Grecques des options

Les grecques mesurent la sensibilité de la valeur théorique d’une option aux variations de ses paramètres de valorisation. Chacune isole une source de variation tout en maintenant les autres constantes, par exemple un mouvement du sous-jacent, le temps écoulé ou un changement de volatilité. Ce sont des taux de variation locaux, et non des caractéristiques fixes : lorsque les paramètres évoluent, les sensibilités changent généralement aussi.

Les unités sont importantes lorsqu’on applique une grecque à une position. Une sensibilité cotée par action doit être multipliée par la taille et le nombre de contrats pour obtenir l’effet en dollars sur la position. Une position vendeuse inverse le signe de l’exposition correspondante de l’option achetée.

Delta

Le delta mesure la réaction de la valeur d’une option à une petite variation du cours du sous-jacent. Pour un call sur des actions cotant $750 et de delta 0.46, une hausse à $751 ajoute environ $0.46 par action à la valeur du call lorsque les autres paramètres restent inchangés. Un contrat acheté portant sur 100 actions gagne donc environ $46.

Le delta des calls achetés se situe normalement entre zéro et un, tandis que celui des puts achetés se situe normalement entre moins un et zéro. Un put de delta -0.54 perd environ $0.54 par action après une hausse de $1 du sous-jacent et gagne approximativement ce montant après une baisse de $1. Les options profondément dans la monnaie réagissent généralement davantage comme le sous-jacent, tandis que les options loin hors de la monnaie sont habituellement moins sensibles à une petite variation de cours.

Le delta est une sensibilité locale au cours. L’utiliser comme une prévision exacte pour un mouvement important du sous-jacent néglige le fait que la réaction de l’option évolue le long de la trajectoire de cours.

Gamma

Le gamma mesure la variation du delta pour une petite variation du sous-jacent. Si le call de l’exemple a un gamma de 0.0075, une hausse de $1 fait passer son delta d’environ 0.46 à 0.4675. Sa sensibilité à l’augmentation de cours suivante est donc supérieure à celle du point de départ.

Les calls et puts achetés ont normalement un gamma positif. Lorsque le sous-jacent monte, le delta d’un call augmente et le delta négatif d’un put se rapproche de zéro. Lorsque le sous-jacent baisse, le delta du put devient plus négatif, ce qui accroît son gain lors d’une nouvelle baisse. Le gamma décrit ainsi la courbure de la relation entre le cours et la valeur de l’option.

Une option vendue inverse cette exposition. Le delta de position d’un call vendu devient plus négatif lorsque le sous-jacent monte, et le delta de position positif d’un put vendu augmente lorsque le sous-jacent baisse. Dans les deux cas, la poursuite d’un mouvement défavorable à la position peut entraîner une réaction de plus en plus importante.

Près de l’échéance, la transition entre une option de faible valeur finale et une option qui suit étroitement le sous-jacent se concentre autour du prix d’exercice. Le gamma peut être élevé dans cette zone. Plus loin dans la monnaie ou hors de la monnaie, le delta est généralement plus stable et le gamma plus faible.

Thêta

Le thêta mesure l’effet du temps écoulé, généralement présenté par jour calendaire. Un thêta de -$0.26 par action estime une baisse sur une journée d’environ $26 pour un contrat acheté portant sur 100 actions, si le sous-jacent, la volatilité et les autres paramètres restent inchangés.

Les options achetées ont habituellement un thêta négatif, car une durée restante plus courte réduit la possibilité que leur droit d’exercice prenne de la valeur. Près de la monnaie, le rythme d’érosion temporelle s’accélère souvent à l’approche de l’échéance. Les options profondément dans la monnaie ou loin hors de la monnaie peuvent conserver peu de valeur temps et suivre, par conséquent, un profil différent.

Le financement peut nuancer cette relation habituelle. Un put européen ne peut procurer son produit de vente au prix d’exercice avant l’échéance. Lorsque les taux d’intérêt sont positifs, la valeur actuelle de ce produit augmente à mesure que sa date d’encaissement se rapproche. Pour un put profondément dans la monnaie et présentant peu d’incertitude restante, cet effet peut dépasser la perte de valeur du choix offert par l’option et produire un thêta positif. Il découle du terme d’actualisation de la formule du put européen, et non d’une règle générale selon laquelle les options achetées perdraient toujours de la valeur avec le temps.

Véga

Le véga mesure la réaction de la valeur d’une option à une variation d’un point de pourcentage de la volatilité implicite, par exemple un passage de 20% à 21%. Un véga de $1.04 par action estime une augmentation de prime de $1.04 pour cette variation, soit $104 pour un contrat acheté portant sur 100 actions, les autres paramètres restant inchangés.

Les calls et puts standard achetés ont normalement un véga positif. Une volatilité plus élevée accroît la valeur des scénarios favorables possibles sans imposer l’exercice dans un scénario défavorable. Le véga est souvent plus élevé près de la monnaie et lorsque la durée restante est plus longue. Il tend vers zéro à l’échéance, à mesure que la valeur finale est déterminée par le cours final du sous-jacent. Sa valeur évolue aussi avec la volatilité et la position par rapport au prix d’exercice.

Rhô

Le rhô mesure la sensibilité à une variation d’un point de pourcentage du taux d’intérêt. Un rhô de call de $0.40 par action estime une hausse de prime de $0.40 lorsque le taux passe de 4% à 5%, les autres paramètres restant constants.

Des taux plus élevés réduisent la valeur actuelle du paiement au prix d’exercice. Cela favorise généralement les détenteurs de calls, qui peuvent payer plus tard, et diminue la valeur du produit futur accessible aux détenteurs de puts. Le rhô est donc habituellement positif pour les calls achetés et négatif pour les puts achetés. L’effet tend à être plus important pour les contrats de longue durée, car le paiement éventuel au prix d’exercice se situe plus loin dans le temps.

Grecques de la position

Les sensibilités de position combinent la grecque cotée de l’option avec le multiplicateur, la quantité et le signe acheteur ou vendeur. Deux calls achetés portant chacun sur 100 actions et de delta 0.46 présentent un delta de position de 92. Une petite hausse de $1 du sous-jacent produit donc un gain estimé de $92. Vendre ces calls pour ouvrir donne au contraire un delta de position de -92, car une hausse accroît l’obligation vendeuse.

La grecque d’une position à plusieurs jambes est la somme des sensibilités de ses jambes, affectées de leur signe et mises à l’échelle. Des deltas qui se compensent presque à un certain cours peuvent devenir moins équilibrés après un mouvement si les jambes ont des gammas différents. De même, des végas compensateurs décrivent une variation commune de l’IV ; ils n’éliminent pas l’exposition lorsque les IV de prix d’exercice différents varient de montants différents.

Définitions mathématiques et unités

Pour une valeur d’option par action $V$ et un cours du sous-jacent $S$ , le delta est la dérivée première de la valeur par rapport au cours, et le gamma sa dérivée seconde :

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Ces expressions décrivent une courbe de valeur lisse. À l’échéance, les valeurs des calls et puts présentent un point anguleux au prix d’exercice, où ni une pente unique ni un gamma fini ne sont définis. Les sensibilités avant l’échéance ne doivent pas être traitées comme des dérivées ordinaires en ce point anguleux.

Si la durée restante $T$ est mesurée en années, le thêta quotidien selon une convention de présentation de 365 jours est :

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Le signe moins traduit la diminution de la durée restante à mesure que le temps calendaire s’écoule. La convention de présentation doit être distinguée de la fraction d’année utilisée dans un exemple de valorisation donné, qui peut reposer sur une autre base.

Lorsque la volatilité annuelle $\sigma$ et le taux d’intérêt $r$ sont exprimés en décimales, diviser leurs dérivées par 100 permet de présenter le véga et le rhô par point de pourcentage :

\text{Véga}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

Combinaison de petites variations

Pour une variation du cours du sous-jacent $x$ , un nombre de jours calendaires écoulés $h$ , une variation d’IV de $u$ points de pourcentage et une variation de taux de $w$ points de pourcentage, une approximation locale est :

\text{Variation de }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Véga}\,u+\rho w

Le terme de gamma tient compte de la courbure sur le mouvement du sous-jacent. Les autres termes appliquent les sensibilités initiales aux variations indiquées. Cette approximation omet les effets d’ordre supérieur et les interactions entre paramètres : un recalcul complet du prix est donc plus fiable pour des variations importantes.

À partir des sensibilités arrondies du call présentées plus haut à titre d’exemple, considérons une hausse de $1 du sous-jacent sur une journée, tandis que l’IV passe de 20% à 19%, les taux et les hypothèses de dividendes restant inchangés :

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

La baisse estimée est exprimée par action ; la quantité et le multiplicateur du contrat la mettent à l’échelle de la position. Dans cet exemple, le passage du temps et la baisse de l’IV compensent plus que totalement l’avantage de la hausse du sous-jacent. Le calcul montre pourquoi une variation favorable d’un seul paramètre ne détermine pas l’ensemble du mouvement de prix d’une option.