期權如何定價

期權的期權金是其合約權利的市場價格，反映期權可能提供的到期價值、剩餘時間，以及行使與交收條款。定價模型根據標的價格、行使價、波動率、利率及股息等指定輸入，估計理論價值。實際可成交的價格由市場上可得的買賣盤決定，而非單靠模型決定。

主要估值輸入

標的價格與行使價

在其他估值輸入不變下，標的價格上升會提高認購期權價值，並降低認沽期權價值。標的價格越高，認購期權提供的固定買入價越有利，認沽期權提供的固定售價則越不利。改變行使價的效果相反：較低行使價提升認購期權的買入權利，較高行使價則提升認沽期權的出售權利。

反應幅度取決於價內外程度。深度價內認購期權的反應通常較接近標的本身，因為其價值有很大部分來自既有的買入價格優勢。價外認購期權須在標的價格跨越行使價後，才有正的到期價值，因此對小幅價格變動較不敏感。期權的希臘字母用來衡量這些會改變的敏感度。

時間與波動率

時間決定標的價格仍可變動多久；波動率則描述其回報的變動幅度。在標準期權定價模型中，波動率提高通常會同時增加認購及認沽期權價值。有利結果可帶來更高到期價值，而不利結果出現時，持有人仍可選擇不行使。因此，即使行使價相對目前標的價格並無優勢，期權仍可具有正期權金。

隨到期臨近，到期價值可改變的機會減少，時間價值通常亦隨之下降。下降速度取決於價內外程度及剩餘期限。因此，即使標的價格小幅上升，只要時間衰減或波動率下降的影響更大，認購期權仍可貶值。標的價格小幅下跌後，認沽期權亦須考慮相應因素。

利率與股息

行使涉及按行使價收付款項。利率提高會降低未來付款的現值，通常有利於可以延後支付行使價的認購期權持有人。對認沽期權持有人而言，行使價代表將收取的款項，因此折現通常產生相反影響。這些比較假設標的價格及其他輸入不變，並非預測標的本身會如何回應利率變化。

股息支付予股東，而不是期權持有人。與其他條件相同但不派息的價格路徑相比，預期分派亦會降低未來除息後的股價。因此，預期股息增加，通常會降低認購期權價值並提高認沽期權價值。分派日期與金額亦會影響提前行使是否有利，尤其是剩餘時間價值很少的價內認購期權。

市場價格、模型價值與隱含波動率

買價與賣價表示市場參與者願意買賣指定數量的價格。模型則根據其假設，提供理論上的比較基準。不同的波動率預測、股息估計或行使處理方式，可使同一合約得出不同價值；交易成本及市場深度則影響實際可成交價格。

隱含波動率，簡稱 IV，把一般定價計算反過來進行。在其他輸入固定時，它是令模型重現所選市場期權金的波動率。買價、中間價及賣價，各自可以對應不同的隱含波動率。因此，IV 以所選價格及模型假設為條件，並不是標的本身可獨立觀察的特性。

歐式與美式定價模型

Black–Scholes–Merton 模型為只可在到期時行使的歐式期權估值。其假設包括標的價格連續變動、波動率與利率固定，以及交易無摩擦。股息調整版本以連續股息率表示分派，而非逐筆股息付款。

這項估值可透過複製期權推導：組合持有可隨時調整的股份，以及借入或貸出的資金。在模型假設下，隨價格變化調整持股，便能重現期權的到期價值。因此，複製投資組合與期權必須具有相同價值，否則兩者價差會產生套利機會。這套推理毋須預測標的的預期投資回報，也能決定期權價格。

美式期權亦允許提前行使。二項樹把剩餘期限分成多個步驟，每一步均可能出現向上或向下的價格變動，藉此近似估值。計算從到期價值開始，沿樹逐步倒推。在每個可行使時點，比較內在價值與折現後的繼續持有價值，並取較大者。因此，模型會明確為行使權利估值，而不是把它當作只在最後日期才能使用。

對不派息股票的認購期權，在交易無摩擦且利率非負的假設下，提前行使不會增加價值。保留期權可保留剩餘選擇，並延後支付行使價。在這種情況下，歐式公式亦可為美式認購期權估值。派息股票的認購期權或價內認沽期權可能受惠於提前行使，因此一般不能套用同樣的等價關係。

行使方式亦為時間與價值的一般關係加上限制。其他條件相同的較後到期美式期權，包含較短期期權的行使機會，並提供額外機會。歐式期權則只是把唯一的行使日延後。在正利率下，深度價內歐式認沽期權可能因期限延長、延後收取行使價款項而貶值。這項融資效應解釋了為何時間增加，並非對所有歐式期權都會增加價值。

歐式期權定價公式

設 $S$ 為目前標的價格， $K$ 為行使價， $T$ 為以年計的剩餘時間。年化波動率為 $\sigma$ ，連續複利利率為 $r$ ，連續股息率為 $y$ 。波動率與利率以小數輸入，例如 20% 波動率寫作 $0.20$ 。在價格、時間及波動率均為正時，每股認購期權價值 $C$ 及認沽期權價值 $P$ 為：

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

因子 $e^{-rT}$ 用來折現行使價款項， $e^{-yT}$ 則按連續股息率調整標的價格項。函數 $N(z)$ 是標準常態累積分布，即標準常態變量不大於 $z$ 的機率。其引數為：

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

其中， $\ln$ 表示自然對數。 $d_1$ 的分子把現貨價格與行使價的關係，與剩餘期限內的融資、股息及波動率結合；分母則以同一期間模型假設的波動幅度，對該關係作尺度調整。 $d_2$ 的公式從 $d_1$ 減去這個波動尺度。

例如，一份歐式期權的標的價格為 $750、行使價為 $775、剩餘 45 天、波動率為 20%、利率為 4%，連續股息率為 1%，當 $T=45/365.25$ 時，每股認購期權價值約為 $12.03，認沽期權價值約為 $34.14。

到期時，期權價值縮減為內在價值。波動率為零時，上述公式須另作極限處理：在該情況下，模型採用確定的標的價格路徑，再把所產生的到期價值折現。

模型限制

實際股息在特定日期派發，市場價格可出現跳躍，波動率亦會隨時間變化。固定波動率及連續股息率是對這些特徵的簡化，而非精確重現。有限步數的二項樹把行使決定限制於其時間步驟，亦增加一層近似。因此，模型輸出是有條件的估值，必須連同合約規格、觀察到的報價及所用假設一起解讀。