Optionsgriechen

Eine Aktie kann steigen, während ein gekaufter Call an Wert verliert. Der Kursanstieg hilft dem Call, doch der Zeitablauf und eine sinkende implizite Volatilität (IV) können mehr Wert abbauen, als die Kursbewegung hinzufügt. Die Optionsgriechen helfen, diese Effekte auseinanderzuhalten: Sie schätzen die Reaktion auf jeden Parameter, während die übrigen konstant bleiben. Es handelt sich um lokale Sensitivitäten, nicht um feste Regeln für den nächsten Optionspreis. 1

Angenommen, die Aktie steigt innerhalb eines Kalendertags von $750 auf $751, während die IV von 20% auf 19% fällt und die Zins- und Dividendenannahmen unverändert bleiben. Für einen gekauften Kontrakt mit einem Multiplikator von 100 Aktien werden die folgenden gerundeten Beispielsensitivitäten je Aktie verwendet.

Beginnen wir mit dem Aktienkursanstieg um $1. Bei einem Delta von 0.46 fügt er bei unveränderten übrigen Parametern ungefähr $0.46 je Aktie beziehungsweise $46 zum Wert des gekauften Kontrakts hinzu. Delta misst diese lokale Reaktion auf den Basiswertkurs.

Diese Reaktion bleibt während der Bewegung nicht ganz konstant. Gamma misst, wie sich Delta mit dem Aktienkurs verändert. Bei einem Gamma von 0.0075 erhöht der Anstieg um $1 das Call-Delta von ungefähr 0.46 auf 0.4675. Dadurch reagiert der Call etwas empfindlicher auf den nächsten Dollar Kursbewegung. Eine Gamma-Korrektur berücksichtigt diese Krümmung in der nachfolgenden Schätzung.

Gleichzeitig hat der Call einen Tag weniger Restlaufzeit. Sein Theta schätzt den Einfluss des Zeitablaufs, hier je Kalendertag angegeben. Ein Theta von -$0.26 je Aktie trägt bei unverändertem Aktienkurs, unveränderter Volatilität und unveränderten übrigen Parametern zu einem geschätzten Tagesrückgang von $26 für den gekauften Kontrakt über 100 Aktien bei.

Die sinkende IV steuert einen weiteren Rückgang bei. Vega misst die Sensitivität gegenüber einer IV-Änderung um einen Prozentpunkt. Bei einem Vega von $1.04 je Aktie würde ein Anstieg von 20% auf 21% unter sonst gleichen Bedingungen ungefähr $1.04 je Aktie beziehungsweise $104 zum Kontraktwert hinzufügen. Unser Beispiel geht in die Gegenrichtung, von 20% auf 19%, weshalb der geschätzte Beitrag negativ ist. Gemeint sind Änderungen in Prozentpunkten, nicht relative prozentuale Änderungen der IV.

Zusammenführung kleiner Änderungen

Die Addition der Kurs-, Zeit- und Volatilitätseffekte einschließlich der Gamma-Korrektur für die Krümmung ergibt:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

Der geschätzte Rückgang beträgt etwa $0.84 je Aktie beziehungsweise $84 für einen gekauften Kontrakt über 100 Aktien. Zeitablauf und niedrigere IV überwiegen den Vorteil des Aktienkursanstiegs. So kann der Call an Wert verlieren, ohne dass sich die Aktie gegen ihn bewegt; Delta allein beschreibt nur einen Teil der Änderung.

Allgemeiner sei $x$ die Basiswertkursänderung in Dollar, $h$ die Zahl der verstrichenen Kalendertage, $u$ die IV-Änderung in Prozentpunkten und $w$ die Zinsänderung in Prozentpunkten. Eine lokale Schätzung der Wertänderung je Aktie lautet:

\text{Änderung von }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

Der Gamma-Term korrigiert die Delta-Schätzung um die Krümmung; Rho berücksichtigt die Zinsen, die in diesem Beispiel unverändert bleiben. Der Ausdruck verwendet die anfänglichen Sensitivitäten und lässt Effekte höherer Ordnung sowie Wechselwirkungen zwischen den Parametern aus. Er ist eine Näherung, keine vollständige Neubewertung und kein garantiertes Handelsergebnis. Bei erheblichen Änderungen, insbesondere wenn sich mehrere Parameter zugleich bewegen, sollte die Option mit den neuen Parametern bewertet werden, statt die anfänglichen Griechen auf die gesamte Bewegung zu übertragen.

Warum sich die Kurssensitivität verändert

Das positive Delta des Calls erklärt, warum ihm der Aktienkursanstieg geholfen hat. Gekaufte Calls haben normalerweise ein Delta zwischen null und eins, gekaufte Puts zwischen minus eins und null. Ein Put mit einem Delta von -0.54 verliert bei einem Aktienkursanstieg um $1 etwa $0.54 je Aktie und gewinnt bei einem Rückgang um $1 ungefähr denselben Betrag, sofern die übrigen Parameter unverändert bleiben. Tief im Geld liegende Optionen reagieren im Allgemeinen stärker wie der Basiswert, während weit aus dem Geld liegende Optionen weniger auf kleine Bewegungen reagieren.

Gekaufte Calls und Puts haben normalerweise positives Gamma: Steigt die Aktie, nimmt das Call-Delta zu und das Put-Delta wird weniger negativ. Fällt die Aktie, wird das Put-Delta negativer. Diese veränderliche Steigung ist die Krümmung des Zusammenhangs zwischen Kurs und Optionswert. 2

Bei einer Short-Option kehrt sich dieses Risiko um. Das Delta eines Short Calls wird bei steigender Aktie negativer; das Delta eines Short Puts wird bei fallender Aktie positiver. Eine weitere Bewegung gegen die jeweilige Position kann daher einen größeren Verlust verursachen.

Gamma kann nahe dem Basispreis kurz vor Verfall besonders hoch sein, wenn bereits eine kleine Aktienkursbewegung die Sensitivität der Option stark verändert. Weiter im Geld oder aus dem Geld ist Delta im Allgemeinen stabiler und Gamma niedriger. Delta ist weder eine exakte Orientierung für eine große Kursänderung noch eine exakte reale Ausübungswahrscheinlichkeit.

Wie Zeit und Volatilität das Risiko verändern

Das negative Theta des Beispiels ist für gekaufte Optionen üblich: Es bleibt weniger Zeit, damit sich eine günstige Auszahlung entwickeln kann. Bei Optionen am Geld beschleunigt sich der Zeitwertverfall häufig kurz vor Verfall, während tief im Geld oder aus dem Geld liegende Optionen einem anderen Muster folgen können.

Negatives Theta gilt jedoch nicht ausnahmslos. Ein europäischer Put muss bis zum Verfall warten, um durch Ausübung den Erlös zum Basispreis zu erhalten. Bei positiven Zinsen steigt der Barwert dieses Erlöses, je näher der Zahlungstermin rückt. Bei einem tief im Geld liegenden Put mit geringer verbleibender Unsicherheit kann dieser Finanzierungseffekt den Verlust der Wahlmöglichkeit überwiegen und positives Theta erzeugen. 2

Auch das positive Vega des Beispiels ist typisch für gekaufte Standard-Calls und -Puts. Höhere Volatilität vergrößert das Potenzial für eine höhere Auszahlung, ohne den Inhaber nach einer ungünstigen Bewegung zur Ausübung zu verpflichten. Vega ist häufig in der Nähe des Geldes und bei längerer Restlaufzeit größer. Es verändert sich mit Volatilität und Moneyness und nähert sich bei Verfall null, wenn der Aktienkurs die Auszahlung bestimmt.

Dieser Rechner verwendet ganze Tage. Ein heutiger Verfall bedeutet null verbleibende Modellzeit und eine Bewertung zum inneren Wert, keine Prognose des untertägigen Zeitwertverfalls.

Wo die Zinsen einfließen

Das durchgerechnete Beispiel hält die Zinsen konstant; eine Zinsänderung würde einen weiteren Beitrag hinzufügen. Rho misst die Sensitivität gegenüber einer Zinsänderung um einen Prozentpunkt. Ein Call-Rho von $0.40 je Aktie bedeutet bei einem Zinsanstieg von 4% auf 5% und unveränderten übrigen Parametern einen geschätzten Prämienanstieg von ungefähr $0.40 je Aktie.

Höhere Zinsen verringern den Barwert der Basispreiszahlung. Das hilft normalerweise Call-Inhabern, die den Basispreis später zahlen können, und schadet Put-Inhabern, die ihn möglicherweise erhalten. Gekaufte Calls haben daher meist positives Rho und gekaufte Puts negatives Rho. Bei länger laufenden Kontrakten ist der Effekt tendenziell größer. 3

Optionsgriechen der Gesamtposition

Dieselben Sensitivitäten gelten für eine Position, sobald Größe und Richtung berücksichtigt werden. Multiplizieren Sie die jeweilige Kennzahl je Aktie eines Legs mit seinem Kontraktmultiplikator und seiner vorzeichenbehafteten Kontraktzahl: positiv für ein Long-Leg, negativ für ein Short-Leg. Anschließend werden die Legs addiert.

Zwei gekaufte Calls über jeweils 100 Aktien mit einem Delta von 0.46 haben ein Positionsdelta von $2\times100\times0.46=92$ . Ein kleiner Aktienkursanstieg um $1 ergibt bei unveränderten übrigen Parametern einen geschätzten Gewinn von $92. Werden diese beiden Calls stattdessen zur Eröffnung verkauft, beträgt das Delta -92. Ein Short-Leg kehrt ebenso die übrigen Sensitivitäten der entsprechenden Long-Option um.

Sich ausgleichende Griechen bleiben nicht zwangsläufig im Gleichgewicht. Legs mit unterschiedlichem Gamma können nach einer Aktienkursbewegung ihren Delta-Ausgleich verlieren. Ebenso beschreiben sich ausgleichende Vegas eine gemeinsame IV-Änderung und keinen Schutz gegen unterschiedliche Volatilitätsänderungen an verschiedenen Basispreisen.

Die Positionsgriechen des Rechners enthalten bereits Seite, Kontraktzahl und Multiplikator; skalieren Sie sie nicht erneut. Sie verwenden das heutige Datum und den Einstiegskurs, auch wenn das Analysedatum das Kursdiagramm verändert.

Mathematische Definitionen und Einheiten

Für den Optionswert je Aktie $V$ und den Basiswertkurs $S$ ist Delta die erste Ableitung nach dem Kurs und Gamma die zweite:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Diese Definitionen setzen eine glatte Wertkurve voraus. Bei Verfall hat die Auszahlung am Basispreis einen Knick, an dem weder eine eindeutige Steigung noch ein endliches Gamma definiert ist.

Wird die Restlaufzeit $T$ in Jahren gemessen, lautet das tägliche Theta bei einer Berichtskonvention mit 365 Tagen:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Das Minuszeichen berücksichtigt, dass die Restlaufzeit mit jedem verstrichenen Tag abnimmt. Dieser Berichtsdivisor ist von der Jahresbruchteilberechnung mit 365.25 Tagen in den Bewertungsbeispielen dieses Rechners zu unterscheiden.

Werden die jährliche Volatilität $\sigma$ und der Zinssatz $r$ als Dezimalzahlen angegeben, liefert die Division ihrer Ableitungen durch 100 Vega und Rho je Prozentpunkt:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}