Wie Optionspreise entstehen

Die Optionsprämie ist der Marktpreis des vertraglichen Rechts einer Option. Dieser Preis spiegelt die mögliche Auszahlung, die Restlaufzeit und die Bedingungen für Ausübung und Abwicklung wider. Ein Bewertungsmodell schätzt einen theoretischen Wert anhand festgelegter Parameter, darunter Basiswertkurs, Basispreis, Volatilität, Zinsen und Dividenden. Der Preis, zu dem ein Geschäft tatsächlich ausgeführt werden kann, wird durch den verfügbaren Markt bestimmt, nicht allein durch das Modell.

Wesentliche Bewertungsparameter

Basiswertkurs und Basispreis

Bei unveränderten übrigen Bewertungsparametern erhöht ein steigender Basiswertkurs den Wert eines Calls und senkt den Wert eines Puts. Der feste Kaufpreis des Calls wird mit steigendem Basiswert vorteilhafter, der feste Verkaufspreis des Puts weniger vorteilhaft. Eine Änderung des Basispreises wirkt in die entgegengesetzte Richtung. Ein niedrigerer Basispreis verbessert das Kaufrecht eines Calls, ein höherer Basispreis das Verkaufsrecht eines Puts.

Wie stark die Reaktion ausfällt, hängt von der Moneyness ab. Ein tief im Geld liegender Call reagiert im Allgemeinen stärker wie der Basiswert, weil ein wesentlicher Teil seines Werts aus dem bereits bestehenden Kaufpreisvorteil besteht. Ein Call aus dem Geld reagiert weniger stark auf eine kleine Kursbewegung, da der Basiswert zunächst den Basispreis überschreiten muss, damit bei Verfall eine Auszahlung entsteht. Diese veränderlichen Sensitivitäten werden durch die Optionsgriechen gemessen.

Zeit und Volatilität

Die Zeit bestimmt den verbleibenden Zeitraum, in dem sich der Basiswert verändern kann; die Volatilität beschreibt das Ausmaß seiner Renditeschwankungen. In Standardmodellen der Optionsbewertung erhöht eine höhere Volatilität im Allgemeinen sowohl Call- als auch Put-Werte. Günstige Ergebnisse können größere Auszahlungen liefern, während der Inhaber bei ungünstigen Ergebnissen auf die Ausübung verzichten kann. Eine Option kann deshalb eine positive Prämie haben, auch wenn ihr Basispreis beim aktuellen Basiswertkurs keinen Vorteil bietet.

Mit näher rückendem Verfall bleibt weniger Gelegenheit für eine Änderung der Auszahlung, und der Zeitwert nimmt im Allgemeinen ab. Wie schnell er sinkt, hängt von der Moneyness und der Restlaufzeit ab. Ein Call kann daher trotz eines moderaten Basiswertanstiegs an Wert verlieren, wenn Zeitwertverfall oder ein Volatilitätsrückgang stärker wirken. Entsprechendes gilt für einen Put nach einem moderaten Rückgang des Basiswerts.

Zinsen und Dividenden

Zur Ausübung gehört eine Zahlung zum Basispreis. Höhere Zinsen verringern den Barwert einer zukünftigen Zahlung, was normalerweise einem Call-Inhaber zugutekommt, der die Basispreiszahlung aufschieben kann. Für einen Put-Inhaber stellt der Basispreis einen künftig zu empfangenden Erlös dar, sodass die Abzinsung im Allgemeinen entgegengesetzt wirkt. Diese Vergleiche setzen einen unveränderten Basiswertkurs und unveränderte übrige Parameter voraus; sie sagen nicht voraus, wie der Basiswert selbst auf Zinsänderungen reagiert.

Dividenden werden an Aktionäre und nicht an Optionsinhaber gezahlt. Erwartete Ausschüttungen senken zudem den künftigen Aktienkurs nach dem Dividendenabschlag gegenüber einem ansonsten identischen Kursverlauf ohne diese Zahlung. Höhere erwartete Dividenden verringern daher im Allgemeinen Call-Werte und erhöhen Put-Werte. Auch Termine und Höhe der Ausschüttungen können beeinflussen, ob eine vorzeitige Ausübung vorteilhaft ist, insbesondere bei einem Call im Geld mit geringem verbleibendem Zeitwert.

Marktpreis, Modellwert und implizite Volatilität

Geld- und Briefkurse geben Preise an, zu denen Marktteilnehmer bereit sind, bestimmte Stückzahlen zu kaufen oder zu verkaufen. Ein Modell liefert auf Grundlage seiner Annahmen einen theoretischen Vergleichswert. Unterschiedliche Volatilitätsprognosen, Dividendenschätzungen oder Ausübungsansätze können zu unterschiedlichen Werten desselben Kontrakts führen, während Transaktionskosten und Markttiefe die praktisch verfügbaren Preise beeinflussen.

Die implizite Volatilität, kurz IV, kehrt die übliche Preisberechnung um. Bei festgehaltenen übrigen Parametern ist sie die Volatilität, mit der das Modell eine ausgewählte Marktprämie reproduziert. Geldkurs, Mittelkurs und Briefkurs können jeweils eine andere Volatilität implizieren. Die IV hängt daher vom gewählten Preis und den Modellannahmen ab und ist keine unabhängig beobachtete Eigenschaft des Basiswerts.

Bewertungsmodelle für europäische und amerikanische Optionen

Das Black-Scholes-Merton-Modell bewertet Optionen europäischen Typs, die nur bei Verfall ausgeübt werden können. Zu seinen Annahmen gehören stetige Änderungen des Basiswertkurses, konstante Volatilität und Zinsen sowie ein reibungsloser Handel. Die um Dividenden erweiterte Fassung bildet Ausschüttungen durch eine kontinuierliche Rendite statt durch einzelne Zahlungen ab.

Die Bewertung lässt sich durch Nachbildung der Option mit einem veränderlichen Aktienbestand und einer Kreditaufnahme oder Geldanlage herleiten. Unter den Modellannahmen reproduziert die Anpassung des Aktienbestands an Kursänderungen die Auszahlung der Option. Das nachbildende Portfolio und die Option müssen dann denselben Wert haben; andernfalls würde ihre Preisdifferenz eine Arbitragemöglichkeit schaffen. Auf diese Weise lässt sich der Optionspreis bestimmen, ohne eine Prognose der erwarteten Anlagerendite des Basiswerts zu benötigen.

Eine Option amerikanischen Typs erlaubt zusätzlich die vorzeitige Ausübung. Ein Binomialbaum nähert die Bewertung an, indem er die Restlaufzeit in Schritte mit möglichen Aufwärts- und Abwärtsbewegungen des Kurses unterteilt. Ausgehend von den Auszahlungen bei Verfall arbeitet die Berechnung rückwärts durch den Baum. An jeder Ausübungsmöglichkeit vergleicht sie den inneren Wert mit dem abgezinsten Fortführungswert und verwendet den höheren Betrag. Das Ausübungsrecht wird damit ausdrücklich bewertet, statt so behandelt zu werden, als stünde es nur am letzten Termin zur Verfügung.

Bei einem Call auf nicht dividendenzahlende Aktien schafft die vorzeitige Ausübung unter reibungslosen Marktbedingungen und bei nicht negativen Zinsen keinen zusätzlichen Wert. Das weitere Halten der Option bewahrt die verbleibende Wahlmöglichkeit und verschiebt die Zahlung des Basispreises. In diesem Fall bewertet die europäische Formel auch den Call amerikanischen Typs. Ein Call auf dividendenzahlende Aktien oder ein Put im Geld kann von einer vorzeitigen Ausübung profitieren, sodass diese Gleichwertigkeit nicht allgemein gilt.

Die Ausübungsart schränkt auch den üblichen Zusammenhang zwischen Zeit und Wert ein. Eine ansonsten identische amerikanische Option mit späterem Verfall enthält die Ausübungsmöglichkeiten der kürzeren Option und fügt weitere hinzu. Eine europäische Option verschiebt dagegen ihren einzigen Ausübungstermin. Bei positiven Zinsen kann ein tief im Geld liegender europäischer Put bei Verlängerung seiner Laufzeit an Wert verlieren, weil der Erhalt des Erlöses zum Basispreis hinausgeschoben wird. Dieser Finanzierungseffekt erklärt, weshalb mehr Zeit nicht den Wert jeder europäischen Option erhöht.

Preisformeln für europäische Optionen

Dabei ist $S$ der aktuelle Basiswertkurs, $K$ der Basispreis und $T$ die Restlaufzeit in Jahren. Die jährliche Volatilität lautet $\sigma$, der stetig verzinste Zinssatz $r$ und die kontinuierliche Dividendenrendite $y$. Volatilität und Zinssätze werden als Dezimalzahlen eingegeben; beispielsweise entspricht eine Volatilität von 20% dem Wert $0.20$. Bei positiven Kursen, positiver Restlaufzeit und positiver Volatilität ergeben sich der Call-Wert $C$ und der Put-Wert $P$ je Aktie wie folgt:

Der Faktor $e^{-rT}$ zinst die Basispreiszahlung ab, und $e^{-yT}$ passt den Basiswertkursterm an die kontinuierliche Dividendenrendite an. Die Funktion $N(z)$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable nicht größer als $z$ ist. Ihre Argumente lauten:

Hier bezeichnet $\ln$ den natürlichen Logarithmus. Der Zähler von $d_1$ verbindet das Verhältnis zwischen Kassakurs und Basispreis mit Finanzierung, Dividenden und Volatilität über die Restlaufzeit. Der Nenner skaliert dieses Verhältnis anhand der modellierten Schwankungsbreite über denselben Zeitraum. Die Formel für $d_2$ zieht dieses Volatilitätsmaß von $d_1$ ab.

Beispielsweise ergibt sich für eine europäische Option bei einem Basiswertkurs von $750, einem Basispreis von $775, einer Restlaufzeit von 45 Tagen, einer Volatilität von 20%, einem Zinssatz von 4% und einer kontinuierlichen Dividendenrendite von 1% ein Call-Wert von ungefähr $12.03 und ein Put-Wert von $34.14 je Aktie, wenn $T=45/365.25$ gilt.

Bei Verfall reduziert sich der Wert auf den inneren Wert. Ist die Volatilität null, erfordern die dargestellten Formeln eine gesonderte Grenzwertbetrachtung: In diesem Fall folgt das Modell einem deterministischen Basiswertkursverlauf und zinst die daraus entstehende Auszahlung ab.

Grenzen der Modelle

Tatsächliche Dividenden fallen an bestimmten Terminen an, Marktpreise können sprunghaft wechseln, und die Volatilität verändert sich im Zeitverlauf. Eine konstante Volatilität und eine kontinuierliche Dividendenrendite vereinfachen diese Eigenschaften, statt sie exakt abzubilden. Ein endlicher Binomialbaum fügt eine weitere Näherung hinzu, indem er Ausübungsentscheidungen auf seine Zeitschritte beschränkt. Modellergebnisse sind daher bedingte Bewertungen, die zusammen mit den Kontraktspezifikationen, beobachteten Notierungen und verwendeten Annahmen zu interpretieren sind.