Grecques des options

Une action peut monter alors qu’un call que vous avez acheté perd de la valeur. La hausse aide le call, mais le temps écoulé et la baisse de la volatilité implicite (IV) peuvent retirer plus de valeur que le mouvement de l’action n’en ajoute. Les Grecques aident à séparer ces effets en estimant la réaction à chaque paramètre, les autres restant constants. Ce sont des sensibilités locales, et non des règles fixes pour le prochain prix de l’option. 1

Supposons que l’action passe de $750 à $751 en un jour calendaire tandis que l’IV baisse de 20% à 19%, les hypothèses de taux d’intérêt et de dividendes restant inchangées. Utilisons les sensibilités illustratives arrondies ci-dessous, cotées par action, pour un contrat acheté de multiplicateur 100.

Commençons par la hausse de $1 de l’action. Avec un Delta de 0.46, elle ajoute environ $0.46 par action, soit $46 au contrat acheté, si les autres paramètres restent constants. Le delta mesure cette réaction locale au cours du sous-jacent.

Cette réaction n’est pas tout à fait constante au cours du mouvement. Le Gamma mesure la variation du delta avec le cours du sous-jacent. Avec un gamma de 0.0075, la hausse de $1 fait passer le delta du call d’environ 0.46 à 0.4675, ce qui le rend un peu plus sensible au dollar de mouvement suivant. Un ajustement de gamma tiendra compte de cette courbure dans l’estimation ci-dessous.

Pendant ce temps, il reste un jour de moins au call. Son Thêta estime l’effet du passage du temps, présenté ici par jour calendaire. Un thêta de -$0.26 par action contribue à une baisse estimée de $26 sur une journée pour le contrat acheté de 100 actions, le cours, la volatilité et les autres paramètres restant constants.

La baisse d’IV ajoute une autre diminution. Le Véga mesure la sensibilité à une variation d’un point de pourcentage de l’IV. Avec un véga de $1.04 par action, une hausse de 20% à 21% ajouterait environ $1.04 par action, soit $104 au contrat acheté, toutes choses égales par ailleurs. Dans notre exemple, le mouvement va dans l’autre sens, de 20% à 19%, donc la contribution estimée est négative. Il s’agit de variations en points de pourcentage, et non de variations proportionnelles en pourcentage de l’IV.

Combiner de petites variations

En additionnant les effets du cours, du temps et de la volatilité, y compris l’ajustement de courbure du gamma, on obtient :

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

La baisse estimée est d’environ $0.84 par action, soit $84 pour un contrat acheté de 100 actions. Le passage du temps et la baisse de l’IV compensent plus que totalement le bénéfice de la hausse de l’action. Cela explique comment le call peut perdre de la valeur sans que l’action n’évolue contre lui ; le delta seul ne décrit qu’une partie du changement.

Plus généralement, notons $x$ la variation du cours du sous-jacent en dollars, $h$ le nombre de jours calendaires écoulés, $u$ la variation de l’IV en points de pourcentage et $w$ la variation du taux d’intérêt en points de pourcentage. Une estimation locale de la variation de valeur par action est :

\text{Variation de }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Véga}\,u+\rho w

Le terme de gamma ajuste l’estimation du delta pour la courbure ; le rhô tient compte des taux d’intérêt, qui ne changent pas dans cet exemple. L’expression utilise les sensibilités de départ et omet les effets d’ordre supérieur et les interactions entre paramètres. C’est une approximation, pas un recalcul complet ni un résultat de négociation garanti. Pour des variations importantes, surtout lorsque plusieurs paramètres évoluent ensemble, il vaut mieux recalculer l’option avec les nouveaux paramètres plutôt que d’étendre les grecques initiales sur tout le mouvement.

Pourquoi la sensibilité au cours change-t-elle ?

Le delta positif du call explique pourquoi la hausse de l’action lui est favorable. Les calls achetés ont normalement un delta entre zéro et un ; les puts achetés, entre moins un et zéro. Un put de delta -0.54 perd environ $0.54 par action pour une hausse de $1 de l’action et gagne environ ce montant pour une baisse de $1, les autres paramètres restant constants. Les options profondément dans la monnaie réagissent généralement davantage comme le sous-jacent, tandis que les options très loin hors de la monnaie réagissent moins aux petits mouvements.

Les calls et puts achetés ont normalement un gamma positif : lorsque l’action monte, le delta du call augmente et celui du put devient moins négatif. Lorsque l’action baisse, le delta du put devient plus négatif. Cette variation de pente est la courbure de la relation entre valeur de l’option et cours du sous-jacent. 2

Une option vendue inverse cette exposition. Le delta d’un call vendu devient plus négatif lorsque l’action monte ; le delta d’un put vendu devient plus positif lorsque l’action baisse. Un nouveau mouvement défavorable peut donc provoquer une perte plus importante.

Le gamma peut être particulièrement élevé près du prix d’exercice à l’approche de l’échéance, où un petit mouvement de l’action modifie fortement la sensibilité de l’option. Plus loin dans ou hors de la monnaie, le delta est généralement plus stable et le gamma plus faible. Le delta n’est ni un guide exact pour une forte variation de prix ni une probabilité exacte d’exercice dans le monde réel.

Comment le temps et la volatilité modifient-ils l’exposition ?

Le thêta négatif de l’exemple est courant pour les options achetées : il reste moins de temps pour qu’une valeur finale favorable se développe. L’érosion s’accélère souvent près de l’échéance pour les options à la monnaie, tandis que les options profondément dans ou hors de la monnaie peuvent suivre un profil différent.

Un thêta négatif n’est pas universel. Un put européen doit attendre l’échéance pour encaisser le produit au prix d’exercice par l’exercice. Lorsque les taux d’intérêt sont positifs, ce produit gagne en valeur actuelle à mesure que sa date d’encaissement approche. Pour un put profondément dans la monnaie avec peu d’incertitude restante, cet effet de financement peut dépasser la perte d’optionalité et produire un thêta positif. 2

Le véga positif de l’exemple est également courant pour les calls et puts standard achetés. Une volatilité plus élevée augmente le potentiel d’une valeur finale plus importante sans obliger le détenteur à exercer après un mouvement défavorable. Le véga est souvent plus élevé près de la monnaie et avec davantage de temps restant. Il évolue avec la volatilité et la position par rapport au prix d’exercice et tend vers zéro à l’échéance, lorsque le cours détermine la valeur finale.

Ce calculateur utilise des jours entiers. Une échéance aujourd’hui signifie zéro temps modélisé restant et une valeur intrinsèque, et non une prévision d’érosion intrajournalière.

Où interviennent les taux d’intérêt ?

L’exemple chiffré maintient les taux constants, mais une variation des taux ajouterait une autre contribution. Le Rhô mesure la sensibilité à une variation d’un point de pourcentage du taux d’intérêt. Un rhô de call de $0.40 par action implique une hausse approximative de la prime de $0.40 lorsque le taux passe de 4% à 5%, les autres paramètres restant constants.

Des taux plus élevés réduisent la valeur actuelle du paiement au prix d’exercice. Cela aide généralement les détenteurs de calls, qui peuvent payer le prix d’exercice plus tard, et pénalise les détenteurs de puts, qui peuvent le recevoir. Les calls achetés ont donc généralement un rhô positif et les puts achetés un rhô négatif. L’effet tend à être plus important pour les contrats de longue durée. 3

Grecques de la position

Les mêmes sensibilités s’appliquent à une position après prise en compte de sa taille et de son sens. Multipliez chaque grecque par action d’une jambe par son multiplicateur et sa quantité signée : positive pour une jambe achetée, négative pour une jambe vendue. Additionnez ensuite les jambes.

Deux calls achetés de 100 actions chacun et de delta 0.46 ont un delta de position de $2\times100\times0.46=92$ . Une petite hausse de $1 de l’action donne un gain estimé de $92, les autres paramètres restant constants. Vendre ces deux calls pour ouvrir produit au contraire un delta de -92. Une jambe vendeuse inverse également les autres sensibilités de l’option achetée correspondante.

Des grecques qui se compensent ne restent pas nécessairement équilibrées. Des jambes dont les gammas diffèrent peuvent perdre leur équilibre de delta après un mouvement de l’action. De même, des végas qui se compensent décrivent une variation commune de l’IV, et non une protection contre des changements de volatilité différents selon les prix d’exercice.

Les grecques de position du calculateur incluent déjà le sens, la quantité et le multiplicateur ; ne les mettez pas à l’échelle une seconde fois. Elles utilisent la date d’aujourd’hui et Cours d’entrée, même lorsque Date d’analyse modifie le graphique selon le cours du sous-jacent.

Définitions mathématiques et unités

Pour la valeur d’option par action $V$ et le cours du sous-jacent $S$ , le delta est la dérivée première par rapport au cours et le gamma la dérivée seconde :

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Ces définitions supposent une courbe de valeur lisse. À l’échéance, la valeur finale présente un angle au prix d’exercice, où une pente unique et un gamma fini ne sont pas définis.

Avec une durée restante $T$ mesurée en années, le thêta quotidien selon une convention de présentation de 365 jours est :

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Le signe moins tient compte du fait que la durée restante diminue lorsqu’un jour passe. Ce diviseur de présentation est distinct de la fraction d’année de 365.25 jours utilisée dans les exemples de valorisation de ce calculateur.

Lorsque la volatilité annuelle $\sigma$ et le taux d’intérêt $r$ sont exprimés en décimales, divisez leurs dérivées par 100 pour présenter le véga et le rhô par point de pourcentage :

\text{Véga}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}