Współczynniki greckie opcji

Cena akcji może rosnąć, a nabyta opcja call może tracić na wartości. Wzrost sprzyja opcji call, lecz upływ czasu i spadek zmienności implikowanej (IV) mogą odebrać więcej wartości, niż dodaje ruch akcji. Współczynniki greckie pomagają rozdzielić te efekty, szacując reakcję na każdy parametr przy pozostałych bez zmian. Są to lokalne miary wrażliwości, a nie stałe reguły wyznaczające następną cenę opcji. 1

Załóżmy, że akcja rośnie z $750 do $751 w ciągu jednego dnia kalendarzowego, a IV spada z 20% do 19%, przy niezmienionych stopach procentowych i założeniach dotyczących dywidend. Użyj poniższych zaokrąglonych, przykładowych wrażliwości, podanych na akcję, dla jednego nabytego kontraktu z mnożnikiem 100 akcji.

Zacznij od wzrostu ceny akcji o $1. Przy delcie 0.46 dodaje on około $0.46 na akcję, czyli $46 do wartości nabytego kontraktu, jeżeli pozostałe parametry pozostają bez zmian. Delta mierzy tę lokalną reakcję na cenę instrumentu bazowego.

Reakcja ta nie jest całkiem stała wzdłuż ruchu ceny. Gamma mierzy zmianę delty przy niewielkiej zmianie ceny instrumentu bazowego. Jeżeli przykładowa opcja call ma gammę 0.0075, wzrost o $1 zwiększa jej deltę z około 0.46 do 0.4675. Wrażliwość na kolejny przyrost ceny jest więc większa niż w punkcie początkowym. Korekta gammy uwzględni tę krzywiznę w poniższym oszacowaniu.

Tymczasem do wygaśnięcia opcji call pozostaje o jeden dzień mniej. Jej theta szacuje wpływ upływu czasu, podawany tutaj na dzień kalendarzowy. Theta -$0.26 na akcję oznacza szacowany jednodniowy spadek o $26 dla jednego nabytego kontraktu na 100 akcji, jeżeli cena instrumentu bazowego, zmienność i pozostałe parametry pozostaną bez zmian.

Spadek IV powoduje kolejne zmniejszenie wartości. Vega mierzy reakcję wartości opcji na zmianę zmienności implikowanej o jeden punkt procentowy. Vega $1.04 na akcję oznacza, że wzrost IV z 20% do 21% dodałby około $1.04 na akcję, czyli $104 dla jednego nabytego kontraktu na 100 akcji, przy pozostałych parametrach bez zmian. W naszym przykładzie zmiana zachodzi w przeciwnym kierunku, z 20% do 19%, więc jej szacowany wkład jest ujemny. Są to zmiany w punktach procentowych, a nie proporcjonalne procentowe zmiany IV.

Łączny wpływ niewielkich zmian

Dodanie wpływu ceny akcji, czasu i zmienności, wraz z korektą krzywizny wynikającą z gammy, daje:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

Szacowany spadek wynosi około $0.84 na akcję, czyli $84 dla jednego nabytego kontraktu na 100 akcji. W tym przykładzie upływ czasu i niższa IV z nadwyżką równoważą korzyść ze wzrostu instrumentu bazowego. Wyjaśnia to, jak opcja call może tracić wartość bez niekorzystnego ruchu samej akcji; delta opisuje tylko część zmiany.

Ogólniej: niech $x$ oznacza zmianę ceny instrumentu bazowego w dolarach, $h$ liczbę dni kalendarzowych, które upłynęły, $u$ zmianę IV w punktach procentowych, a $w$ zmianę stopy procentowej w punktach procentowych. Lokalne przybliżenie zmiany wartości na akcję wynosi:

\text{Zmiana }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

Składnik gammy koryguje oszacowanie delty o krzywiznę; rho uwzględnia stopy procentowe, które w tym przykładzie się nie zmieniają. Wyrażenie wykorzystuje początkowe wrażliwości i pomija efekty wyższych rzędów oraz wzajemne oddziaływania parametrów. Jest przybliżeniem, a nie pełną ponowną wyceną czy gwarantowanym wynikiem transakcji. Przy znacznych zmianach, szczególnie gdy kilka parametrów zmienia się jednocześnie, ponownie wyceń opcję przy nowych parametrach zamiast rozciągać początkowe współczynniki greckie na cały ruch.

Dlaczego wrażliwość na cenę akcji się zmienia

Dodatnia delta opcji call wyjaśnia, dlaczego wzrost akcji jej sprzyjał. Nabyte opcje call zwykle mają deltę między zerem a jednością, a nabyte opcje put — między minus jednością a zerem. Opcja put z deltą -0.54 traci około $0.54 na akcję po wzroście instrumentu bazowego o $1 i zyskuje około tej samej kwoty po spadku o $1, przy pozostałych parametrach bez zmian. Opcje głęboko w pieniądzu na ogół reagują bardziej podobnie do instrumentu bazowego, natomiast opcje daleko poza pieniądzem są zwykle mniej wrażliwe na niewielką zmianę ceny.

Nabyte opcje call i put zwykle mają dodatnią gammę. Wraz ze wzrostem instrumentu bazowego delta opcji call rośnie, a ujemna delta opcji put zbliża się do zera. Gdy instrument bazowy spada, delta opcji put staje się bardziej ujemna, zwiększając zysk z dalszego spadku. Gamma opisuje więc krzywiznę zależności wartości opcji od ceny. 2

Krótka opcja odwraca tę ekspozycję. Delta krótkiej pozycji w opcji call staje się bardziej ujemna wraz ze wzrostem instrumentu bazowego, a dodatnia delta krótkiej pozycji w opcji put rośnie wraz ze spadkiem instrumentu bazowego. W obu przypadkach kontynuacja ruchu przeciwko pozycji może wywoływać coraz większą stratę.

Tuż przed wygaśnięciem przejście między opcją o niewielkiej wypłacie a opcją ściśle podążającą za instrumentem bazowym koncentruje się wokół ceny wykonania. Gamma może być w tym obszarze wysoka. Głębiej w pieniądzu lub dalej poza pieniądzem delta jest na ogół stabilniejsza, a gamma niższa. Delta nie jest ani dokładną miarą skutków dużej zmiany ceny, ani dokładnym rzeczywistym prawdopodobieństwem wykonania.

Jak czas i zmienność zmieniają ekspozycję

Ujemna theta z przykładu jest typowa dla nabytych opcji, ponieważ krótszy pozostały okres zmniejsza możliwość wzrostu wartości ich praw wykonania. W pobliżu ceny wykonania tempo utraty wartości czasowej często przyspiesza w miarę zbliżania się wygaśnięcia. Opcje głęboko w pieniądzu lub daleko poza pieniądzem mogą mieć niewielką pozostałą wartość czasową i dlatego zachowywać się inaczej.

Finansowanie może wprowadzać wyjątek od tej typowej zależności. Europejska opcja put nie pozwala otrzymać wpływów po cenie wykonania poprzez wykonanie przed terminem wygaśnięcia. Przy dodatnich stopach procentowych wartość bieżąca tych wpływów rośnie w miarę zbliżania się daty ich otrzymania. Dla opcji put głęboko w pieniądzu, z niewielką pozostałą niepewnością, efekt ten może przewyższyć utratę wartości wynikającej z możliwości wyboru i dać dodatnią thetę. Wynika to ze składnika dyskontującego we wzorze na europejską opcję put, a nie z ogólnej zasady, że nabyte opcje zawsze tracą wartość z upływem czasu. 2

Dodatnia vega z przykładu również jest typowa dla nabytych standardowych opcji call i put. Wyższa zmienność zwiększa wartość potencjalnych korzystnych wyników, nie wymagając wykonania po wyniku niekorzystnym. Vega jest często większa w pobliżu ceny wykonania i przy dłuższym pozostałym czasie. W terminie wygaśnięcia zbliża się do zera, gdy wypłatę określa już końcowa cena instrumentu bazowego. Jej wartość zmienia się także wraz ze zmiennością i moneyness.

Ten kalkulator wykorzystuje pełne dni. Wygaśnięcie dziś oznacza zerowy pozostały czas modelowy i wartość wewnętrzną, a nie prognozę utraty wartości czasowej w ciągu sesji.

Gdzie pojawia się wpływ stóp procentowych

Przykład utrzymuje stopy bez zmian, lecz ich zmiana dodałaby kolejny wkład. Rho mierzy wrażliwość na zmianę stopy procentowej o jeden punkt procentowy. Rho opcji call równe $0.40 na akcję oznacza szacowany wzrost premii o $0.40, gdy stopa rośnie z 4% do 5%, przy pozostałych parametrach bez zmian.

Wyższe stopy obniżają wartość bieżącą płatności po cenie wykonania. Na ogół sprzyja to posiadaczom opcji call, którzy mogą zapłacić cenę wykonania później, i zmniejsza wartość przyszłych wpływów dostępnych posiadaczom opcji put. Rho jest więc zwykle dodatnie dla nabytych opcji call i ujemne dla nabytych opcji put. Efekt ma zwykle większe znaczenie dla kontraktów długoterminowych, ponieważ potencjalna płatność po cenie wykonania jest bardziej oddalona w czasie. 3

Współczynniki greckie pozycji

Te same wrażliwości stosuje się do pozycji po uwzględnieniu jej wielkości i kierunku. Pomnóż współczynnik grecki każdego elementu podany na akcję przez mnożnik kontraktu i liczbę kontraktów z odpowiednim znakiem: dodatnim dla elementu długiego, ujemnym dla krótkiego. Następnie dodaj elementy.

Dwie nabyte opcje call na 100 akcji każda, z deltą 0.46, mają deltę pozycji równą $2\times100\times0.46=92$ . Niewielki wzrost instrumentu bazowego o $1 daje więc szacowany zysk $92 przy pozostałych parametrach bez zmian. Sprzedaż tych dwóch opcji call w celu otwarcia daje natomiast deltę pozycji -92. Krótki element analogicznie odwraca inne wrażliwości odpowiadającej mu długiej opcji.

Współczynnik grecki pozycji wieloelementowej jest sumą przeskalowanych wrażliwości jej elementów z odpowiednimi znakami. Delty niemal równoważące się przy jednej cenie instrumentu bazowego mogą kompensować się słabiej po ruchu, jeżeli elementy mają różne gammy. Analogicznie kompensujące się vegi opisują wspólną zmianę IV; nie eliminują ekspozycji, gdy IV przy różnych cenach wykonania zmieniają się o różne wartości.

Współczynniki greckie pozycji w kalkulatorze już uwzględniają stronę, liczbę kontraktów i mnożnik; nie skaluj ich ponownie. Wykorzystują dzisiejszą datę i pole Cena wejścia, nawet gdy pole Data analizy zmienia wykres ceny akcji.

Definicje matematyczne i jednostki

Dla wartości opcji na akcję $V$ i ceny instrumentu bazowego $S$ delta jest pierwszą pochodną wartości względem ceny, a gamma — drugą pochodną:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Wyrażenia te opisują gładką krzywą wartości. W terminie wygaśnięcia funkcje wypłaty opcji call i put mają załamanie przy cenie wykonania, w którym nie są określone jednoznaczne nachylenie ani skończona gamma. Wrażliwości sprzed wygaśnięcia nie należy traktować jako zwykłych pochodnych w tym punkcie załamania.

Jeżeli pozostały czas $T$ jest mierzony w latach, dzienna theta przy konwencji raportowania opartej na 365 dniach wynosi:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Znak minus odzwierciedla skracanie pozostałego czasu wraz z upływem czasu kalendarzowego. Ten dzielnik służący do raportowania jest odrębny od ułamka roku opartego na 365.25 dniach, używanego w przykładach wyceny tego kalkulatora.

Gdy roczna zmienność $\sigma$ i stopa procentowa $r$ są wyrażone jako ułamki dziesiętne, podzielenie ich pochodnych przez 100 pozwala podać vegę i rho na punkt procentowy:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}