Как формируется цена опционов

Премия опциона — рыночная цена предоставляемого им договорного права. Она отражает возможную выплату по опциону, оставшееся время и условия исполнения и расчётов. Модель ценообразования оценивает теоретическую стоимость по заданным параметрам, включая цену базового актива, страйк, волатильность, процентные ставки и дивиденды. Цена реальной сделки определяется доступными рыночными условиями, а не одной лишь моделью. 1

Основные параметры оценки

Цена базового актива и страйк

При неизменных остальных параметрах оценки рост цены базового актива повышает стоимость колла и снижает стоимость пута. По мере роста базового актива фиксированная цена покупки по коллу становится выгоднее, а фиксированная цена продажи по путу — менее выгодной. Изменение страйка действует в обратном направлении. Более низкий страйк улучшает право покупки по коллу, а более высокий — право продажи по путу.

Сила реакции зависит от денежности. Колл глубоко в деньгах обычно реагирует на изменение цены всё больше как сам базовый актив, поскольку значительную часть его стоимости составляет уже имеющаяся выгода от цены покупки. Колл вне денег слабее реагирует на небольшое движение: для положительной выплаты при экспирации цена должна пересечь страйк. Эти меняющиеся чувствительности измеряют дельта и гамма опциона.

Время и волатильность

Время определяет оставшийся горизонт возможного изменения базового актива, а волатильность — масштаб изменчивости его доходности. В стандартных моделях ценообразования более высокая волатильность обычно повышает стоимость и коллов, и путов. Благоприятные исходы могут давать более крупные выплаты, а при неблагоприятных держатель по-прежнему вправе не исполнять опцион. Поэтому премия может быть положительной, даже если при текущей цене базового актива страйк не даёт преимущества. 2

По мере приближения экспирации временная стоимость обычно уменьшается, но больший срок не всегда означает большую стоимость. Американский опцион с более поздней экспирацией при прочих равных включает возможности исполнения более короткого опциона и добавляет новые. У европейского опциона вместо этого откладывается единственная дата исполнения. При положительных процентных ставках европейский пут глубоко в деньгах может дешеветь при увеличении срока, поскольку получение выручки по страйку отдаляется.

Поэтому колл может дешеветь даже при умеренном росте базового актива, если временной распад или снижение волатильности оказываются сильнее. Аналогичные соображения применимы к путу после умеренного снижения базового актива.

Процентные ставки и дивиденды

Исполнение связано с платежом по страйку. Более высокие процентные ставки уменьшают приведённую стоимость будущего платежа, что обычно выгодно держателю колла, способному отложить оплату страйка. Для держателя пута страйк представляет собой будущую выручку, поэтому дисконтирование обычно действует в противоположном направлении. В этих сравнениях цена базового актива и остальные параметры фиксированы; они не предсказывают реакцию самого базового актива на изменение процентных ставок.

Дивиденды получают акционеры, а не держатели опционов. Ожидаемые выплаты также снижают будущую цену акции после отсечения дивиденда по сравнению с иной, полностью совпадающей траекторией без выплаты. Поэтому более высокие ожидаемые дивиденды обычно уменьшают стоимость коллов и повышают стоимость путов. Даты и суммы выплат также могут влиять на выгодность досрочного исполнения, особенно для колла в деньгах с небольшой оставшейся временной стоимостью. 3

Почему результат калькулятора отличается от данных брокера?

Часто эти числа измеряют разные вещи. Модельная стоимость, оценочная цена брокера и цена совершённой сделки не взаимозаменяемы. Прежде чем искать ошибку расчёта, проверьте тип цены, контракт, единицы, момент оценки и премию открытия. Как отмечается в объяснении моделей ценообразования OIC, формулы оценивают теоретические стоимости, а фактические премии определяет рынок.

Сравнивайте цены с одинаковым смыслом

Цена спроса (bid) — предлагаемая цена покупки, а цена предложения (ask) — предлагаемая цена продажи. Их середина — просто среднее, а не состоявшаяся сделка. Последняя сделка отражает прежнее исполнение, которое может уже не соответствовать рынку. Важны также время котировки и доступное количество; эти поля объясняются в руководстве по опционным котировкам.

Предположим, вы купили один опцион за $8.70 на акцию. Позднейшая гипотетическая котировка показывает спрос $8.30, предложение $8.70 и последнюю сделку $9.10. Середина равна $8.50. При мультипликаторе 100 акций:

Сравнение с покупкой за $8.70	Расчёт до издержек	Смысл
Закрывающая продажа фактически исполнена по $8.30	($8.30 − $8.70) × 100 = −$40	Реализованный убыток при этой гипотетической сделке
Брокер оценивает открытую позицию по $8.50	($8.50 − $8.70) × 100 = −$20	Нереализованная оценка, если брокер использует середину котировки
Отображается последняя сделка $9.10	Новая продажа не подтверждена	Прежняя сделка не определяет вашу цену выхода

Это иллюстративные числа, а не текущие котировки. Брокеры могут использовать разные оценочные цены, а комиссии и другие издержки меняют результат. Даже отображаемая сейчас цена спроса не гарантирует позднейшего исполнения по ней.

Сверьте контракт и единицы измерения

Проверьте базовый актив, тип колл или пут, страйк, экспирацию, стиль исполнения, количество и мультипликатор. Премия на акцию — не стоимость всей позиции: $8.50 на акцию — это $850 за один контракт на 100 акций, до издержек. У других продуктов и скорректированных контрактов могут отличаться мультипликаторы или условия расчётов.

Согласуйте предпосылки и момент оценки

Сравнивайте одинаковые цену базового актива, оставшийся срок, IV, процентную ставку и дивиденды. Устаревшая цена акции, иное предположение о дивидендах или другой учёт досрочного исполнения могут объяснить расхождение без арифметической ошибки в каком-либо расчёте.

Этот калькулятор использует ваши предпосылки, а не данные брокера. Тикер обозначает сценарий и не загружает котировки. У всех компонентов общие экспирация, волатильность, процентная ставка и дивидендная доходность, тогда как рыночная IV может различаться по страйкам и срокам. Оценка использует целые дни: при экспирации сегодня оставшееся модельное время нулевое и применяется внутренняя стоимость, а не внутридневной распад. Модели и единицы описаны в методологии.

Проверьте, что означает премия открытия

Цена входа — цена базового актива при открытии, а не премия, которую вы уплатили за опцион. Калькулятор моделирует премии открытия при этой цене на сегодняшнюю дату. Изменение поля «Цена входа», IV, ставок, дивидендов или условий контрактов пересчитывает эти премии и сводку позиции. Ценовой ползунок в режиме времени редактирует ту же цену открытия.

Дата анализа меняет дату оценки графика зависимости от цены акции, а не премию открытия или сегодняшнюю сводку позиции. В режиме цены акции меняется цена базового актива на указанную дату; в режиме времени значение поля «Цена входа» фиксировано, а дата меняется. Чтение точки на кривой отличается от редактирования предпосылки открытия.

Ввода фактической цены сделки или импорта от брокера нет. Подбор предпосылок до совпадения премии с ценой вашей покупки не превращает график в запись этой сделки. Для сверки реальной сделки используйте премии входа и выхода, количество, мультипликатор и издержки; для открытой позиции укажите оценочную цену, по которой она оценена.

Рассматривайте IV вместе с ценой и моделью

Подразумеваемая волатильность — волатильность, при которой выбранная модель воспроизводит выбранную премию при фиксированных остальных параметрах. Поэтому спрос, середина и предложение могут подразумевать разные IV. Предположения о времени, дивидендах и исполнении тоже влияют на ответ. Значение IV лучше читать вместе с этими параметрами, как объясняется в статье «Подразумеваемая волатильность».

Модели оценки европейских и американских опционов

Модель Блэка — Шоулза — Мертона оценивает опционы европейского стиля, допускающие исполнение только при экспирации. Среди её предпосылок — непрерывное изменение цены базового актива, постоянная волатильность и процентные ставки, а также торговля без рыночных трений. Вариант с учётом дивидендов представляет выплаты непрерывной доходностью, а не отдельными платежами. 4

Оценку можно вывести через воспроизведение опциона портфелем с меняющимся количеством акций и позицией по заимствованию или размещению денежных средств. При предпосылках модели корректировка количества акций по мере изменения цен воспроизводит выплату опциона. Тогда воспроизводящий портфель и опцион должны иметь одинаковую стоимость; иначе разница цен создала бы арбитражную возможность. Это рассуждение позволяет определить цену опциона без прогноза ожидаемой инвестиционной доходности базового актива.

Опцион американского стиля также допускает досрочное исполнение. Биномиальное дерево приближённо оценивает его стоимость, разбивая оставшийся срок на шаги с возможными движениями цены вверх и вниз. Начиная с выплат при экспирации, расчёт идёт назад по дереву. В каждой точке, где возможно исполнение, внутренняя стоимость сравнивается с дисконтированной стоимостью дальнейшего владения и выбирается большая величина. Таким образом, право исполнения оценивается явно, а не считается доступным лишь в конечную дату. 1

Для колла на акции без дивидендов досрочное исполнение не добавляет стоимости при отсутствии рыночных трений и неотрицательных процентных ставках. Сохранение опциона оставляет возможность выбора и откладывает платёж по страйку. В этом случае европейская формула оценивает и колл американского стиля. Колл на дивидендные акции или пут в деньгах могут выигрывать от досрочного исполнения, поэтому в общем случае такая эквивалентность не действует. Калькулятор учитывает это различие, а не применяет европейскую формулу к каждому американскому опциону.

Формулы оценки европейских опционов

Пусть $S$ — текущая цена базового актива, $K$ — страйк, а $T$ — оставшееся время в годах. Годовая волатильность обозначается $\sigma$ , процентная ставка с непрерывным начислением — $r$ , а непрерывная дивидендная доходность — $y$ . Волатильность и ставки вводятся в десятичном виде: например, волатильность 20% соответствует $0.20$ . При положительных $S$ , $K$ , $T$ и $\sigma$ стоимость колла $C$ и пута $P$ на акцию равна:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Множитель $e^{-rT}$ дисконтирует платёж по страйку, а $e^{-yT}$ корректирует член с ценой базового актива на непрерывную дивидендную доходность. Функция $N(z)$ — функция стандартного нормального распределения: вероятность того, что стандартная нормальная случайная величина не превышает $z$ . Её аргументы определяются так:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Здесь $\ln$ обозначает натуральный логарифм. Числитель $d_1$ объединяет соотношение спот-цены и страйка с влиянием финансирования, дивидендов и волатильности за оставшийся срок. Знаменатель нормирует это соотношение на модельный масштаб изменчивости за тот же горизонт. В формуле $d_2$ этот масштаб волатильности вычитается из $d_1$ .

Например, для европейского опциона при цене базового актива $750, страйке $775, оставшемся сроке 45 дней, волатильности 20%, процентной ставке 4% и непрерывной дивидендной доходности 1% стоимость колла составляет приблизительно $12.03, а пута — $34.14 на акцию при $T=45/365.25$ .

При экспирации стоимость сводится к внутренней стоимости. Нулевое время или нулевая волатильность требуют отдельного рассмотрения предельного случая, а не прямой подстановки в $d_1$ и $d_2$ . При нулевой волатильности модель задаёт детерминированную траекторию цены базового актива и дисконтирует полученную выплату.

Ограничения моделей

Реальные дивиденды выплачиваются в конкретные даты, рыночные цены могут изменяться скачками, а волатильность меняется со временем. Постоянная волатильность и непрерывная дивидендная доходность упрощают эти особенности, а не воспроизводят их в точности. Конечное биномиальное дерево добавляет ещё одно приближение, ограничивая решения об исполнении своими временными шагами. Поэтому результат модели — условная оценка, которую нужно рассматривать вместе со спецификацией контракта, наблюдаемыми котировками и принятыми предпосылками, а не котировка, доступная для сделки. 4

Исполнение и назначение к исполнению могут создавать позиции в акциях и потребность в финансировании за пределами P/L калькулятора, учитывающего только опционы. Он не рассчитывает брокерскую маржу или доходность счёта, а отдельные опционные контракты сохраняют самостоятельные процедуры исполнения и назначения.