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ऑप्शन ग्रीक्स

ग्रीक्स मूल्यांकन इनपुट में बदलावों के प्रति ऑप्शन के मॉडल-आधारित मूल्य की संवेदनशीलता मापते हैं। हर ग्रीक अन्य कारकों को स्थिर रखते हुए बदलाव के एक स्रोत को अलग करता है, जैसे अंडरलाइंग की चाल, बीता समय या अस्थिरता में परिवर्तन। ये निश्चित विशेषताएँ नहीं, बल्कि बदलाव की स्थानीय दरें हैं: इनपुट बदलने पर संवेदनशीलताएँ भी सामान्यतः बदलती हैं।

पोज़िशन पर किसी ग्रीक को लागू करते समय इकाइयाँ महत्वपूर्ण हैं। प्रति शेयर कोट की गई संवेदनशीलता को कॉन्ट्रैक्ट आकार और मात्रा से गुणा करने पर पोज़िशन पर डॉलर में प्रभाव मिलता है। शॉर्ट पोज़िशन संबंधित लॉन्ग ऑप्शन की संवेदनशीलता का चिह्न उलट देती है।

डेल्टा

डेल्टा अंडरलाइंग मूल्य में छोटे बदलाव के प्रति ऑप्शन मूल्य की प्रतिक्रिया मापता है। $750 पर कारोबार कर रहे शेयरों के किसी कॉल का डेल्टा 0.46 हो तो, अन्य इनपुट अपरिवर्तित रहने पर, शेयर मूल्य $751 होने से कॉल का मूल्य लगभग $0.46 प्रति शेयर बढ़ता है। इसलिए 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट को लगभग $46 का लाभ होता है।

खरीदे गए कॉल का डेल्टा सामान्यतः शून्य और एक के बीच, जबकि खरीदे गए पुट का ऋणात्मक एक और शून्य के बीच होता है। -0.54 डेल्टा वाला पुट अंडरलाइंग में $1 की बढ़त पर लगभग $0.54 प्रति शेयर खोता है और $1 की गिरावट पर लगभग उतनी राशि पाता है। गहरे इन द मनी ऑप्शन सामान्यतः अंडरलाइंग की तरह अधिक प्रतिक्रिया देते हैं, जबकि काफ़ी आउट ऑफ़ द मनी ऑप्शन छोटे मूल्य बदलाव के प्रति प्रायः कम संवेदनशील होते हैं।

डेल्टा स्थानीय मूल्य संवेदनशीलता है। अंडरलाइंग की बड़ी चाल का सटीक पूर्वानुमान मानकर उसका उपयोग करने से यह तथ्य छूट जाता है कि मूल्य-पथ के साथ ऑप्शन की प्रतिक्रिया बदलती रहती है।

गामा

गामा अंडरलाइंग में छोटे बदलाव से डेल्टा में होने वाला परिवर्तन मापता है। उदाहरण वाले कॉल का गामा 0.0075 हो तो $1 की बढ़त उसका डेल्टा लगभग 0.46 से 0.4675 कर देती है। इसलिए मूल्य की अगली वृद्धि के प्रति उसकी संवेदनशीलता शुरुआती बिंदु से अधिक हो जाती है।

खरीदे गए कॉल और पुट का गामा सामान्यतः धनात्मक होता है। अंडरलाइंग बढ़ने पर कॉल का डेल्टा बढ़ता है और पुट का ऋणात्मक डेल्टा शून्य की ओर जाता है। अंडरलाइंग गिरने पर पुट का डेल्टा अधिक ऋणात्मक होता है, जिससे आगे की गिरावट से उसका लाभ बढ़ता है। इस तरह गामा ऑप्शन-मूल्य संबंध की वक्रता बताता है।

शॉर्ट ऑप्शन में यह संवेदनशीलता उलट जाती है। अंडरलाइंग बढ़ने पर शॉर्ट कॉल का पोज़िशन डेल्टा अधिक ऋणात्मक होता है, और अंडरलाइंग गिरने पर शॉर्ट पुट का धनात्मक पोज़िशन डेल्टा बढ़ता है। दोनों स्थितियों में पोज़िशन के विरुद्ध जारी चाल से प्रतिक्रिया क्रमशः बड़ी हो सकती है।

एक्सपायरी के पास, बहुत कम पेऑफ़ वाले ऑप्शन से अंडरलाइंग का निकटता से अनुसरण करने वाले ऑप्शन तक का संक्रमण स्ट्राइक के आसपास केंद्रित हो जाता है। उस क्षेत्र में गामा ऊँचा हो सकता है। अधिक इन द मनी या आउट ऑफ़ द मनी होने पर डेल्टा सामान्यतः अधिक स्थिर और गामा कम होता है।

थीटा

थीटा बीते समय का प्रभाव मापता है और सामान्यतः प्रति कैलेंडर दिन बताया जाता है। -$0.26 प्रति शेयर थीटा, अंडरलाइंग, अस्थिरता और अन्य इनपुट अपरिवर्तित रहने पर, 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट में एक दिन में लगभग $26 की कमी का अनुमान देता है।

खरीदे गए ऑप्शन का थीटा प्रायः ऋणात्मक होता है, क्योंकि कम शेष अवधि उनके एक्सरसाइज़ अधिकारों के अधिक मूल्यवान होने का अवसर घटाती है। ऐट द मनी के पास समय क्षय की दर अक्सर एक्सपायरी की ओर तेज़ होती है। गहरे इन द मनी या आउट ऑफ़ द मनी ऑप्शन में कम समय मूल्य बचा हो सकता है, इसलिए उनका पैटर्न अलग हो सकता है।

वित्तपोषण इस सामान्य संबंध में अपवाद ला सकता है। यूरोपीय पुट एक्सपायरी से पहले एक्सरसाइज़ करके स्ट्राइक की राशि प्राप्त नहीं कर सकता। धनात्मक ब्याज दरों पर प्राप्ति की तारीख पास आने से उस राशि का वर्तमान मूल्य बढ़ता है। बहुत कम शेष अनिश्चितता वाले गहरे इन द मनी पुट में यह प्रभाव विकल्प बनाए रखने के मूल्य में कमी से अधिक होकर धनात्मक थीटा पैदा कर सकता है। यह यूरोपीय पुट सूत्र के बट्टाकरण वाले पद से आता है, न कि इस सामान्य नियम से कि खरीदे गए ऑप्शन हमेशा समय के साथ मूल्य खोते हैं।

वेगा

वेगा निहित अस्थिरता में एक प्रतिशत-अंक के बदलाव, जैसे 20% से 21% की वृद्धि, के प्रति ऑप्शन मूल्य की प्रतिक्रिया मापता है। $1.04 प्रति शेयर वेगा, अन्य इनपुट अपरिवर्तित रहने पर, उस बदलाव के लिए प्रीमियम में $1.04 की वृद्धि का अनुमान देता है, अर्थात 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट पर $104।

खरीदे गए मानक कॉल और पुट का वेगा सामान्यतः धनात्मक होता है। ऊँची अस्थिरता संभावित अनुकूल परिणामों का मूल्य बढ़ाती है, जबकि प्रतिकूल परिणाम के बाद एक्सरसाइज़ आवश्यक नहीं बनाती। वेगा अक्सर ऐट द मनी के पास और अधिक समय शेष होने पर बड़ा होता है। एक्सपायरी पर अंतिम अंडरलाइंग मूल्य से पेऑफ़ तय होने लगता है, तो वेगा शून्य की ओर जाता है। अस्थिरता और मनीनेस बदलने पर भी उसका मान बदलता है।

रो

रो ब्याज दर में एक प्रतिशत-अंक के बदलाव के प्रति संवेदनशीलता मापता है। कॉल का रो $0.40 प्रति शेयर हो तो, अन्य इनपुट स्थिर रखने पर, दर 4% से 5% होने से प्रीमियम में $0.40 की वृद्धि का अनुमान मिलता है।

ऊँची दरें स्ट्राइक भुगतान का वर्तमान मूल्य घटाती हैं। इससे सामान्यतः उन कॉल धारकों को लाभ होता है जो स्ट्राइक बाद में चुका सकते हैं, और पुट धारकों को भविष्य में मिल सकने वाली राशि का मूल्य घटता है। इसलिए खरीदे गए कॉल का रो प्रायः धनात्मक और खरीदे गए पुट का ऋणात्मक होता है। लंबी अवधि वाले कॉन्ट्रैक्ट में यह प्रभाव अधिक महत्वपूर्ण होता है, क्योंकि संभावित स्ट्राइक भुगतान भविष्य में अधिक दूर है।

पोज़िशन के ग्रीक्स

पोज़िशन की संवेदनशीलता में ऑप्शन के कोट किए गए ग्रीक के साथ गुणक, मात्रा और लॉन्ग या शॉर्ट चिह्न जोड़ा जाता है। 100 शेयरों वाले दो खरीदे गए कॉल का प्रत्येक डेल्टा 0.46 हो तो पोज़िशन डेल्टा 92 है। इसलिए अंडरलाइंग में छोटी $1 की बढ़त से अनुमानित $92 का लाभ होता है। इसके बजाय वे कॉल बेचकर पोज़िशन खोलने पर डेल्टा -92 होता है, क्योंकि बढ़त शॉर्ट दायित्व बढ़ाती है।

मल्टी-लेग पोज़िशन का ग्रीक उसके लेग की, चिह्न और आकार के अनुसार समायोजित, संवेदनशीलताओं का योग है। एक अंडरलाइंग मूल्य पर लगभग संतुलित डेल्टा, लेग के गामा अलग होने पर, मूल्य चाल के बाद कम संतुलित हो सकते हैं। इसी तरह एक-दूसरे को संतुलित करने वाले वेगा IV के समान बदलाव को दर्शाते हैं; अलग स्ट्राइक के IV अलग मात्रा में बदलें तो वे जोखिम समाप्त नहीं करते।

गणितीय परिभाषाएँ और इकाइयाँ

प्रति शेयर ऑप्शन मूल्य VV और अंडरलाइंग मूल्य SS के लिए, डेल्टा मूल्य के सापेक्ष ऑप्शन मूल्य का प्रथम अवकलज और गामा द्वितीय अवकलज है:

Δ=∂V∂S,Γ=∂2V∂S2\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

ये व्यंजक एक चिकने मूल्य वक्र का वर्णन करते हैं। एक्सपायरी पर कॉल और पुट के पेऑफ़ में स्ट्राइक पर एक कोण बनता है, जहाँ अद्वितीय ढाल और सीमित गामा परिभाषित नहीं होते। एक्सपायरी-पूर्व संवेदनशीलताओं को उस कोण पर सामान्य अवकलज नहीं मानना चाहिए।

शेष समय TT वर्षों में मापा जाए तो 365-दिन की रिपोर्टिंग पद्धति के अंतर्गत दैनिक थीटा है:

Θ=−1365∂V∂T\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

ऋण चिह्न कैलेंडर समय बीतने पर शेष समय में कमी दर्शाता है। रिपोर्टिंग पद्धति को किसी विशेष मूल्यांकन उदाहरण में प्रयुक्त वर्ष-अंश से अलग समझना चाहिए, जिसमें अलग आधार उपयोग हो सकता है।

वार्षिक अस्थिरता σ\sigma और ब्याज दर rr दशमलव में व्यक्त हों तो उनके अवकलजों को 100 से भाग देने पर वेगा और रो प्रति प्रतिशत-अंक मिलते हैं:

वेगा=1100∂V∂σ,ρ=1100∂V∂r\text{वेगा}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

छोटे बदलावों का संयुक्त प्रभाव

अंडरलाइंग मूल्य में बदलाव xx, बीते कैलेंडर दिन hh, IV में uu प्रतिशत-अंक का बदलाव और दर में ww प्रतिशत-अंक का बदलाव हो तो स्थानीय सन्निकटन है:

V में बदलाव≈Δx+12Γx2+Θh+वेगा u+ρwV\text{ में बदलाव}\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{वेगा}\,u+\rho w

गामा वाला पद अंडरलाइंग की चाल के दौरान वक्रता के लिए समायोजन करता है। शेष पद निर्दिष्ट बदलावों पर शुरुआती संवेदनशीलताएँ लागू करते हैं। इस सन्निकटन में उच्च-क्रम के प्रभाव और इनपुट के पारस्परिक प्रभाव शामिल नहीं हैं, इसलिए बड़े बदलावों के लिए पूर्ण पुनर्मूल्यांकन अधिक विश्वसनीय है।

ऊपर दिए गए कॉल के उदाहरणात्मक संवेदनशीलता मानों को, जो राउंड किए गए हैं, उपयोग करते हुए मान लें कि एक दिन में अंडरलाइंग $1 बढ़ता है और IV 20% से 19% गिरता है, जबकि दरों और लाभांश की धारणाएँ अपरिवर्तित हैं:

0.46+12(0.0075)(1)2−0.26−1.04≈−$0.840.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

अनुमानित कमी प्रति शेयर है; मात्रा और कॉन्ट्रैक्ट गुणक उसे पूरी पोज़िशन के आकार में बदलते हैं। इस उदाहरण में समय बीतने और कम IV का प्रभाव अंडरलाइंग की बढ़त के लाभ से अधिक है। गणना बताती है कि एक इनपुट का अनुकूल बदलाव ऑप्शन की कुल मूल्य चाल क्यों निर्धारित नहीं करता।

कुकी प्राथमिकताएँ