Optionsgriechen

Die Optionsgriechen messen, wie empfindlich der modellierte Wert einer Option auf Änderungen ihrer Bewertungsparameter reagiert. Jede Kennzahl isoliert eine Änderungsquelle, etwa eine Basiswertbewegung, den Zeitablauf oder eine Volatilitätsänderung, während die übrigen Parameter konstant bleiben. Es handelt sich um lokale Änderungsraten, nicht um feste Eigenschaften: Ändern sich die Parameter, verändern sich im Allgemeinen auch die Sensitivitäten.

Bei der Anwendung einer Optionsgriechen-Kennzahl auf eine Position sind die Einheiten entscheidend. Eine je Aktie notierte Sensitivität muss mit Kontraktgröße und Kontraktzahl multipliziert werden, um den Dollareffekt auf die Position zu erhalten. Bei einer Short-Position kehrt sich das Vorzeichen der entsprechenden Long-Optionssensitivität um.

Delta

Delta misst die Reaktion des Optionswerts auf eine kleine Änderung des Basiswertkurses. Bei einem Call auf Aktien, die zu $750 notieren, und einem Delta von 0.46 erhöht ein Anstieg auf $751 den Call-Wert bei unveränderten übrigen Parametern um ungefähr $0.46 je Aktie. Ein gekaufter Kontrakt über 100 Aktien gewinnt somit etwa $46.

Gekaufte Calls haben normalerweise ein Delta zwischen null und eins, gekaufte Puts dagegen zwischen minus eins und null. Ein Put mit einem Delta von -0.54 verliert nach einem Basiswertanstieg um $1 ungefähr $0.54 je Aktie und gewinnt nach einem Rückgang um $1 ungefähr denselben Betrag. Tief im Geld liegende Optionen reagieren im Allgemeinen stärker wie der Basiswert, während weit aus dem Geld liegende Optionen meist weniger empfindlich auf eine kleine Kursänderung reagieren.

Delta ist eine lokale Kurssensitivität. Wer es als exakte Prognose für eine große Basiswertbewegung verwendet, lässt außer Acht, dass sich die Reaktion der Option entlang des Kursverlaufs verändert.

Gamma

Gamma misst die Änderung des Deltas bei einer kleinen Basiswertänderung. Hat der Beispiel-Call ein Gamma von 0.0075, erhöht ein Kursanstieg um $1 sein Delta von ungefähr 0.46 auf 0.4675. Seine Sensitivität gegenüber dem nächsten Kursschritt ist damit größer als am Ausgangspunkt.

Gekaufte Calls und Puts haben normalerweise positives Gamma. Steigt der Basiswert, nimmt das Delta eines Calls zu, während sich das negative Delta eines Puts gegen null bewegt. Fällt der Basiswert, wird das Delta des Puts negativer, sodass sein Gewinn aus einem weiteren Rückgang zunimmt. Gamma beschreibt somit die Krümmung des Zusammenhangs zwischen Basiswertkurs und Optionswert.

Bei einer Short-Option kehrt sich dieses Risiko um. Das Positionsdelta eines Short Calls wird mit steigendem Basiswert negativer; das positive Positionsdelta eines Short Puts nimmt bei fallendem Basiswert zu. In beiden Fällen kann eine anhaltende Bewegung gegen die Position eine zunehmend stärkere Reaktion auslösen.

Nahe dem Verfall konzentriert sich der Übergang zwischen einer Option mit geringer Auszahlung und einer Option, die dem Basiswert eng folgt, auf den Bereich um den Basispreis. Dort kann Gamma hoch sein. Weiter im Geld oder aus dem Geld ist Delta im Allgemeinen stabiler und Gamma niedriger.

Theta

Theta misst den Einfluss des Zeitablaufs und wird üblicherweise je Kalendertag angegeben. Ein Theta von -$0.26 je Aktie lässt für einen gekauften Kontrakt über 100 Aktien einen Tagesrückgang von etwa $26 erwarten, sofern Basiswert, Volatilität und übrige Parameter unverändert bleiben.

Gekaufte Optionen haben meist negatives Theta, weil eine kürzere Restlaufzeit die Gelegenheit verringert, dass ihre Ausübungsrechte wertvoller werden. In der Nähe des Geldes beschleunigt sich der Zeitwertverfall häufig mit näher rückendem Verfall. Tief im Geld oder aus dem Geld liegende Optionen können nur noch wenig Zeitwert haben und daher einem anderen Verlauf folgen.

Finanzierungseffekte können diesen üblichen Zusammenhang einschränken. Bei einem europäischen Put lässt sich der Erlös zum Basispreis erst bei Verfall durch Ausübung vereinnahmen. Bei positiven Zinsen steigt der Barwert dieses Erlöses, je näher der Zahlungstermin rückt. Bei einem tief im Geld liegenden Put mit geringer verbleibender Unsicherheit kann dieser Effekt den Verlust der Wahlmöglichkeit überwiegen und ein positives Theta erzeugen. Dies folgt aus dem Abzinsungsterm der europäischen Put-Formel und nicht aus einer allgemeinen Regel, dass gekaufte Optionen mit der Zeit stets an Wert verlieren.

Vega

Vega misst die Reaktion des Optionswerts auf eine Änderung der impliziten Volatilität um einen Prozentpunkt, etwa einen Anstieg von 20% auf 21%. Ein Vega von $1.04 je Aktie lässt bei dieser Änderung und unveränderten übrigen Parametern einen Prämienanstieg von $1.04 je Aktie beziehungsweise $104 für einen gekauften Kontrakt über 100 Aktien erwarten.

Gekaufte Standard-Calls und -Puts haben normalerweise positives Vega. Höhere Volatilität erhöht den Wert möglicher günstiger Ergebnisse, ohne nach einem ungünstigen Ergebnis zur Ausübung zu verpflichten. Vega ist häufig in der Nähe des Geldes und bei längerer Restlaufzeit größer. Bei Verfall tendiert es gegen null, da die Auszahlung dann durch den abschließenden Basiswertkurs bestimmt wird. Sein Wert verändert sich außerdem mit Volatilität und Moneyness.

Rho

Rho misst die Sensitivität gegenüber einer Änderung des Zinssatzes um einen Prozentpunkt. Ein Call-Rho von $0.40 je Aktie lässt bei einem Zinsanstieg von 4% auf 5% und unveränderten übrigen Parametern einen Prämienanstieg von $0.40 erwarten.

Höhere Zinsen verringern den Barwert der Basispreiszahlung. Dies begünstigt normalerweise Call-Inhaber, die den Basispreis später zahlen können, und senkt den Wert der künftigen Erlöse für Put-Inhaber. Rho ist daher für gekaufte Calls meist positiv und für gekaufte Puts negativ. Der Effekt ist bei länger laufenden Kontrakten tendenziell bedeutender, weil die mögliche Basispreiszahlung weiter in der Zukunft liegt.

Optionsgriechen der Gesamtposition

Die Sensitivitäten einer Position verbinden die notierte Optionsgriechen-Kennzahl mit Multiplikator, Kontraktzahl und Long- oder Short-Vorzeichen. Zwei gekaufte Calls über jeweils 100 Aktien mit einem Delta von jeweils 0.46 haben ein Positionsdelta von 92. Ein kleiner Basiswertanstieg um $1 führt daher zu einem geschätzten Gewinn von $92. Werden diese Calls stattdessen zur Eröffnung verkauft, beträgt das Positionsdelta -92, weil ein Anstieg die Short-Verpflichtung erhöht.

Die Optionsgriechen-Kennzahl einer Position mit mehreren Legs ist die Summe der vorzeichenbehafteten, skalierten Sensitivitäten ihrer Legs. Deltas, die sich bei einem bestimmten Basiswertkurs nahezu ausgleichen, können nach einer Bewegung weniger gut zusammenpassen, wenn die Legs unterschiedliches Gamma haben. Ebenso beschreiben sich ausgleichende Vegas eine gemeinsame IV-Änderung; sie beseitigen das Risiko nicht, wenn sich die IVs an verschiedenen Basispreisen unterschiedlich stark verändern.

Mathematische Definitionen und Einheiten

Für den Optionswert je Aktie $V$ und den Basiswertkurs $S$ ist Delta die erste Ableitung des Werts nach dem Kurs und Gamma die zweite Ableitung:

Diese Ausdrücke beschreiben eine glatte Wertkurve. Bei Verfall haben Call- und Put-Auszahlungen am Basispreis einen Knick, an dem weder eine eindeutige Steigung noch ein endliches Gamma definiert ist. Sensitivitäten vor dem Verfall dürfen an diesem Knick nicht als gewöhnliche Ableitungen behandelt werden.

Wird die Restlaufzeit $T$ in Jahren gemessen, lautet das tägliche Theta bei einer Berichtskonvention mit 365 Tagen:

Das Minuszeichen spiegelt wider, dass die Restlaufzeit mit fortschreitender Kalenderzeit abnimmt. Die Berichtskonvention ist vom Jahresbruchteil zu unterscheiden, der in einem bestimmten Bewertungsbeispiel verwendet wird und auf einer anderen Basis beruhen kann.

Werden die jährliche Volatilität $\sigma$ und der Zinssatz $r$ als Dezimalzahlen angegeben, liefert die Division ihrer Ableitungen durch 100 Vega und Rho je Prozentpunkt:

Zusammenführung kleiner Änderungen

Für eine Basiswertkursänderung $x$, verstrichene Kalendertage $h$, eine IV-Änderung um $u$ Prozentpunkte und eine Zinsänderung um $w$ Prozentpunkte ergibt sich folgende lokale Näherung:

Der Gamma-Term berücksichtigt die Krümmung über die Basiswertbewegung. Die übrigen Terme wenden die anfänglichen Sensitivitäten auf die angegebenen Änderungen an. Diese Näherung lässt Effekte höherer Ordnung und Wechselwirkungen zwischen den Parametern aus. Bei größeren Änderungen ist deshalb eine vollständige Neubewertung zuverlässiger.

Mit den oben angegebenen gerundeten Call-Sensitivitäten sei ein Basiswertanstieg um $1 innerhalb eines Tages betrachtet, während die IV von 20% auf 19% fällt und Zins- sowie Dividendenannahmen unverändert bleiben:

Der geschätzte Rückgang gilt je Aktie; Kontraktzahl und Kontraktmultiplikator rechnen ihn auf die Position hoch. In diesem Beispiel überwiegen Zeitablauf und niedrigere IV den Vorteil des Basiswertanstiegs. Die Berechnung zeigt, weshalb eine einzelne günstige Parameteränderung nicht die gesamte Preisbewegung einer Option bestimmt.