Współczynniki greckie opcji

Współczynniki greckie mierzą wrażliwość modelowej wartości opcji na zmiany parametrów wyceny. Każdy wyodrębnia jedno źródło zmiany przy pozostałych bez zmian, na przykład ruch ceny instrumentu bazowego, upływ czasu lub zmianę zmienności. Są to lokalne tempa zmian, a nie stałe cechy: wraz ze zmianą parametrów na ogół zmieniają się również wrażliwości.

Przy stosowaniu współczynnika greckiego do pozycji znaczenie mają jednostki. Wrażliwość kwotowaną na akcję trzeba pomnożyć przez wielkość i liczbę kontraktów, aby uzyskać wpływ na pozycję w dolarach. Krótka pozycja odwraca znak ekspozycji odpowiadającej długiej opcji.

Delta

Delta mierzy reakcję wartości opcji na niewielką zmianę ceny instrumentu bazowego. Dla opcji call na akcje notowane po $750, z deltą 0.46, wzrost do $751 dodaje około $0.46 na akcję do wartości opcji call przy pozostałych parametrach bez zmian. Jeden nabyty kontrakt na 100 akcji zyskuje więc około $46.

Nabyte opcje call zwykle mają deltę między zerem a jednością, a nabyte opcje put — między minus jednością a zerem. Opcja put z deltą -0.54 traci około $0.54 na akcję po wzroście instrumentu bazowego o $1 i zyskuje około tej samej kwoty po spadku o $1. Opcje głęboko w pieniądzu na ogół reagują bardziej podobnie do instrumentu bazowego, natomiast opcje daleko poza pieniądzem są zwykle mniej wrażliwe na niewielką zmianę ceny.

Delta jest lokalną wrażliwością cenową. Traktowanie jej jako dokładnej prognozy dla dużego ruchu instrumentu bazowego pomija fakt, że reakcja opcji zmienia się wzdłuż ścieżki ceny.

Gamma

Gamma mierzy zmianę delty przy niewielkiej zmianie ceny instrumentu bazowego. Jeżeli przykładowa opcja call ma gammę 0.0075, wzrost o $1 zwiększa jej deltę z około 0.46 do 0.4675. Wrażliwość na kolejny przyrost ceny jest więc większa niż w punkcie początkowym.

Nabyte opcje call i put zwykle mają dodatnią gammę. Wraz ze wzrostem instrumentu bazowego delta opcji call rośnie, a ujemna delta opcji put zbliża się do zera. Gdy instrument bazowy spada, delta opcji put staje się bardziej ujemna, zwiększając zysk z dalszego spadku. Gamma opisuje więc krzywiznę zależności wartości opcji od ceny.

Krótka opcja odwraca tę ekspozycję. Delta krótkiej pozycji w opcji call staje się bardziej ujemna wraz ze wzrostem instrumentu bazowego, a dodatnia delta krótkiej pozycji w opcji put rośnie wraz ze spadkiem instrumentu bazowego. W obu przypadkach kontynuacja ruchu przeciwko pozycji może wywoływać coraz większą reakcję.

Tuż przed wygaśnięciem przejście między opcją o niewielkiej wypłacie a opcją ściśle podążającą za instrumentem bazowym koncentruje się wokół ceny wykonania. Gamma może być w tym obszarze wysoka. Głębiej w pieniądzu lub dalej poza pieniądzem delta jest na ogół stabilniejsza, a gamma niższa.

Theta

Theta mierzy wpływ upływu czasu, zwykle w przeliczeniu na dzień kalendarzowy. Theta -$0.26 na akcję oznacza szacowany jednodniowy spadek o około $26 dla jednego nabytego kontraktu na 100 akcji, jeżeli cena instrumentu bazowego, zmienność i pozostałe parametry pozostaną bez zmian.

Nabyte opcje zwykle mają ujemną thetę, ponieważ krótszy pozostały okres zmniejsza możliwość wzrostu wartości ich praw wykonania. W pobliżu ceny wykonania tempo utraty wartości czasowej często przyspiesza w miarę zbliżania się wygaśnięcia. Opcje głęboko w pieniądzu lub daleko poza pieniądzem mogą mieć niewielką pozostałą wartość czasową i dlatego zachowywać się inaczej.

Finansowanie może wprowadzać wyjątek od tej typowej zależności. Europejska opcja put nie pozwala otrzymać wpływów po cenie wykonania poprzez wykonanie przed terminem wygaśnięcia. Przy dodatnich stopach procentowych wartość bieżąca tych wpływów rośnie w miarę zbliżania się daty ich otrzymania. Dla opcji put głęboko w pieniądzu, z niewielką pozostałą niepewnością, efekt ten może przewyższyć utratę wartości wynikającej z możliwości wyboru i dać dodatnią thetę. Wynika to ze składnika dyskontującego we wzorze na europejską opcję put, a nie z ogólnej zasady, że nabyte opcje zawsze tracą wartość z upływem czasu.

Vega

Vega mierzy reakcję wartości opcji na zmianę zmienności implikowanej o jeden punkt procentowy, na przykład wzrost z 20% do 21%. Vega $1.04 na akcję oznacza szacowany wzrost premii o $1.04 przy takiej zmianie, czyli $104 dla jednego nabytego kontraktu na 100 akcji, przy pozostałych parametrach bez zmian.

Nabyte standardowe opcje call i put zwykle mają dodatnią vegę. Wyższa zmienność zwiększa wartość potencjalnych korzystnych wyników, nie wymagając wykonania po wyniku niekorzystnym. Vega jest często większa w pobliżu ceny wykonania i przy dłuższym pozostałym czasie. W terminie wygaśnięcia zbliża się do zera, gdy wypłatę określa już końcowa cena instrumentu bazowego. Jej wartość zmienia się także wraz ze zmiennością i moneyness.

Rho

Rho mierzy wrażliwość na zmianę stopy procentowej o jeden punkt procentowy. Rho opcji call równe $0.40 na akcję oznacza szacowany wzrost premii o $0.40, gdy stopa rośnie z 4% do 5%, przy pozostałych parametrach bez zmian.

Wyższe stopy obniżają wartość bieżącą płatności po cenie wykonania. Na ogół sprzyja to posiadaczom opcji call, którzy mogą zapłacić cenę wykonania później, i zmniejsza wartość przyszłych wpływów dostępnych posiadaczom opcji put. Rho jest więc zwykle dodatnie dla nabytych opcji call i ujemne dla nabytych opcji put. Efekt ma zwykle większe znaczenie dla kontraktów długoterminowych, ponieważ potencjalna płatność po cenie wykonania jest bardziej oddalona w czasie.

Współczynniki greckie pozycji

Wrażliwości pozycji łączą kwotowany współczynnik grecki opcji z mnożnikiem, liczbą kontraktów i znakiem pozycji długiej lub krótkiej. Dwie nabyte opcje call na 100 akcji każda, z deltą 0.46, mają deltę pozycji równą 92. Niewielki wzrost instrumentu bazowego o $1 daje więc szacowany zysk $92. Sprzedaż tych opcji call w celu otwarcia daje natomiast deltę pozycji -92, ponieważ wzrost zwiększa wartość krótkiego zobowiązania.

Współczynnik grecki pozycji wieloelementowej jest sumą przeskalowanych wrażliwości jej elementów z odpowiednimi znakami. Delty niemal równoważące się przy jednej cenie instrumentu bazowego mogą kompensować się słabiej po ruchu, jeżeli elementy mają różne gammy. Analogicznie kompensujące się vegi opisują wspólną zmianę IV; nie eliminują ekspozycji, gdy IV przy różnych cenach wykonania zmieniają się o różne wartości.

Definicje matematyczne i jednostki

Dla wartości opcji na akcję $V$ i ceny instrumentu bazowego $S$ delta jest pierwszą pochodną wartości względem ceny, a gamma — drugą pochodną:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Wyrażenia te opisują gładką krzywą wartości. W terminie wygaśnięcia funkcje wypłaty opcji call i put mają załamanie przy cenie wykonania, w którym nie są określone jednoznaczne nachylenie ani skończona gamma. Wrażliwości sprzed wygaśnięcia nie należy traktować jako zwykłych pochodnych w tym punkcie załamania.

Jeżeli pozostały czas $T$ jest mierzony w latach, dzienna theta przy konwencji raportowania opartej na 365 dniach wynosi:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Znak minus odzwierciedla skracanie pozostałego czasu wraz z upływem czasu kalendarzowego. Konwencję raportowania należy odróżniać od ułamka roku używanego w konkretnym przykładzie wyceny, który może opierać się na innej podstawie.

Gdy roczna zmienność $\sigma$ i stopa procentowa $r$ są wyrażone jako ułamki dziesiętne, podzielenie ich pochodnych przez 100 pozwala podać vegę i rho na punkt procentowy:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

Łączny wpływ niewielkich zmian

Dla zmiany ceny instrumentu bazowego $x$ , upływu $h$ dni kalendarzowych, zmiany IV o $u$ punktów procentowych i zmiany stopy o $w$ punktów procentowych lokalne przybliżenie wynosi:

\text{Zmiana }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

Składnik gammy uwzględnia krzywiznę podczas ruchu instrumentu bazowego. Pozostałe składniki stosują początkowe wrażliwości do określonych zmian. Przybliżenie pomija efekty wyższych rzędów i wzajemne oddziaływania parametrów, dlatego przy znacznych zmianach bardziej wiarygodna jest pełna ponowna wycena.

Korzystając z powyższych zaokrąglonych, przykładowych wrażliwości opcji call, przyjmijmy wzrost instrumentu bazowego o $1 w ciągu jednego dnia przy jednoczesnym spadku IV z 20% do 19%, z niezmienionymi stopami i założeniami dotyczącymi dywidend:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

Szacowany spadek dotyczy jednej akcji; liczba kontraktów i mnożnik kontraktu przeliczają go na całą pozycję. W tym przykładzie upływ czasu i niższa IV z nadwyżką równoważą korzyść ze wzrostu instrumentu bazowego. Obliczenie pokazuje, dlaczego jedna korzystna zmiana parametru nie rozstrzyga o całkowitym ruchu ceny opcji.