Griegas de las opciones

Las griegas miden la sensibilidad del valor de una opción calculado por un modelo a cambios en sus variables de valoración. Cada una aísla una fuente de cambio y mantiene constantes las demás, por ejemplo, un movimiento del subyacente, el tiempo transcurrido o una variación de la volatilidad. Son tasas locales de cambio, no características fijas: cuando cambian las variables, las sensibilidades también suelen cambiar.

Las unidades importan al aplicar una griega a una posición. Una sensibilidad cotizada por acción debe multiplicarse por el tamaño del contrato y la cantidad de contratos para obtener el efecto en dólares sobre la posición. Una posición corta invierte el signo de la exposición correspondiente a la opción comprada.

Delta

Delta mide la respuesta del valor de la opción a un pequeño cambio en el precio del subyacente. En una call sobre acciones que cotizan a $750 con una delta de 0.46, una subida a $751 añade aproximadamente $0.46 por acción al valor de la call si las demás variables no cambian. Por tanto, un contrato comprado sobre 100 acciones gana unos $46.

Las calls compradas normalmente tienen una delta entre cero y uno, mientras que las puts compradas normalmente la tienen entre menos uno y cero. Una put con delta de -0.54 pierde aproximadamente $0.54 por acción tras una subida de $1 del subyacente y gana aproximadamente ese importe tras una caída de $1. Las opciones muy dentro del dinero suelen responder de forma más parecida al subyacente, mientras que las que están muy fuera del dinero suelen responder menos a un pequeño cambio de precio.

Delta es una sensibilidad local al precio. Utilizarla como previsión exacta de un movimiento grande del subyacente ignora que la respuesta de la opción cambia a lo largo de la trayectoria del precio.

Gamma

Gamma mide el cambio de delta ante una pequeña variación del subyacente. Si la call del ejemplo tiene una gamma de 0.0075, una subida de $1 aumenta su delta de aproximadamente 0.46 a 0.4675. Por tanto, su sensibilidad al siguiente incremento del precio es mayor que en el punto de partida.

Las calls y puts compradas normalmente tienen gamma positiva. Cuando sube el subyacente, la delta de una call aumenta y la delta negativa de una put se acerca a cero. Cuando cae el subyacente, la delta de la put se hace más negativa, lo que aumenta su ganancia ante una caída adicional. Así, gamma describe la curvatura de la relación entre el valor de la opción y el precio del subyacente.

Una opción vendida invierte esta exposición. La delta de la posición de una call vendida se hace más negativa cuando sube el subyacente, y la delta positiva de la posición de una put vendida aumenta cuando cae el subyacente. En ambos casos, un movimiento continuado en contra de la posición puede producir una respuesta progresivamente mayor.

Cerca del vencimiento, la transición entre una opción con poco valor final y otra que sigue de cerca al subyacente se concentra alrededor del precio de ejercicio. Gamma puede ser alta en esa región. Más dentro o fuera del dinero, delta suele ser más estable y gamma, menor.

Theta

Theta mide el efecto del paso del tiempo y suele expresarse por día natural. Una theta de -$0.26 por acción estima una caída diaria de unos $26 para un contrato comprado sobre 100 acciones si el subyacente, la volatilidad y las demás variables no cambian.

Las opciones compradas suelen tener theta negativa porque un plazo restante más corto reduce la oportunidad de que sus derechos de ejercicio adquieran más valor. Cerca del dinero, la pérdida de valor temporal suele acelerarse al aproximarse el vencimiento. Las opciones muy dentro o fuera del dinero pueden tener poco valor temporal restante y, por ello, seguir un patrón distinto.

La financiación puede matizar esta relación habitual. Una put europea no puede cobrar el importe del precio de ejercicio mediante el ejercicio hasta el vencimiento. Con tasas de interés positivas, el valor actual de ese importe aumenta al acercarse la fecha de cobro. En una put muy dentro del dinero con poca incertidumbre restante, este efecto puede superar la pérdida del valor de la opcionalidad y producir theta positiva. Se deriva del término de descuento de la fórmula de la put europea, y no de una regla general según la cual las opciones compradas siempre pierdan valor con el tiempo.

Vega

Vega mide la respuesta del valor de la opción a un cambio de un punto porcentual en la volatilidad implícita, por ejemplo, un aumento del 20% al 21%. Una vega de $1.04 por acción estima un aumento de la prima de $1.04 ante ese cambio, o de $104 para un contrato comprado sobre 100 acciones, si las demás variables no cambian.

Las calls y puts estándar compradas normalmente tienen vega positiva. Una volatilidad mayor aumenta el valor de los posibles escenarios favorables sin exigir el ejercicio tras un escenario desfavorable. Vega suele ser mayor cerca del dinero y cuando queda más tiempo. Se aproxima a cero al vencimiento, cuando el valor final pasa a depender del precio final del subyacente. Su valor también cambia cuando varían la volatilidad y la situación de la opción respecto al precio de ejercicio.

Rho

Rho mide la sensibilidad a un cambio de un punto porcentual en la tasa de interés. Una rho de una call de $0.40 por acción estima un aumento de la prima de $0.40 cuando la tasa sube del 4% al 5%, manteniendo constantes las demás variables.

Unas tasas más altas reducen el valor actual del pago al precio de ejercicio. Esto suele beneficiar a los titulares de calls, que pueden pagar ese precio más adelante, y reduce el valor de los cobros futuros disponibles para los titulares de puts. Por ello, rho suele ser positiva para las calls compradas y negativa para las puts compradas. El efecto tiende a ser más importante en los contratos de mayor plazo porque el posible pago al precio de ejercicio está más alejado en el futuro.

Griegas de la posición

Las sensibilidades de la posición combinan la griega cotizada de la opción con el multiplicador, la cantidad y el signo de compra o venta. Dos calls compradas sobre 100 acciones cada una, ambas con delta de 0.46, tienen una delta de posición de 92. Por tanto, una pequeña subida de $1 del subyacente produce una ganancia estimada de $92. Vender esas calls para abrir genera, en cambio, una delta de posición de -92, porque una subida aumenta la obligación de la posición corta.

La griega de una posición de varios tramos es la suma de las sensibilidades de sus tramos, con sus signos y ajustes de tamaño. Unas deltas que casi se compensan a un precio del subyacente pueden quedar menos equilibradas tras un movimiento si los tramos tienen gamma distinta. Del mismo modo, unas vegas que se compensan describen un cambio común de IV; no eliminan la exposición cuando las IV de distintos precios de ejercicio cambian en magnitudes diferentes.

Definiciones matemáticas y unidades

Para un valor de la opción por acción $V$ y un precio del subyacente $S$ , delta es la primera derivada del valor respecto al precio, y gamma es la segunda derivada:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Estas expresiones describen una curva de valor suave. Al vencimiento, los valores de las calls y puts presentan un punto angular en el precio de ejercicio, donde no se definen una pendiente única ni una gamma finita. Las sensibilidades anteriores al vencimiento no deben tratarse como derivadas ordinarias en ese punto angular.

Si el tiempo restante $T$ se mide en años, la theta diaria bajo una convención de presentación de 365 días es:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

El signo negativo refleja la reducción del tiempo restante a medida que transcurre el tiempo natural. La convención de presentación debe distinguirse de la fracción de año utilizada en un ejemplo concreto de valoración, que puede emplear una base distinta.

Cuando la volatilidad anual $\sigma$ y la tasa de interés $r$ se expresan como decimales, dividir sus derivadas por 100 permite expresar vega y rho por punto porcentual:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

Combinación de pequeños cambios

Para un cambio en el precio del subyacente $x$ , $h$ días naturales transcurridos, una variación de la IV de $u$ puntos porcentuales y una variación de la tasa de $w$ puntos porcentuales, una aproximación local es:

\text{Cambio en }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

El término de gamma ajusta la curvatura a lo largo del movimiento del subyacente. Los demás términos aplican las sensibilidades iniciales a los cambios especificados. Esta aproximación omite los efectos de orden superior y las interacciones entre variables, por lo que recalcular la valoración completa es más fiable ante cambios importantes.

Utilizando las sensibilidades redondeadas de la call ilustrativa anterior, considérese una subida de $1 del subyacente durante un día mientras la IV cae del 20% al 19%, sin cambios en las tasas ni en los supuestos de dividendos:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

La caída estimada se expresa por acción; la cantidad y el multiplicador del contrato la ajustan al tamaño de la posición. En este ejemplo, el paso del tiempo y la menor IV compensan con creces el beneficio de la subida del subyacente. El cálculo muestra por qué un cambio favorable en una sola variable no determina el movimiento total del precio de una opción.