Как формируется цена опционов

Премия опциона — рыночная цена предоставляемого им договорного права. Она отражает возможную выплату по опциону, оставшееся время и условия исполнения и расчётов. Модель ценообразования оценивает теоретическую стоимость по заданным параметрам, включая цену базового актива, страйк, волатильность, процентные ставки и дивиденды. Цена реальной сделки определяется доступными рыночными условиями, а не одной лишь моделью.

Основные параметры оценки

Цена базового актива и страйк

При неизменных остальных параметрах оценки рост цены базового актива повышает стоимость колла и снижает стоимость пута. По мере роста базового актива фиксированная цена покупки по коллу становится выгоднее, а фиксированная цена продажи по путу — менее выгодной. Изменение страйка действует в обратном направлении. Более низкий страйк улучшает право покупки по коллу, а более высокий — право продажи по путу.

Сила реакции зависит от денежности. Колл глубоко в деньгах обычно реагирует на изменение цены всё больше как сам базовый актив, поскольку значительную часть его стоимости составляет уже имеющаяся выгода от цены покупки. Колл вне денег слабее реагирует на небольшое движение: для положительной выплаты при экспирации цена должна пересечь страйк. Эти меняющиеся чувствительности измеряют греки опциона.

Время и волатильность

Время определяет оставшийся горизонт возможного изменения базового актива, а волатильность — масштаб изменчивости его доходности. В стандартных моделях ценообразования более высокая волатильность обычно повышает стоимость и коллов, и путов. Благоприятные исходы могут давать более крупные выплаты, а при неблагоприятных держатель по-прежнему вправе не исполнять опцион. Поэтому премия может быть положительной, даже если при текущей цене базового актива страйк не даёт преимущества.

По мере приближения экспирации возможности изменения выплаты сокращаются, и временная стоимость обычно уменьшается. Скорость уменьшения зависит от денежности и оставшегося срока. Поэтому колл может дешеветь даже при умеренном росте базового актива, если временной распад или снижение волатильности оказываются сильнее. Аналогичные соображения применимы к путу после умеренного снижения базового актива.

Процентные ставки и дивиденды

Исполнение связано с платежом по страйку. Более высокие процентные ставки уменьшают приведённую стоимость будущего платежа, что обычно выгодно держателю колла, способному отложить оплату страйка. Для держателя пута страйк представляет собой будущую выручку, поэтому дисконтирование обычно действует в противоположном направлении. В этих сравнениях цена базового актива и остальные параметры фиксированы; они не предсказывают реакцию самого базового актива на изменение процентных ставок.

Дивиденды получают акционеры, а не держатели опционов. Ожидаемые выплаты также снижают будущую цену акции после отсечения дивиденда по сравнению с иной, полностью совпадающей траекторией без выплаты. Поэтому более высокие ожидаемые дивиденды обычно уменьшают стоимость коллов и повышают стоимость путов. Даты и суммы выплат также могут влиять на выгодность досрочного исполнения, особенно для колла в деньгах с небольшой оставшейся временной стоимостью.

Рыночная цена, модельная стоимость и подразумеваемая волатильность

Котировки спроса и предложения показывают цены, по которым участники рынка готовы покупать и продавать определённые количества. Модель даёт теоретический ориентир на основе своих предпосылок. Разные прогнозы волатильности, оценки дивидендов или способы учёта исполнения могут давать разные стоимости одного контракта, а транзакционные издержки и глубина рынка влияют на цены, доступные на практике.

Подразумеваемая волатильность, или IV, получается из расчёта, обратного обычному определению цены. При фиксированных остальных параметрах это волатильность, при которой модель воспроизводит выбранную рыночную премию. Цена спроса, средняя цена котировки и цена предложения могут подразумевать разные значения волатильности. Поэтому IV зависит от выбранной цены и предпосылок модели, а не является независимо наблюдаемым свойством базового актива.

Модели оценки европейских и американских опционов

Модель Блэка — Шоулза — Мертона оценивает опционы европейского стиля, допускающие исполнение только при экспирации. Среди её предпосылок — непрерывное изменение цены базового актива, постоянная волатильность и процентные ставки, а также торговля без рыночных трений. Вариант с учётом дивидендов представляет выплаты непрерывной доходностью, а не отдельными платежами.

Оценку можно вывести через воспроизведение опциона портфелем с меняющимся количеством акций и позицией по заимствованию или размещению денежных средств. При предпосылках модели корректировка количества акций по мере изменения цен воспроизводит выплату опциона. Тогда воспроизводящий портфель и опцион должны иметь одинаковую стоимость; иначе разница цен создала бы арбитражную возможность. Это рассуждение позволяет определить цену опциона без прогноза ожидаемой инвестиционной доходности базового актива.

Опцион американского стиля также допускает досрочное исполнение. Биномиальное дерево приближённо оценивает его стоимость, разбивая оставшийся срок на шаги с возможными движениями цены вверх и вниз. Начиная с выплат при экспирации, расчёт идёт назад по дереву. В каждой точке, где возможно исполнение, внутренняя стоимость сравнивается с дисконтированной стоимостью дальнейшего владения и выбирается большая величина. Таким образом, право исполнения оценивается явно, а не считается доступным лишь в конечную дату.

Для колла на акции без дивидендов досрочное исполнение не добавляет стоимости при отсутствии рыночных трений и неотрицательных процентных ставках. Сохранение опциона оставляет возможность выбора и откладывает платёж по страйку. В этом случае европейская формула оценивает и колл американского стиля. Колл на дивидендные акции или пут в деньгах могут выигрывать от досрочного исполнения, поэтому в общем случае такая эквивалентность не действует.

Стиль исполнения также уточняет обычную зависимость между временем и стоимостью. Американский опцион с более поздней экспирацией при прочих равных включает возможности исполнения более короткого опциона и добавляет новые. У европейского опциона вместо этого откладывается единственная дата исполнения. При положительных процентных ставках европейский пут глубоко в деньгах может дешеветь при увеличении срока, поскольку получение выручки по страйку отдаляется. Этот эффект финансирования объясняет, почему дополнительное время повышает стоимость не каждого европейского опциона.

Формулы оценки европейских опционов

Пусть $S$ — текущая цена базового актива, $K$ — страйк, а $T$ — оставшееся время в годах. Годовая волатильность обозначается $\sigma$ , процентная ставка с непрерывным начислением — $r$ , а непрерывная дивидендная доходность — $y$ . Волатильность и ставки вводятся в десятичном виде: например, волатильность 20% соответствует $0.20$ . При положительных ценах, времени и волатильности стоимость колла $C$ и пута $P$ на акцию равна:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Множитель $e^{-rT}$ дисконтирует платёж по страйку, а $e^{-yT}$ корректирует член с ценой базового актива на непрерывную дивидендную доходность. Функция $N(z)$ — функция стандартного нормального распределения: вероятность того, что стандартная нормальная случайная величина не превышает $z$ . Её аргументы определяются так:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Здесь $\ln$ обозначает натуральный логарифм. Числитель $d_1$ объединяет соотношение спот-цены и страйка с влиянием финансирования, дивидендов и волатильности за оставшийся срок. Знаменатель нормирует это соотношение на модельный масштаб изменчивости за тот же горизонт. В формуле $d_2$ этот масштаб волатильности вычитается из $d_1$ .

Например, для европейского опциона при цене базового актива $750, страйке $775, оставшемся сроке 45 дней, волатильности 20%, процентной ставке 4% и непрерывной дивидендной доходности 1% стоимость колла составляет приблизительно $12.03, а пута — $34.14 на акцию при $T=45/365.25$ .

При экспирации стоимость сводится к внутренней стоимости. Для нулевой волатильности приведённые формулы требуют отдельного рассмотрения предельного случая: модель тогда задаёт детерминированную траекторию цены базового актива и дисконтирует полученную выплату.

Ограничения моделей

Реальные дивиденды выплачиваются в конкретные даты, рыночные цены могут изменяться скачками, а волатильность меняется со временем. Постоянная волатильность и непрерывная дивидендная доходность упрощают эти особенности, а не воспроизводят их в точности. Конечное биномиальное дерево добавляет ещё одно приближение, ограничивая решения об исполнении своими временными шагами. Поэтому результат модели — условная оценка, которую нужно рассматривать вместе со спецификацией контракта, наблюдаемыми котировками и принятыми предпосылками.