ऑप्शन ग्रीक्स

शेयर बढ़ सकता है, फिर भी आपका खरीदा गया कॉल मूल्य खो सकता है। बढ़त कॉल को लाभ देती है, लेकिन बीता समय और गिरती निहित अस्थिरता (IV) शेयर की चाल से जुड़े लाभ से अधिक मूल्य घटा सकते हैं। ग्रीक्स मूल्यांकन इनपुट में बदलावों के प्रति ऑप्शन के मॉडल-आधारित मूल्य की संवेदनशीलता मापते हैं। हर ग्रीक अन्य कारकों को स्थिर रखते हुए बदलाव के एक स्रोत को अलग करता है, जैसे अंडरलाइंग की चाल, बीता समय या अस्थिरता में परिवर्तन। ये निश्चित विशेषताएँ नहीं, बल्कि बदलाव की स्थानीय दरें हैं: इनपुट बदलने पर संवेदनशीलताएँ भी सामान्यतः बदलती हैं। 1

मान लें कि एक कैलेंडर दिन में शेयर $750 से $751 बढ़ता है और IV 20% से 19% गिरता है, जबकि ब्याज दरों और लाभांश की धारणाएँ अपरिवर्तित हैं। 100 शेयरों के गुणक वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट के लिए नीचे प्रति शेयर दिए गए, राउंड किए हुए उदाहरणात्मक संवेदनशीलता मान उपयोग करें।

पहले शेयर की $1 बढ़त लें। डेल्टा अंडरलाइंग मूल्य में छोटे बदलाव के प्रति ऑप्शन मूल्य की प्रतिक्रिया मापता है। कॉल का डेल्टा 0.46 हो तो, अन्य इनपुट अपरिवर्तित रहने पर, शेयर मूल्य $750 से $751 होने से कॉल का मूल्य लगभग $0.46 प्रति शेयर बढ़ता है। इसलिए 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट को लगभग $46 का लाभ होता है।

पूरी चाल में वह प्रतिक्रिया बिल्कुल स्थिर नहीं रहती। गामा अंडरलाइंग में छोटे बदलाव से डेल्टा में होने वाला परिवर्तन मापता है। उदाहरण वाले कॉल का गामा 0.0075 हो तो $1 की बढ़त उसका डेल्टा लगभग 0.46 से 0.4675 कर देती है। इसलिए मूल्य की अगली वृद्धि के प्रति उसकी संवेदनशीलता शुरुआती बिंदु से अधिक हो जाती है। नीचे के अनुमान में गामा का समायोजन इस वक्रता को शामिल करेगा।

इस बीच कॉल की शेष अवधि एक दिन कम हो गई है। थीटा बीते समय का प्रभाव मापता है और यहाँ प्रति कैलेंडर दिन बताया गया है। -$0.26 प्रति शेयर थीटा, अंडरलाइंग, अस्थिरता और अन्य इनपुट अपरिवर्तित रहने पर, 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट में एक दिन में लगभग $26 की कमी का अनुमान देता है।

IV की गिरावट एक और कमी लाती है। वेगा निहित अस्थिरता में एक प्रतिशत-अंक के बदलाव, जैसे 20% से 21% की वृद्धि, के प्रति ऑप्शन मूल्य की प्रतिक्रिया मापता है। $1.04 प्रति शेयर वेगा, अन्य इनपुट अपरिवर्तित रहने पर, उस बदलाव के लिए प्रीमियम में $1.04 की वृद्धि का अनुमान देता है, अर्थात 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट पर $104। हमारे उदाहरण में बदलाव उलटी दिशा में, 20% से 19%, है, इसलिए अनुमानित योगदान ऋणात्मक है। ये प्रतिशत-अंक के बदलाव हैं, IV में आनुपातिक प्रतिशत बदलाव नहीं।

छोटे बदलावों का संयुक्त प्रभाव

शेयर मूल्य, समय और अस्थिरता के प्रभावों को, गामा के वक्रता समायोजन सहित, जोड़ने पर मिलता है:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

अनुमानित कमी लगभग $0.84 प्रति शेयर, अर्थात 100 शेयरों वाले एक खरीदे गए कॉन्ट्रैक्ट पर $84 है। समय बीतने और कम IV का प्रभाव अंडरलाइंग की बढ़त के लाभ से अधिक है। इससे समझ आता है कि शेयर विपरीत दिशा में न चलने पर भी कॉल मूल्य क्यों खो सकता है; डेल्टा अकेले बदलाव का केवल एक हिस्सा बताता है।

अधिक सामान्य रूप में, अंडरलाइंग मूल्य में डॉलर बदलाव $x$ , बीते कैलेंडर दिन $h$ , IV में $u$ प्रतिशत-अंक का बदलाव और ब्याज दर में $w$ प्रतिशत-अंक का बदलाव हो तो प्रति शेयर मूल्य के बदलाव का स्थानीय सन्निकटन है:

V\text{ में बदलाव}\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{वेगा}\,u+\rho w

गामा वाला पद अंडरलाइंग की चाल के दौरान वक्रता के लिए डेल्टा के अनुमान को समायोजित करता है; रो ब्याज दरों का प्रभाव शामिल करता है, जो इस उदाहरण में अपरिवर्तित हैं। शेष पद निर्दिष्ट बदलावों पर शुरुआती संवेदनशीलताएँ लागू करते हैं। इस सन्निकटन में उच्च-क्रम के प्रभाव और इनपुट के पारस्परिक प्रभाव शामिल नहीं हैं। यह अनुमान है, पूर्ण पुनर्मूल्यांकन या कारोबारी परिणाम की गारंटी नहीं। बड़े बदलावों के लिए, खासकर कई इनपुट साथ बदलें तो, शुरुआती ग्रीक्स को पूरी चाल पर लागू करने के बजाय नए इनपुट पर ऑप्शन का पुनर्मूल्यांकन करें।

शेयर-मूल्य संवेदनशीलता क्यों बदलती है

कॉल का धनात्मक डेल्टा बताता है कि शेयर की बढ़त ने उसे लाभ क्यों दिया। खरीदे गए कॉल का डेल्टा सामान्यतः शून्य और एक के बीच, जबकि खरीदे गए पुट का ऋणात्मक एक और शून्य के बीच होता है। -0.54 डेल्टा वाला पुट अंडरलाइंग में $1 की बढ़त पर लगभग $0.54 प्रति शेयर खोता है और $1 की गिरावट पर लगभग उतनी राशि पाता है, जब अन्य इनपुट स्थिर हों। गहरे इन द मनी ऑप्शन सामान्यतः अंडरलाइंग की तरह अधिक प्रतिक्रिया देते हैं, जबकि काफ़ी आउट ऑफ़ द मनी ऑप्शन छोटे मूल्य बदलाव के प्रति प्रायः कम संवेदनशील होते हैं।

खरीदे गए कॉल और पुट का गामा सामान्यतः धनात्मक होता है। अंडरलाइंग बढ़ने पर कॉल का डेल्टा बढ़ता है और पुट का ऋणात्मक डेल्टा शून्य की ओर जाता है। अंडरलाइंग गिरने पर पुट का डेल्टा अधिक ऋणात्मक होता है, जिससे आगे की गिरावट से उसका लाभ बढ़ता है। इस तरह गामा ऑप्शन-मूल्य संबंध की वक्रता बताता है। 2

शॉर्ट ऑप्शन में यह संवेदनशीलता उलट जाती है। अंडरलाइंग बढ़ने पर शॉर्ट कॉल का पोज़िशन डेल्टा अधिक ऋणात्मक होता है, और अंडरलाइंग गिरने पर शॉर्ट पुट का धनात्मक पोज़िशन डेल्टा बढ़ता है। दोनों स्थितियों में पोज़िशन के विरुद्ध जारी चाल से हानि क्रमशः बड़ी हो सकती है।

एक्सपायरी के पास, बहुत कम पेऑफ़ वाले ऑप्शन से अंडरलाइंग का निकटता से अनुसरण करने वाले ऑप्शन तक का संक्रमण स्ट्राइक के आसपास केंद्रित हो जाता है। उस क्षेत्र में गामा ऊँचा हो सकता है। अधिक इन द मनी या आउट ऑफ़ द मनी होने पर डेल्टा सामान्यतः अधिक स्थिर और गामा कम होता है। डेल्टा न बड़ी मूल्य चाल का सटीक माप है और न वास्तविक दुनिया में एक्सरसाइज़ की सटीक संभावना।

समय और अस्थिरता संवेदनशीलता को कैसे बदलते हैं

उदाहरण का ऋणात्मक थीटा खरीदे गए ऑप्शन में आम है, क्योंकि कम शेष अवधि उनके एक्सरसाइज़ अधिकारों के अधिक मूल्यवान होने का अवसर घटाती है। ऐट द मनी के पास समय क्षय की दर अक्सर एक्सपायरी की ओर तेज़ होती है। गहरे इन द मनी या आउट ऑफ़ द मनी ऑप्शन में कम समय मूल्य बचा हो सकता है, इसलिए उनका पैटर्न अलग हो सकता है।

वित्तपोषण इस सामान्य संबंध में अपवाद ला सकता है। यूरोपीय पुट एक्सपायरी से पहले एक्सरसाइज़ करके स्ट्राइक की राशि प्राप्त नहीं कर सकता। धनात्मक ब्याज दरों पर प्राप्ति की तारीख पास आने से उस राशि का वर्तमान मूल्य बढ़ता है। बहुत कम शेष अनिश्चितता वाले गहरे इन द मनी पुट में यह प्रभाव विकल्प बनाए रखने के मूल्य में कमी से अधिक होकर धनात्मक थीटा पैदा कर सकता है। यह यूरोपीय पुट सूत्र के बट्टाकरण वाले पद से आता है, न कि इस सामान्य नियम से कि खरीदे गए ऑप्शन हमेशा समय के साथ मूल्य खोते हैं। 2

उदाहरण का धनात्मक वेगा भी खरीदे गए मानक कॉल और पुट में सामान्य है। ऊँची अस्थिरता संभावित अनुकूल परिणामों का मूल्य बढ़ाती है, जबकि प्रतिकूल परिणाम के बाद एक्सरसाइज़ आवश्यक नहीं बनाती। वेगा अक्सर ऐट द मनी के पास और अधिक समय शेष होने पर बड़ा होता है। एक्सपायरी पर अंतिम अंडरलाइंग मूल्य से पेऑफ़ तय होने लगता है, तो वेगा शून्य की ओर जाता है। अस्थिरता और मनीनेस बदलने पर भी उसका मान बदलता है।

यह कैलकुलेटर पूरे दिन उपयोग करता है। आज की एक्सपायरी का अर्थ मॉडल में शेष समय शून्य और मूल्य आंतरिक मूल्य के बराबर होना है, दिन के भीतर के समय क्षय का पूर्वानुमान नहीं।

ब्याज दरों का प्रभाव कहाँ जुड़ता है

गणना वाले उदाहरण में दरें स्थिर हैं, लेकिन दर बदलने पर एक और योगदान जुड़ता। रो ब्याज दर में एक प्रतिशत-अंक के बदलाव के प्रति संवेदनशीलता मापता है। कॉल का रो $0.40 प्रति शेयर हो तो, अन्य इनपुट स्थिर रखने पर, दर 4% से 5% होने से प्रीमियम में लगभग $0.40 की वृद्धि का अनुमान मिलता है।

ऊँची दरें स्ट्राइक भुगतान का वर्तमान मूल्य घटाती हैं। इससे सामान्यतः उन कॉल धारकों को लाभ होता है जो स्ट्राइक बाद में चुका सकते हैं, और पुट धारकों को भविष्य में मिल सकने वाली राशि का मूल्य घटता है। इसलिए खरीदे गए कॉल का रो प्रायः धनात्मक और खरीदे गए पुट का ऋणात्मक होता है। लंबी अवधि वाले कॉन्ट्रैक्ट में यह प्रभाव अधिक महत्वपूर्ण होता है, क्योंकि संभावित स्ट्राइक भुगतान भविष्य में अधिक दूर है। 3

पोज़िशन के ग्रीक्स

पोज़िशन की संवेदनशीलता में ऑप्शन के प्रति शेयर कोट किए गए ग्रीक के साथ गुणक, मात्रा और लॉन्ग या शॉर्ट चिह्न जोड़ा जाता है। हर लेग के ग्रीक को कॉन्ट्रैक्ट गुणक और चिह्न-सहित मात्रा से गुणा करें: लॉन्ग के लिए धनात्मक और शॉर्ट के लिए ऋणात्मक। फिर सभी लेग जोड़ें।

100 शेयरों वाले दो खरीदे गए कॉल का प्रत्येक डेल्टा 0.46 हो तो पोज़िशन डेल्टा $2\times100\times0.46=92$ है। इसलिए अन्य इनपुट स्थिर रहने पर अंडरलाइंग में छोटी $1 की बढ़त से अनुमानित $92 का लाभ होता है। इसके बजाय वे कॉल बेचकर पोज़िशन खोलने पर डेल्टा -92 होता है, क्योंकि बढ़त शॉर्ट दायित्व बढ़ाती है। शॉर्ट लेग संबंधित लॉन्ग ऑप्शन की अन्य संवेदनशीलताओं के चिह्न भी उलट देता है।

मल्टी-लेग पोज़िशन का ग्रीक उसके लेग की, चिह्न और आकार के अनुसार समायोजित, संवेदनशीलताओं का योग है। एक अंडरलाइंग मूल्य पर लगभग संतुलित डेल्टा, लेग के गामा अलग होने पर, मूल्य चाल के बाद कम संतुलित हो सकते हैं। इसी तरह एक-दूसरे को संतुलित करने वाले वेगा IV के समान बदलाव को दर्शाते हैं; अलग स्ट्राइक के IV अलग मात्रा में बदलें तो वे जोखिम समाप्त नहीं करते।

कैलकुलेटर के पोज़िशन ग्रीक्स में पक्ष, मात्रा और गुणक पहले से शामिल हैं; उन्हें दोबारा गुणा न करें। वे आज की तारीख और प्रवेश मूल्य उपयोग करते हैं, तब भी जब विश्लेषण तारीख बदलने से शेयर-मूल्य ग्राफ़ बदलता है।

गणितीय परिभाषाएँ और इकाइयाँ

प्रति शेयर ऑप्शन मूल्य $V$ और अंडरलाइंग मूल्य $S$ के लिए, डेल्टा मूल्य के सापेक्ष ऑप्शन मूल्य का प्रथम अवकलज और गामा द्वितीय अवकलज है:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

ये व्यंजक एक चिकने मूल्य वक्र का वर्णन करते हैं। एक्सपायरी पर कॉल और पुट के पेऑफ़ में स्ट्राइक पर एक कोण बनता है, जहाँ अद्वितीय ढाल और सीमित गामा परिभाषित नहीं होते। एक्सपायरी-पूर्व संवेदनशीलताओं को उस कोण पर सामान्य अवकलज नहीं मानना चाहिए।

शेष समय $T$ वर्षों में मापा जाए तो 365-दिन की रिपोर्टिंग पद्धति के अंतर्गत दैनिक थीटा है:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

ऋण चिह्न कैलेंडर समय बीतने पर शेष समय में कमी दर्शाता है। रिपोर्टिंग का यह भाजक इस कैलकुलेटर के मूल्यांकन उदाहरणों में प्रयुक्त 365.25-दिन के वर्ष-अंश से अलग है।

वार्षिक अस्थिरता $\sigma$ और ब्याज दर $r$ दशमलव में व्यक्त हों तो उनके अवकलजों को 100 से भाग देने पर वेगा और रो प्रति प्रतिशत-अंक मिलते हैं:

\text{वेगा}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}