Wie Optionspreise entstehen

Die Optionsprämie ist der Preis, den der Käufer für die Option zahlt und der Verkäufer erhält. Ihr Wert hängt von der möglichen Auszahlung, der Restlaufzeit und den Kontraktbedingungen ab. Ein Bewertungsmodell schätzt diesen Wert anhand von Annahmen zu Basiswert, Volatilität, Zinsen und Dividenden. Ein tatsächliches Geschäft wird jedoch zu einem am Markt verfügbaren Preis ausgeführt – nicht zwangsläufig zum geschätzten Modellwert. 1

Wesentliche Bewertungsparameter

Basiswertkurs und Basispreis

Ein Call gibt seinem Inhaber das Recht, zum Basispreis zu kaufen; ein Put gewährt das Recht, zu diesem Preis zu verkaufen. Bei unveränderten übrigen Parametern erhöht ein steigender Aktienkurs den Wert eines Calls und senkt den Wert eines Puts. Bleiben der Aktienkurs und die übrigen Parameter gleich, erhöht ein niedrigerer Basispreis den Call-Wert, weil der Inhaber bei Ausübung weniger für jede gekaufte Aktie zahlen müsste. Ein höherer Basispreis erhöht den Put-Wert, weil der Inhaber für jede bei Ausübung verkaufte Aktie mehr erhalten würde.

Wie stark die Reaktion ausfällt, hängt davon ab, wie weit der Aktienkurs über oder unter dem Basispreis liegt – von der Moneyness. Ein tief im Geld liegender Call folgt der Aktie im Allgemeinen enger als ein Call aus dem Geld, dessen Auszahlung bei Verfall null bleibt, solange der Aktienkurs den Basispreis nicht überschreitet. Delta und Gamma messen diese veränderliche Kurssensitivität.

Zeit und Volatilität

Die Zeit bestimmt den verbleibenden Zeitraum, in dem sich der Aktienkurs verändern kann; die Volatilität beschreibt das Ausmaß dieser Schwankungen. Eine höhere Volatilität erhöht im Allgemeinen die Werte von Standard-Calls und -Puts, weil sie das Potenzial für günstige Auszahlungen vergrößert, während der Inhaber bei einem ungünstigen Ergebnis auf die Ausübung verzichten kann. Eine Option kann deshalb auch dann einen Wert haben, wenn sie aus dem Geld liegt. 2

Der Zeitwert nimmt mit näher rückendem Verfall normalerweise ab, doch mehr Zeit ist nicht immer mehr wert. Eine ansonsten identische amerikanische Option mit späterem Verfall umfasst die Ausübungsmöglichkeiten der früher verfallenden Option. Eine europäische Option verschiebt dagegen ihren einzigen Ausübungstermin nach hinten. Bei positiven Zinsen kann diese Verzögerung den Wert eines tief im Geld liegenden europäischen Puts senken, weil der Erhalt des Erlöses zum Basispreis hinausgeschoben wird.

Da diese Effekte zusammenwirken, kann ein Call trotz eines moderaten Aktienkursanstiegs an Wert verlieren, wenn ein Volatilitätsrückgang oder der Zeitwertverfall stärker wirkt. Ebenso kann ein Put trotz eines moderaten Aktienkursrückgangs an Wert verlieren.

Zinsen und Dividenden

Höhere Zinsen verringern den Barwert einer zukünftigen Basispreiszahlung. Das begünstigt normalerweise einen Call-Inhaber, der später zahlen kann, verringert aber den Wert des Erlöses, den ein Put-Inhaber möglicherweise erhält. Dieser Vergleich hält den Aktienkurs konstant; er sagt nicht voraus, wie die Aktie auf Zinsänderungen reagiert.

Dividenden werden an Aktionäre und nicht an Optionsinhaber gezahlt. Erwartete Ausschüttungen senken den künftigen Aktienkurs nach dem Dividendenabschlag gegenüber einem ansonsten identischen Kursverlauf ohne diese Zahlungen. Sie verringern daher im Allgemeinen Call-Werte und erhöhen Put-Werte. Auch Termine und Höhe der Ausschüttungen sind für die vorzeitige Ausübung relevant, insbesondere bei einem Call im Geld mit geringem verbleibendem Zeitwert. 3

Warum zeigt der Rechner andere Werte als mein Broker?

Oft messen die beiden Zahlen unterschiedliche Dinge. Ein Modellwert, der Bewertungskurs eines Brokers und der Preis eines ausgeführten Geschäfts sind nicht austauschbar. Prüfen Sie deshalb zunächst Preisart, Kontrakt, Einheiten, Bewertungszeitpunkt und Eröffnungsprämie, bevor Sie nach einem Rechenfehler suchen. Wie die OIC-Erläuterung zu Bewertungsmodellen festhält, schätzen Formeln theoretische Werte; die tatsächlichen Optionsprämien bestimmt der Markt.

Preise mit derselben Bedeutung vergleichen

Der Geldkurs ist ein angebotenes Kaufgebot, der Briefkurs ein angebotenes Verkaufsgebot. Ihr Mittelkurs ist lediglich ein Durchschnitt, kein abgeschlossenes Geschäft. Der letzte Abschluss dokumentiert eine frühere Ausführung, die den aktuellen Markt möglicherweise nicht mehr widerspiegelt. Auch der Zeitpunkt der Notierung und die verfügbare Stückzahl spielen eine Rolle; der Leitfaden zu Optionsnotierungen erläutert diese Angaben.

Angenommen, Sie haben eine Option für $8.70 je Aktie gekauft. Eine spätere hypothetische Notierung zeigt einen Geldkurs von $8.30, einen Briefkurs von $8.70 und einen letzten Abschluss zu $9.10. Der Mittelkurs beträgt $8.50. Bei einem Multiplikator von 100 Aktien ergibt sich:

Vergleich mit dem Kauf zu $8.70	Berechnung vor Kosten	Bedeutung
Der Verkauf zur Schließung wird tatsächlich zu $8.30 ausgeführt	($8.30 − $8.70) × 100 = −$40	Realisierter Verlust bei dieser hypothetischen Ausführung
Der Broker bewertet die offene Position zu $8.50	($8.50 − $8.70) × 100 = −$20	Unrealisierte Schätzung, sofern dieser Broker den Mittelkurs verwendet
Die Anzeige nennt einen letzten Abschluss zu $9.10	Ein neuer Verkauf ist damit nicht belegt	Ein früherer Abschluss bestimmt nicht Ihren Ausstiegskurs

Dies sind Beispielzahlen, keine Live-Kurse. Broker können unterschiedliche Bewertungskurse verwenden; Gebühren und andere Kosten verändern das Ergebnis. Selbst ein aktuell angezeigter Geldkurs garantiert keine spätere Ausführung zu diesem Preis.

Kontrakt und Einheiten abgleichen

Prüfen Sie Basiswert, Call oder Put, Basispreis, Verfallstermin, Ausübungsart, Kontraktzahl und Multiplikator. Eine Prämie je Aktie ist kein Wert für die gesamte Position: $8.50 je Aktie entsprechen bei einem Kontrakt über 100 Aktien $850, vor Kosten. Andere Produkte und angepasste Kontrakte können andere Multiplikatoren oder Abwicklungsbedingungen haben.

Annahmen und Bewertungszeitpunkt aufeinander abstimmen

Vergleichen Sie denselben Basiswertkurs, dieselbe Restlaufzeit, IV, Zins- und Dividendenannahme. Ein veralteter Aktienkurs, eine andere Dividendenannahme oder eine andere Behandlung der vorzeitigen Ausübung kann eine Abweichung erklären, ohne dass eine der Berechnungen rechnerisch falsch ist.

Dieser Rechner verwendet Ihre Annahmen, keine Brokerdaten. Das Tickersymbol bezeichnet ein Szenario; es lädt keine Kurse. Alle Legs teilen sich einen Verfallstermin, eine Volatilität, einen Zinssatz und eine Dividendenrendite. Die am Markt beobachtete IV kann dagegen je nach Basispreis und Verfallstermin variieren. Die Bewertung erfolgt in ganzen Tagen: Bei heutigem Verfall beträgt die verbleibende Modellzeit null und der Optionswert entspricht dem inneren Wert; ein untertägiger Zeitwertverfall wird nicht abgebildet. Modelle und Einheiten erläutert die Berechnungsmethodik.

Prüfen, wofür die Eröffnungsprämie steht

Einstiegskurs bezeichnet den Basiswertkurs bei Eröffnung, nicht die von Ihnen gezahlte Optionsprämie. Der Rechner modelliert die Eröffnungsprämien zu diesem Kurs und zum heutigen Datum. Änderungen an Einstiegskurs, IV, Zinsen, Dividenden oder Kontraktdetails berechnen diese Prämien und die Positionsübersicht neu. Der Kursregler in der Zeitansicht verändert denselben Einstiegskurs.

Analysedatum verändert den Bewertungszeitpunkt des Kursdiagramms, nicht die Eröffnungsprämie oder die heutige Positionsübersicht. Die Kursansicht variiert den Basiswertkurs an diesem Datum; die Zeitansicht hält den Einstiegskurs konstant und variiert das Datum. Einen Punkt auf der Kurve abzulesen ist etwas anderes, als eine Eröffnungsannahme zu ändern.

Es gibt weder ein Eingabefeld für tatsächliche Ausführungspreise noch einen Brokerimport. Die Annahmen so lange anzupassen, bis eine Prämie Ihrem Kaufpreis entspricht, macht aus dem Diagramm keine Aufzeichnung dieses Geschäfts. Gleichen Sie ein tatsächliches Geschäft anhand von Eröffnungs- und Schließungsprämien, Kontraktzahl, Multiplikator und Kosten ab. Bei einer offenen Position muss außerdem klar sein, welcher Bewertungskurs verwendet wird.

IV im Zusammenhang mit Preis und Modell lesen

Die implizite Volatilität ist die Volatilität, mit der ein gewähltes Modell bei festgehaltenen übrigen Parametern eine ausgewählte Optionsprämie reproduziert. Geldkurs, Mittelkurs und Briefkurs können daher unterschiedliche IV-Werte implizieren. Auch die Annahmen zu Zeit, Dividenden und Ausübung beeinflussen das Ergebnis. Eine IV-Angabe lässt sich am besten zusammen mit diesen Parametern einordnen, wie der Leitfaden zur impliziten Volatilität erläutert.

Bewertungsmodelle für europäische und amerikanische Optionen

Das Black-Scholes-Merton-Modell bewertet europäische Optionen, die nur bei Verfall ausgeübt werden können. Es setzt stetige Aktienkursänderungen, konstante Volatilität und Zinsen sowie einen reibungslosen Handel voraus. Seine um Dividenden erweiterte Fassung verwendet eine kontinuierliche Rendite statt einzelner Dividendenzahlungen. 4

Das Modell lässt sich herleiten, indem ein veränderlicher Aktienbestand mit Kreditaufnahme oder Geldanlage kombiniert wird, um die Auszahlung der Option nachzubilden. Unter den Modellannahmen müssen dieses nachbildende Portfolio und die Option denselben Wert haben, damit keine Arbitragemöglichkeit entsteht. Die Berechnung benötigt keine Prognose der erwarteten Anlagerendite der Aktie.

Amerikanische Optionen erlauben zusätzlich die vorzeitige Ausübung. Ein Binomialbaum unterteilt die Restlaufzeit in Schritte mit möglichen Aufwärts- und Abwärtsbewegungen des Aktienkurses. Ausgehend vom Verfall arbeitet die Berechnung rückwärts. An jeder Ausübungsmöglichkeit vergleicht sie den sofortigen Ausübungswert mit dem abgezinsten Wert des weiteren Haltens und wählt den höheren Betrag. 1

Bei einem Call auf nicht dividendenzahlende Aktien schafft eine vorzeitige Ausübung unter reibungslosen Marktbedingungen und bei nicht negativen Zinsen keinen zusätzlichen Wert: Das Halten der Option bewahrt die verbleibende Wahlmöglichkeit und verschiebt die Basispreiszahlung. Sein amerikanischer und europäischer Modellwert sind daher gleich. Ein Call auf dividendenzahlende Aktien oder ein Put im Geld kann von vorzeitiger Ausübung profitieren. Der Rechner berücksichtigt diesen Unterschied, statt die europäische Formel auf jede amerikanische Option anzuwenden.

Preisformeln für europäische Optionen

Dabei ist $S$ der aktuelle Basiswertkurs, $K$ der Basispreis und $T$ die Restlaufzeit in Jahren. Die jährliche Volatilität lautet $\sigma$ , der stetig verzinste Zinssatz $r$ und die kontinuierliche Dividendenrendite $y$ . Volatilität und Zinssätze werden als Dezimalzahlen eingegeben: Eine Volatilität von 20% entspricht $0.20$ . Für positive $S$ , $K$ , $T$ und $\sigma$ ergeben sich der Call-Wert $C$ und der Put-Wert $P$ je Aktie wie folgt:

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

Hier ist $N(z)$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung – die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable nicht größer als $z$ ist – und $\ln$ bezeichnet den natürlichen Logarithmus. Die Argumente lauten:

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Der Faktor $e^{-rT}$ zinst die Basispreiszahlung ab, während $e^{-yT}$ den Basiswertkursterm an die kontinuierliche Dividendenrendite anpasst. Die Terme $d_1$ und $d_2$ verbinden das Verhältnis zwischen Aktienkurs und Basispreis mit Finanzierung, Dividenden und Volatilität über die Restlaufzeit.

Für eine europäische Option mit einem Basiswertkurs von $750, einem Basispreis von $775, 45 Tagen Restlaufzeit, 20% Volatilität, einem Zinssatz von 4% und einer kontinuierlichen Dividendenrendite von 1% liefert das Modell ungefähr $12.03 für den Call und $34.14 für den Put je Aktie, wenn $T=45/365.25$ gilt.

Bei Verfall entspricht der Wert dem inneren Wert. Eine Restlaufzeit oder Volatilität von null erfordert eine Grenzwertbetrachtung statt einer direkten Einsetzung in $d_1$ und $d_2$ . Bei einer Volatilität von null folgt das Modell einem deterministischen Aktienkursverlauf und zinst die daraus entstehende Auszahlung ab.

Grenzen der Modelle

Marktpreise können sprunghaft wechseln, die Volatilität verändert sich, und tatsächliche Dividenden werden an bestimmten Terminen gezahlt. Eine konstante Volatilität und eine kontinuierliche Rendite vereinfachen diese Eigenschaften; ein endlicher Baum beschränkt zudem die Ausübungsentscheidungen auf seine Zeitschritte. Ein Modellwert ist daher von seinen Annahmen abhängig und keine ausführbare Kursnotierung. 4

Ausübung und Zuteilung können Aktienpositionen und Finanzierungsverpflichtungen schaffen, die außerhalb der rein optionsbezogenen GuV des Rechners liegen. Er berechnet weder Broker-Margin noch Kontorenditen, und separate Optionskontrakte werden bei Ausübung und Zuteilung weiterhin eigenständig behandelt.