期權如何定價

期權的期權金是買方為期權支付、賣方收取的價格。期權價值取決於可能的到期價值、剩餘時間及合約條款。定價模型會根據標的資產、波動率、利率及股息等假設估計價值；實際交易則按市場當時可成交的價格進行，未必等於模型估值。 1

主要估值輸入

標的價格與行使價

認購期權賦予持有人按行使價買入的權利；認沽期權則賦予按行使價出售的權利。在其他輸入固定時，股價越高，認購期權通常越有價值，認沽期權則越不利。在股價及其他輸入固定時，較低行使價令認購期權更有價值，因為行使時每股支付較少；較高行使價則令認沽期權更有價值，因為行使出售時每股可收取更多。

反應幅度取決於股價高於或低於行使價多少，也就是期權的價內外程度。深度價內認購期權通常比價外認購期權更接近股票本身的價格變動；價外認購期權若到期時股價未跨越行使價，到期價值仍為零。Delta 與 Gamma 用來衡量這種會改變的價格敏感度。

時間與波動率

時間決定股價仍可變動的期間；波動率則描述變動幅度。在標準模型中，較高波動率通常提高認購及認沽期權價值，因為有利結果的潛在幅度增加，而不利結果出現時，持有人仍可選擇不行使。因此，即使期權目前處於價外，仍可具有正價值。 2

時間價值通常隨到期臨近而下降，但「剩餘時間更多」並非在所有情況下都代表價值一定更高。其他條件相同、到期較後的美式期權，包含較早到期期權原有的行使機會並增加後續機會。歐式期權則只是把唯一可行使日期延後。在正利率下，深度價內的歐式認沽期權可能因行使價款項更遲收取，而因期限延長而減值。

這些因素會同時作用，因此即使股價小幅上升，若波動率下降或時間衰減影響更大，認購期權仍可下跌。認沽期權亦可能在股價小幅下跌時因其他因素而貶值。

利率與股息

較高利率會降低未來行使價付款的現值。這通常有利於可延後付款的認購期權持有人，但會降低認沽期權持有人將來可能收取的行使價款項現值。這項比較假設股價固定，並不是預測股價本身會如何回應利率變化。

股息支付予股東，而不是期權持有人。預期分派會令未來除息後股價，相對於其他條件相同但沒有派息的路徑更低，因此通常降低認購期權價值並提高認沽期權價值。分派日期與金額亦會影響提前行使的吸引力，尤其是剩餘時間價值很少的價內認購期權。 3

為甚麼計算器與我的經紀顯示不同？

很多時候，兩個數字量度的並不是同一件事。模型價值、經紀用來標記持倉的估值參考價，以及實際成交價不能互換。在判斷是否有計算錯誤之前，先檢查價格類型、合約、單位、估值時間及建倉期權金。OIC 的定價模型說明指出，公式估計理論價值，實際期權金則由市場決定。

比較含義相同的價格

買價是買方提出的價格，賣價是賣方提出的價格。兩者中間價只是算術平均數，不是已完成的交易。最新成交價記錄的是較早的一宗成交，可能已不再反映目前市場。報價時間與可成交數量亦很重要；期權報價指南說明這些欄位。

假設你以每股 $8.70 買入一份期權。其後某個假設報價顯示買價 $8.30、賣價 $8.70、最新成交價 $9.10，中間價為 $8.50。以 100 股乘數計：

與 $8.70 買入價比較	未計成本的計算	含義
平倉賣出實際按 $8.30 成交	($8.30 − $8.70) × 100 = −$40	該假設成交的已實現虧損
經紀以 $8.50 為未平倉持倉估值	($8.50 − $8.70) × 100 = −$20	若經紀使用中間價，這是未實現估計
畫面顯示最新成交價 $9.10	尚未建立新的賣出成交	較早的成交不能確定你的退出價格

以上只是示例數字，不是即時報價。不同經紀可採用不同估值參考價，費用或其他成本也會改變結果。即使目前畫面顯示某個買價，也不保證稍後仍可按該價格成交。

核對合約與單位

檢查標的、認購或認沽、行使價、到期、行使方式、數量及乘數是否一致。每股期權金並不是整個持倉的價值：每股 $8.50 對一份 100 股合約代表 $850，未計成本。其他產品與經調整合約可以有不同乘數或交收條款。

對齊假設與估值時間

比較時要使用相同的標的價格、剩餘時間、IV、利率與股息。過時的股價、不同股息假設，或不同的提前行使處理，都可造成差異，而不代表其中一方算術錯誤。

這個計算器使用你的假設，而不是經紀資料。代號只用來標示情境，不會載入報價。所有期權腿共用一個到期日、波動率、利率及股息率，但市場上的 IV 可以隨行使價及到期日不同而改變。估值使用完整曆日：到期日設為今天時，模型剩餘時間為零，模型價值為內在價值，而不是盤中時間衰減。模型與單位詳見方法說明。

核對建倉期權金代表甚麼

建倉價格是開倉時假設的標的價格，不是你實際支付的期權金。 計算器會以該價格與今天日期計算模型建倉期權金。修改建倉價格、隱含波動率、利率、股息或合約條款，都會重新計算這些期權金與持倉摘要；時間檢視中的價格滑桿修改的是同一個建倉價格。

分析日期只會改變股票價格圖表的估值日期，不會改變建倉期權金或以今天計算的持倉摘要。股票價格檢視會改變該日期的標的價格；時間檢視則固定建倉價格並改變日期。在曲線上讀取某一點，與修改建倉假設是兩回事。

計算器沒有實際成交期權金輸入，也不會匯入經紀持倉。把假設調整至模型期權金與你的買入價相同，並不會把圖表變成該筆交易的紀錄。核對實際交易時，應使用實際建倉與平倉期權金、數量、乘數及成本；未平倉持倉則要確認平台用甚麼估值參考價顯示損益。

把 IV 放回價格與模型脈絡中閱讀

隱含波動率是其他輸入固定時，使所選模型符合所選期權金的波動率。因此，買價、中間價與賣價可各自對應不同 IV。剩餘時間、股息及行使方式假設亦會影響答案。IV 應與這些輸入一起閱讀，詳見隱含波動率。

歐式與美式定價模型

Black–Scholes–Merton 模型用於估值只可在到期時行使的歐式期權。它假設股票價格連續變動、波動率與利率固定，並假設交易無摩擦。經股息調整的版本使用連續股息率，而不是逐筆個別股息付款。 4

模型可以透過複製投資組合推導：持有會隨情況調整的股份數量，並配合借入或貸出資金，重現期權的到期價值。在模型假設下，複製投資組合與期權必須具有相同價值，否則便可產生套利。計算不需要預測股票的預期投資回報。

美式期權亦容許提前行使。二項樹把剩餘期限分成多個步驟，每一步有標的價格向上或向下的可能變動。計算由到期價值開始向前倒推，在每個可行使時點比較立即行使價值與繼續持有的折現價值，取較大者。 1

對不派息股票的認購期權，在交易無摩擦且利率非負的假設下，提前行使不增加價值：繼續持有保留選擇權，同時延後支付行使價。因此，其美式與歐式模型價值相同。派息股票的認購期權或價內認沽期權則可能受惠於提前行使。計算器會尊重這項差別，而不是把歐式公式套用到所有美式期權。

歐式期權定價公式

設 $S$ 為目前標的價格， $K$ 為行使價， $T$ 為以年計的剩餘時間。年化波動率為 $\sigma$ ，連續複利利率為 $r$ ，連續股息率為 $y$ 。波動率與利率使用小數，例如 20% 波動率寫作 $0.20$ 。若 $S$ 、 $K$ 、 $T$ 與 $\sigma$ 均為正，每股認購期權價值 $C$ 與認沽期權價值 $P$ 為：

C=Se^{-yT}N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)

P=Ke^{-rT}N(-d_2)-Se^{-yT}N(-d_1)

其中 $N(z)$ 是標準常態累積分布，即標準常態變量不大於 $z$ 的機率； $\ln$ 是自然對數。其引數為：

d_1=\frac{\ln(S/K)+(r-y+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

因子 $e^{-rT}$ 折現行使價付款， $e^{-yT}$ 則按連續股息率調整標的價格項。 $d_1$ 與 $d_2$ 綜合股票相對行使價的位置、融資、股息及剩餘期限內的波動率。

例如，一份歐式期權的標的價格為 $750、行使價為 $775、剩餘 45 天、波動率 20%、利率 4%、連續股息率 1%，使用 $T=45/365.25$ 時，模型計算每股認購期權價值約 $12.03，認沽期權價值約 $34.14。

到期時，期權價值就是內在價值。當剩餘時間為零或波動率為零時，應使用極限情況處理，而不是直接代入 $d_1$ 與 $d_2$ 。波動率為零時，模型沿確定的股價路徑計算並折現最終到期價值。

模型限制

市場價格可以跳躍，波動率會改變，實際股息亦在特定日期派發。固定波動率與連續股息率會簡化這些特徵；有限步數的二項樹也把行使判斷限制在其時間步驟。因此，模型價值是以假設為條件的估值，不是可直接成交的報價。 4

行使與指派可以產生股票持倉及資金義務，超出計算器只計期權的損益範圍。計算器不計算經紀保證金或帳戶回報，而且各期權合約仍各自保留獨立的行使與指派處理。