مقاييس حساسية الخيارات

قد يرتفع السهم بينما يفقد خيار شراء اشتريته قيمةً. يفيد الارتفاع خيار الشراء، لكن مرور الوقت وهبوط التقلب الضمني IV قد يزيلان قيمة أكبر مما يضيفه تحرّك السهم. وتساعد مقاييس الحساسية على فصل هذه الآثار بتقدير الاستجابة لكل مدخل مع تثبيت البقية. وهي حساسيات عند القيم الحالية للمدخلات، لا قواعد ثابتة لسعر الخيار التالي. 1

لنفترض ارتفاع السهم من $750 إلى $751 خلال يوم تقويمي واحد، وهبوط التقلب الضمني من 20% إلى 19%، مع بقاء أسعار الفائدة وافتراضات توزيعات الأرباح دون تغيير. استخدم الحساسيات التوضيحية المقرّبة أدناه، المعروضة لكل سهم، لعقد مشترى واحد ذي مضاعف قدره 100 سهم.

ابدأ بارتفاع السهم البالغ $1. عند دلتا قدرها 0.46، يضيف هذا الارتفاع نحو $0.46 لكل سهم، أو $46 إلى العقد المشترى، إذا بقيت المدخلات الأخرى ثابتة. وتقيس دلتا هذه الاستجابة المحلية لسعر الأصل الأساسي.

لا تبقى هذه الاستجابة ثابتة تمامًا خلال التحرك. تقيس غاما تغيّر دلتا مع سعر السهم. فإذا كانت غاما 0.0075، فإن ارتفاعًا قدره $1 يزيد دلتا خيار الشراء من نحو 0.46 إلى 0.4675. ومن ثم تصبح حساسيته للدولار التالي من التحرك أكبر قليلًا منها عند البداية. وسيحتسب تعديل غاما هذا التقوّس في التقدير أدناه.

في الوقت نفسه، نقصت المدة المتبقية لخيار الشراء يومًا. وتقيس ثيتا أثر مرور الوقت، وتُعرض هنا لكل يوم تقويمي. وتسهم ثيتا قدرها -$0.26 لكل سهم بانخفاض تقديري خلال يوم واحد قدره $26 للعقد المشترى الذي يغطي 100 سهم، إذا بقي سعر السهم والتقلب وبقية المدخلات ثابتة.

يضيف هبوط التقلب الضمني انخفاضًا آخر. تقيس فيغا الحساسية لتغيّره بمقدار نقطة مئوية واحدة. فعند فيغا قدرها $1.04 لكل سهم، تضيف الزيادة من 20% إلى 21% نحو $1.04 لكل سهم، أو $104 للعقد المشترى، مع ثبات بقية العوامل. ويسير مثالنا في الاتجاه المعاكس، من 20% إلى 19%، فتكون المساهمة التقديرية سالبة. وهذه تغيّرات بالنقاط المئوية، لا نسب تغيّر تناسبية في التقلب الضمني.

الجمع بين التغيرات الصغيرة

يعطي جمع آثار سعر السهم والوقت والتقلب، مع تعديل غاما لاحتساب التقوّس:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

يبلغ الانخفاض المقدّر نحو $0.84 لكل سهم، أو $84 لعقد مشترى واحد يغطي 100 سهم. فقد فاق أثرُ مرور الوقت وانخفاض التقلب الضمني منفعةَ ارتفاع السهم. وهذا يفسّر كيف يمكن لخيار الشراء أن يفقد قيمة دون تحرّك السهم ضده؛ إذ لا تصف دلتا وحدها إلا جزءًا من التغيّر.

وبصورة أعم، ليكن $x$ تغيّر سعر الأصل الأساسي بالدولار، و $h$ عدد الأيام التقويمية المنقضية، و $u$ تغيّر التقلب الضمني بالنقاط المئوية، و $w$ تغيّر معدل الفائدة بالنقاط المئوية. يكون التقدير المحلي لتغيّر القيمة لكل سهم:

\text{التغير في }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{فيغا}\,u+\rho w

يعدّل حد غاما تقديرَ دلتا لاحتساب التقوّس؛ ويحتسب رو أسعار الفائدة التي لم تتغيّر في هذا المثال. وتستخدم العبارة الحساسيات الأولية، وتستبعد الآثار الأعلى رتبة والتفاعلات بين المدخلات. فهي تقريب، لا إعادة تسعير كاملة ولا نتيجة تداول مضمونة. وعند التغيّرات الكبيرة، ولا سيما حين تتحرك عدة مدخلات معًا، أعد تسعير الخيار عند المدخلات الجديدة بدلًا من تطبيق مقاييس الحساسية الأولية على كامل التحرك.

لماذا تتغيّر الحساسية لسعر السهم؟

تفسّر دلتا خيار الشراء الموجبة استفادته من ارتفاع السهم. وتكون دلتا خيارات الشراء المشتراة عادةً بين الصفر والواحد، بينما تكون دلتا خيارات البيع المشتراة بين سالب واحد والصفر. فخيار بيع ذو دلتا -0.54 يفقد نحو $0.54 لكل سهم بعد ارتفاع الأصل الأساسي بمقدار $1، ويكسب نحو ذلك المبلغ بعد انخفاضه بمقدار $1، مع ثبات المدخلات الأخرى. وتستجيب الخيارات العميقة داخل نطاق النقد عمومًا على نحو أقرب إلى الأصل الأساسي، بينما تكون الخيارات البعيدة خارج نطاق النقد أقل استجابة عادةً لتغيّر سعري صغير.

تكون غاما خيارات الشراء والبيع المشتراة موجبة عادةً. ومع ارتفاع الأصل الأساسي، ترتفع دلتا خيار الشراء وتتحرّك دلتا خيار البيع السالبة نحو الصفر. ومع انخفاض الأصل، تصبح دلتا خيار البيع أكثر سلبية، فتزداد مكاسبه من أي هبوط إضافي. وبذلك تصف غاما تقوّس العلاقة بين قيمة الخيار وسعر الأصل. 2

يعكس الخيار المباع هذا التعرّض. فدلتا مركز خيار الشراء المباع تصبح أكثر سلبية مع ارتفاع الأصل الأساسي، وتزداد دلتا مركز خيار البيع المباع الموجبة مع انخفاضه. وفي الحالتين، قد يؤدي استمرار التحرك ضد المركز إلى خسارة أكبر.

قرب الانتهاء، يتركّز الانتقال بين خيار ذي عائد ضئيل وخيار يتبع الأصل الأساسي عن كثب حول سعر التنفيذ. وقد تكون غاما مرتفعة في هذه المنطقة، حيث يغيّر تحرك صغير في السهم حساسيةَ الخيار بحدة. أما في المناطق الأبعد داخل نطاق النقد أو خارجه، فتكون دلتا عمومًا أكثر استقرارًا وغاما أقل. ودلتا ليست دليلًا دقيقًا لتحرّك سعري كبير، ولا احتمالًا دقيقًا للممارسة في الواقع.

كيف يغيّر الوقت والتقلب التعرّض؟

ثيتا السالبة في المثال شائعة في الخيارات المشتراة، لأن قِصَر المدة المتبقية يقلّص فرصة نشوء عائد مواتٍ. وقرب سعر التنفيذ، يتسارع معدل تآكل القيمة الزمنية غالبًا مع اقتراب الانتهاء. أما الخيارات العميقة داخل نطاق النقد أو البعيدة خارجه فقد تتبع نمطًا مختلفًا.

ليست ثيتا سالبة في جميع الحالات. فلا يمكن لخيار بيع أوروبي النمط تحصيل حصيلة سعر التنفيذ عبر الممارسة قبل الانتهاء. وعند أسعار فائدة موجبة، ترتفع القيمة الحالية لهذه الحصيلة مع اقتراب موعد قبضها. وفي خيار بيع عميق داخل نطاق النقد ذي عدم يقين متبقٍّ ضئيل، قد يفوق أثر التمويل هذا فقدانَ حرية الاختيار وينتج ثيتا موجبة. ويأتي ذلك من حد الخصم في صيغة خيار البيع الأوروبي، لا من قاعدة عامة تقول إن الخيارات المشتراة تفقد قيمتها دائمًا بمرور الوقت. 2

فيغا الموجبة في المثال شائعة كذلك في خيارات الشراء والبيع القياسية المشتراة. فالتقلب الأعلى يزيد إمكانية عائد أكبر دون إلزام الحامل بالممارسة بعد تحرّك غير مواتٍ. وغالبًا ما تكون فيغا أكبر قرب سعر التنفيذ ومع بقاء وقت أطول. وتتغيّر مع التقلب ووضع الخيار بالنسبة إلى سعر التنفيذ، وتقترب من الصفر عند الانتهاء، حين يحدد سعر السهم العائد.

تستخدم هذه الحاسبة أيامًا كاملة. والانتهاء اليوم يعني وقتًا متبقيًا صفريًا في النموذج وقيمة جوهرية، لا توقعًا لتآكل القيمة خلال اليوم.

أين تدخل أسعار الفائدة؟

يثبّت المثال أسعار الفائدة، لكن تغيّرها يضيف مساهمة أخرى. تقيس رو الحساسية لتغيّر معدل الفائدة بمقدار نقطة مئوية واحدة. وتشير رو لخيار شراء بقيمة $0.40 لكل سهم إلى زيادة تقديرية في العلاوة قدرها $0.40 عندما يرتفع المعدل من 4% إلى 5%، مع تثبيت المدخلات الأخرى.

تخفض أسعار الفائدة الأعلى القيمةَ الحالية للمبلغ المدفوع بسعر التنفيذ. ويفيد ذلك عمومًا حاملي خيارات الشراء الذين قد يدفعون سعر التنفيذ لاحقًا، ويقلّص قيمة الحصيلة المستقبلية المتاحة لحاملي خيارات البيع. ولذلك تكون رو عادةً موجبة لخيارات الشراء المشتراة وسالبة لخيارات البيع المشتراة. ويميل الأثر إلى أن يكون أهم في العقود الأطول أجلًا، لأن الدفع المحتمل بسعر التنفيذ أبعد في المستقبل. 3

مقاييس حساسية المركز

تنطبق الحساسيات نفسها على المركز بعد احتساب حجمه واتجاهه. اضرب مقياس الحساسية لكل سهم في كل ساق في مضاعف عقدها وكميتها ذات الإشارة: موجبة للساق المشتراة وسالبة للساق المباعة. ثم اجمع الأرجل.

لخياري شراء مشتريين يغطي كل منهما 100 سهم ودلتا كل منهما 0.46، تبلغ دلتا المركز $2\times100\times0.46=92$ . ولذلك ينتج عن ارتفاع صغير في السهم قدره $1 مكسب تقديري قدره $92، مع تثبيت المدخلات الأخرى. أما بيع هذين الخيارين للفتح فيعطي دلتا مركز قدرها -92. وتعكس الساق المباعة كذلك الحساسيات الأخرى للخيار المشترى المقابل.

لا تبقى مقاييس الحساسية المتقابلة متوازنة بالضرورة. وقد تفقد الأرجل ذات غاما المختلفة توازنَ دلتا بعد تحرّك السهم. وبالمثل، تصف قيم فيغا المتقابلة تغيّرًا مشتركًا في التقلب الضمني؛ ولا توفر حماية من تغيّرات مختلفة للتقلب عند أسعار تنفيذ مختلفة.

تشمل مقاييس حساسية المركز في الحاسبة جانب الشراء أو البيع والكمية والمضاعف بالفعل؛ فلا تضربها فيها مجددًا. وهي تستخدم تاريخ اليوم وسعر الدخول، حتى عندما يغيّر تاريخ التحليل الرسم البياني لسعر السهم.

التعريفات الرياضية ووحدات القياس

إذا كانت قيمة الخيار لكل سهم $V$ وسعر الأصل الأساسي $S$ ، فإن دلتا هي المشتقة الأولى للقيمة بالنسبة إلى السعر، وغاما هي المشتقة الثانية:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

تصف هذه العبارات منحنى قيمة أملس. وعند الانتهاء، يكون لعائدي خياري الشراء والبيع زاوية عند سعر التنفيذ، حيث لا يُعرَّف ميل وحيد ولا غاما متناهية. ولا ينبغي معاملة الحساسيات السابقة للانتهاء كمشتقات عادية عند هذه الزاوية.

إذا قيس الوقت المتبقي $T$ بالسنوات، فإن ثيتا اليومية وفق قاعدة عرض تعتمد 365 يومًا تكون:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

تعكس إشارة السالب تناقصَ الوقت المتبقي مع مرور يوم. ويختلف مقام العرض هذا عن الكسر السنوي القائم على 365.25 يومًا والمستخدم في أمثلة التسعير بهذه الحاسبة.

عندما يُعبَّر عن التقلب السنوي $\sigma$ ومعدل الفائدة $r$ بصيغ عشرية، فإن قسمة مشتقاتهما على 100 تعرض فيغا ورو لكل نقطة مئوية:

\text{فيغا}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}