كيفية تسعير الخيارات

علاوة الخيار هي سعر السوق لحقه التعاقدي. ويعكس هذا السعر العائد الذي قد يتيحه الخيار، والوقت المتبقي، والشروط التي تحكم الممارسة والتسوية. ويقدّر نموذج التسعير قيمة نظرية انطلاقًا من مدخلات محددة، منها سعر الأصل الأساسي وسعر التنفيذ والتقلب وأسعار الفائدة وتوزيعات الأرباح. أما السعر الذي يمكن تنفيذ صفقة فعلية عنده فتحدده السوق المتاحة، لا النموذج وحده.

المدخلات الرئيسية للتقييم

سعر الأصل الأساسي وسعر التنفيذ

مع بقاء سائر مدخلات التقييم دون تغيير، يزيد ارتفاع سعر الأصل الأساسي قيمة خيار الشراء ويخفض قيمة خيار البيع. فسعر الشراء الثابت الذي يتيحه خيار الشراء يصبح أكثر فائدة مع ارتفاع الأصل، بينما يصبح سعر البيع الثابت في خيار البيع أقل فائدة. ولتغيير سعر التنفيذ أثر معاكس؛ فسعر التنفيذ الأدنى يحسّن حق الشراء، وسعر التنفيذ الأعلى يحسّن حق البيع.

يعتمد حجم الاستجابة على وضع الخيار بالنسبة إلى سعر التنفيذ. فخيار الشراء العميق داخل نطاق النقد يستجيب عمومًا على نحو أقرب إلى الأصل الأساسي، لأن جزءًا كبيرًا من قيمته يتمثّل في ميزة سعر الشراء القائمة. أما خيار الشراء الخارج عن نطاق النقد فأقل استجابة لتحرّك سعري صغير، لأن سعر الأصل يجب أن يتجاوز سعر التنفيذ لينشأ عائد عند الانتهاء. وتقيس مقاييس حساسية الخيار هذه الاستجابات المتغيّرة.

الوقت والتقلب

يحدد الوقت الأفق المتبقي الذي يمكن أن يتغيّر خلاله سعر الأصل الأساسي، ويصف التقلب حجم تباين عوائده. وفي نماذج تسعير الخيارات القياسية، يزيد ارتفاع التقلب عمومًا قيمة خياري الشراء والبيع معًا. فقد تتيح النتائج المواتية عوائد أكبر، بينما تترك النتائج غير المواتية للحامل حرية عدم الممارسة. ولذلك قد تكون للخيار علاوة موجبة حتى عندما لا يقدّم سعر تنفيذه أي ميزة عند سعر الأصل الحالي.

مع اقتراب انتهاء الصلاحية، تقل الفرصة المتبقية لتغيّر العائد وتنخفض القيمة الزمنية عمومًا. ويعتمد معدل انخفاضها على وضع الخيار بالنسبة إلى سعر التنفيذ وعلى المدة المتبقية. ولذلك قد يفقد خيار الشراء قيمةً رغم ارتفاع محدود في الأصل الأساسي، إذا كان أثر تآكل القيمة الزمنية أو انخفاض التقلب أكبر. وتنطبق الاعتبارات المقابلة على خيار البيع بعد انخفاض محدود في الأصل.

أسعار الفائدة وتوزيعات الأرباح

تنطوي الممارسة على دفع مبلغ بسعر التنفيذ. وتخفض أسعار الفائدة الأعلى القيمة الحالية لدفعة مستقبلية، وهو ما يفيد عمومًا حامل خيار الشراء القادر على تأجيل دفع سعر التنفيذ. أما لحامل خيار البيع، فيمثّل سعر التنفيذ حصيلة سيقبضها، ولذلك يعمل الخصم عمومًا في الاتجاه المعاكس. وتفترض هذه المقارنات ثبات سعر الأصل الأساسي وبقية المدخلات؛ ولا تتنبأ بكيفية استجابة الأصل نفسه لتغيّرات أسعار الفائدة.

تُدفع توزيعات الأرباح للمساهمين، لا لحاملي الخيارات. وتخفض التوزيعات المتوقعة أيضًا سعر السهم المستقبلي بعد الاستبعاد من التوزيعات، قياسًا إلى مسار مماثل في كل شيء آخر دون تلك الدفعة. ولذلك تخفض زيادة التوزيعات المتوقعة قيم خيارات الشراء عمومًا وترفع قيم خيارات البيع. وقد تؤثر تواريخ التوزيعات ومبالغها أيضًا في جدوى الممارسة المبكرة، ولا سيما لخيار شراء داخل نطاق النقد ذي قيمة زمنية متبقية ضئيلة.

سعر السوق وقيمة النموذج والتقلب الضمني

تعبّر أسعار الطلب والعرض عن الأسعار التي يستعد المشاركون في السوق لشراء كميات محددة وبيعها عندها. ويوفّر النموذج أساسًا نظريًا للمقارنة وفق افتراضاته. وقد تنتج توقعات التقلب أو تقديرات التوزيعات أو طرق معالجة الممارسة المختلفة قيمًا مختلفة للعقد نفسه، بينما تؤثر تكاليف المعاملات وعمق السوق في الأسعار المتاحة عمليًا.

يعكس التقلب الضمني، أو IV، اتجاه حساب التسعير المعتاد. فهو، مع تثبيت بقية المدخلات، التقلب الذي يجعل النموذج يعيد إنتاج علاوة سوقية مختارة. وقد يستلزم كل من سعر الطلب والسعر الأوسط وسعر العرض تقلبًا مختلفًا. ولذلك يكون التقلب الضمني مشروطًا بالسعر المختار وافتراضات النموذج، وليس خاصية للأصل الأساسي تُرصد بصورة مستقلة.

نماذج تسعير الخيارات الأوروبية والأمريكية النمط

يقيّم نموذج بلاك–شولز–ميرتون الخيارات الأوروبية النمط، التي لا يمكن ممارستها إلا عند انتهاء الصلاحية. وتشمل افتراضاته تغيّرات مستمرة في سعر الأصل الأساسي، وثبات التقلب وأسعار الفائدة، والتداول دون احتكاكات. وتمثّل الصيغة المعدّلة لتوزيعات الأرباح التوزيعاتَ بعائد مستمر بدلًا من دفعات منفردة.

يمكن اشتقاق التقييم باستنساخ عائد الخيار عبر حيازة متغيّرة من الأسهم ومركز اقتراض أو إقراض. ووفق افتراضات النموذج، يعيد تعديل حيازة الأسهم مع تغيّر الأسعار إنتاج عائد الخيار. وعندئذ يجب أن تتساوى قيمة المحفظة المستنسِخة وقيمة الخيار، وإلا أتاح فرق السعر بينهما فرصة مراجحة. ويحدد هذا المنطق سعر الخيار دون الحاجة إلى توقع العائد الاستثماري المنتظر للأصل الأساسي.

يتيح الخيار الأمريكي النمط الممارسة المبكرة أيضًا. وتقرّب الشجرة ثنائية الحدين التقييم بتقسيم المدة المتبقية إلى خطوات ذات تحرّكات سعرية محتملة صعودًا وهبوطًا. ويبدأ الحساب من العوائد عند الانتهاء ثم يرجع عبر الشجرة. وعند كل فرصة للممارسة، يقارن القيمة الجوهرية بقيمة الاستمرار المخصومة ويستخدم المبلغ الأكبر. وبذلك يُقيَّم حق الممارسة صراحةً، بدلًا من معاملته كما لو لم يكن متاحًا إلا في التاريخ النهائي.

في خيار شراء على أسهم لا توزّع أرباحًا، لا تضيف الممارسة المبكرة قيمة وفق افتراضات السوق الخالية من الاحتكاكات وأسعار الفائدة غير السالبة. فالاحتفاظ بالخيار يحافظ على حرية الاختيار المتبقية ويؤجّل دفع سعر التنفيذ. وفي هذه الحالة، تقيّم الصيغة الأوروبية أيضًا خيار الشراء الأمريكي النمط. أما خيار الشراء على أسهم موزّعة للأرباح أو خيار البيع داخل نطاق النقد، فقد يستفيد من الممارسة المبكرة، ولذلك لا ينطبق التكافؤ نفسه عمومًا.

يقيّد نمط الممارسة أيضًا العلاقة المعتادة بين الوقت والقيمة. فالخيار الأمريكي النمط الأبعد انتهاءً، والمماثل في سائر الشروط، يتضمن فرص ممارسة الخيار الأقصر أجلًا ويضيف إليها فرصًا أخرى. أما الخيار الأوروبي النمط فيؤجّل تاريخ ممارسته الوحيد. وعند أسعار فائدة موجبة، قد تنخفض قيمة خيار بيع أوروبي النمط عميق داخل نطاق النقد عند إطالة أجله، بسبب تأخّر قبض حصيلة سعر التنفيذ. ويفسّر أثر التمويل هذا لماذا لا تزيد المدة الأطول قيمة كل خيار أوروبي النمط.

صيغ تسعير الخيارات الأوروبية النمط

ليكن $S$ سعر الأصل الأساسي الحالي، و$K$ سعر التنفيذ، و$T$ الوقت المتبقي بالسنوات. ويُرمز إلى التقلب السنوي بـ $\sigma$، وإلى معدل الفائدة المركّب باستمرار بـ $r$، وإلى عائد توزيعات الأرباح المستمر بـ $y$. وتُدخل قيم التقلب والمعدلات بصيغة عشرية؛ فمثلًا يُدخل تقلب 20% على صورة $0.20$. وعندما تكون الأسعار والمدة والتقلب موجبة، تكون قيمة خيار الشراء لكل سهم $C$ وقيمة خيار البيع لكل سهم $P$ كما يأتي:

يخصم العامل $e^{-rT}$ المبلغ المدفوع بسعر التنفيذ، ويعدّل العامل $e^{-yT}$ حدَّ سعر الأصل الأساسي لاحتساب عائد توزيعات الأرباح المستمر. والدالة $N(z)$ هي دالة التوزيع الطبيعي المعياري التراكمية: أي احتمال ألا يتجاوز متغير طبيعي معياري القيمة $z$. وتُحسب وسائطها على النحو الآتي:

يرمز $\ln$ هنا إلى اللوغاريتم الطبيعي. ويجمع بسط $d_1$ العلاقة بين السعر الفوري وسعر التنفيذ مع التمويل وتوزيعات الأرباح والتقلب خلال المدة المتبقية. ويقيس المقام هذه العلاقة نسبةً إلى التباين المحسوب بالنموذج خلال الأفق نفسه. وتطرح صيغة $d_2$ مقياس التقلب هذا من $d_1$.

فمثلًا، عند سعر أصل أساسي $750 وسعر تنفيذ $775 ومدة متبقية 45 يومًا وتقلب 20% ومعدل فائدة 4% وعائد توزيعات أرباح مستمر 1%، تكون القيمة التقريبية للخيار الأوروبي النمط $12.03 لخيار الشراء و$34.14 لخيار البيع لكل سهم، عندما تكون $T=45/365.25$.

عند انتهاء الصلاحية، تختزل القيمة إلى القيمة الجوهرية. وتتطلب الصيغ المعروضة معالجة حدّية منفصلة عندما يكون التقلب صفرًا؛ ففي تلك الحالة يتبع النموذج مسارًا حتميًا لسعر الأصل الأساسي ويخصم العائد الناتج.

حدود النماذج

تحدث توزيعات الأرباح الفعلية في تواريخ محددة، وقد تقفز أسعار السوق، ويتغيّر التقلب بمرور الوقت. ويبسط افتراضُ تقلب ثابت وعائد توزيعات مستمر هذه السمات بدلًا من تمثيلها بدقة تامة. وتضيف الشجرة ثنائية الحدين محدودة الخطوات تقريبًا آخر، إذ تحصر قرارات الممارسة في خطواتها الزمنية. ولذلك تكون مخرجات النموذج تقييمًا مشروطًا يجب تفسيره إلى جانب مواصفات العقد وعروض الأسعار المرصودة والافتراضات المستخدمة.