関係に、残存期間中の資金調達、配当、ボラティリティの効果を組み合わせたものである。分母は、その関係を同じ期間についてモデルが想定する変動の大きさで尺度化する。 $d_2$ の式では、このボラティリティの尺度を $d_1$ から差し引く。

例えば、原資産価格$750、権利行使価格$775、残存期間45日、ボラティリティ20%、金利4%、連続配当利回り1%のヨーロピアン型オプションでは、 $T=45/365.25$ とすると、1株当たりのコール価値は約$12.03、プット価値は約$34.14となる。

満期時の価値は本質的価値に一致する。上記の式でボラティリティがゼロの場合は、別途、極限として扱う必要がある。この場合、モデル内の原資産価格は確定的な経路をたどり、その結果得られるペイオフを割り引いて評価する。

モデルの限界

実際の配当は特定の日に支払われ、市場価格は不連続に跳ぶことがあり、ボラティリティも時間とともに変化する。一定のボラティリティや連続配当利回りは、これらを正確に再現するのではなく単純化したものである。有限の二項ツリーでは、行使判断を各時間ステップに限定するため、さらに近似が加わる。したがってモデルの出力は条件付きの評価額であり、契約仕様、観測された気配値、使用した仮定と併せて解釈する必要がある。