Greche delle opzioni

Le greche misurano la sensibilità del valore di un’opzione calcolato mediante un modello alle variazioni dei parametri di valutazione. Ognuna isola una fonte di cambiamento mantenendo fisse le altre, come un movimento del sottostante, il trascorrere del tempo o una variazione della volatilità. Sono tassi di variazione locali, non caratteristiche fisse: al cambiare dei parametri, generalmente cambiano anche le sensibilità.

Le unità di misura sono importanti quando si applica una greca a una posizione. Una sensibilità quotata per azione deve essere moltiplicata per la dimensione del contratto e per la quantità per ottenere l’effetto in dollari sulla posizione. Una posizione corta inverte il segno dell’esposizione corrispondente dell’opzione acquistata.

Delta

Il delta misura la risposta del valore dell’opzione a una piccola variazione del prezzo del sottostante. Per una call su azioni quotate a $750 con delta di 0.46, un rialzo a $751 aggiunge circa $0.46 per azione al valore della call, a parità degli altri parametri. Un contratto acquistato su 100 azioni guadagna quindi circa $46.

Le call acquistate hanno normalmente delta compreso tra zero e uno, mentre le put acquistate hanno normalmente delta compreso tra meno uno e zero. Una put con delta di -0.54 perde circa $0.54 per azione dopo un rialzo del sottostante di $1 e guadagna approssimativamente lo stesso importo dopo un ribasso di $1. Le opzioni profondamente in the money rispondono generalmente in modo più simile al sottostante, mentre quelle molto out of the money sono di solito meno sensibili a una piccola variazione di prezzo.

Il delta è una sensibilità locale al prezzo. Utilizzarlo come previsione esatta per un ampio movimento del sottostante ignora il fatto che la risposta dell’opzione cambia lungo il percorso del prezzo.

Gamma

Il gamma misura la variazione del delta per una piccola variazione del sottostante. Se la call dell’esempio ha gamma di 0.0075, un rialzo di $1 ne aumenta il delta da circa 0.46 a 0.4675. La sensibilità al successivo incremento di prezzo è quindi maggiore rispetto al punto iniziale.

Le call e put acquistate hanno normalmente gamma positivo. Al rialzo del sottostante, il delta di una call aumenta e il delta negativo di una put si avvicina a zero. Al ribasso del sottostante, il delta della put diventa più negativo, aumentando il guadagno derivante da un’ulteriore discesa. Il gamma descrive quindi la curvatura della relazione tra prezzo del sottostante e valore dell’opzione.

Un’opzione venduta inverte questa esposizione. Il delta della posizione di una call venduta diventa più negativo al rialzo del sottostante e il delta positivo della posizione di una put venduta aumenta al ribasso del sottostante. In entrambi i casi, il proseguimento del movimento sfavorevole può produrre una risposta progressivamente più ampia.

Vicino alla scadenza, la transizione tra un’opzione con poco payoff e una che segue da vicino il sottostante si concentra intorno allo strike. In quella zona il gamma può essere elevato. Più lontano, in the money o out of the money, il delta è generalmente più stabile e il gamma più basso.

Theta

Il theta misura l’effetto del trascorrere del tempo ed è comunemente espresso per giorno di calendario. Un theta di -$0.26 per azione stima una diminuzione in un giorno di circa $26 per un contratto acquistato su 100 azioni, se sottostante, volatilità e altri parametri restano invariati.

Le opzioni acquistate hanno solitamente theta negativo, perché una durata residua più breve riduce la possibilità che i diritti di esercizio diventino più preziosi. Quando il sottostante è vicino allo strike, il ritmo del decadimento temporale spesso accelera verso la scadenza. Le opzioni profondamente in the money o out of the money possono avere poco valore temporale residuo e seguire quindi un andamento diverso.

Il finanziamento può modificare questa relazione abituale. Una put europea non può incassare il corrispettivo allo strike tramite esercizio prima della scadenza. Con tassi di interesse positivi, il valore attuale di tale incasso aumenta all’avvicinarsi della data in cui viene ricevuto. Per una put profondamente in the money con poca incertezza residua, questo effetto può superare la perdita di valore della facoltà di scelta e produrre theta positivo. Deriva dal termine di attualizzazione della formula della put europea, non da una regola generale secondo cui le opzioni acquistate perdano sempre valore con il tempo.

Vega

Il vega misura la risposta del valore dell’opzione a una variazione della volatilità implicita di un punto percentuale, per esempio dal 20% al 21%. Un vega di $1.04 per azione stima, per tale variazione, un aumento del premio di $1.04 per azione, ossia $104 per un contratto acquistato su 100 azioni, a parità degli altri parametri.

Le call e put standard acquistate hanno normalmente vega positivo. Una volatilità più alta aumenta il valore dei possibili esiti favorevoli senza imporre l’esercizio dopo un esito sfavorevole. Il vega è spesso maggiore quando il sottostante è vicino allo strike e rimane più tempo. Si avvicina a zero a scadenza, quando il payoff viene determinato dal prezzo finale del sottostante. Il suo valore cambia anche al variare della volatilità e della moneyness.

Rho

Il rho misura la sensibilità a una variazione del tasso di interesse di un punto percentuale. Un rho della call di $0.40 per azione stima un aumento del premio di $0.40 quando il tasso passa dal 4% al 5%, mantenendo fissi gli altri parametri.

Tassi più alti riducono il valore attuale del pagamento dello strike. Ciò generalmente favorisce i titolari di call, che possono pagare lo strike più avanti, e riduce il valore dell’incasso futuro disponibile ai titolari di put. Il rho è quindi di solito positivo per le call acquistate e negativo per le put acquistate. L’effetto tende a essere più significativo per i contratti a lunga scadenza, perché il potenziale pagamento dello strike è più distante nel futuro.

Greche della posizione

Le sensibilità della posizione combinano la greca quotata dell’opzione con il moltiplicatore, la quantità e il segno lungo o corto. Due call acquistate su 100 azioni, ciascuna con delta di 0.46, hanno un delta di posizione pari a 92. Un piccolo rialzo del sottostante di $1 produce quindi un guadagno stimato di $92. Vendere quelle call per aprire dà invece un delta di posizione di -92, perché un rialzo aumenta la passività della posizione corta.

La greca di una posizione multigamba è la somma delle sensibilità delle gambe, moltiplicate per le rispettive dimensioni e considerate con il relativo segno. Delta quasi compensati a un certo prezzo del sottostante possono diventare meno equilibrati dopo un movimento se le gambe hanno gamma diversi. Analogamente, vega compensati descrivono una variazione comune dell’IV; non eliminano l’esposizione quando le IV di strike diversi variano in misura differente.

Definizioni matematiche e unità di misura

Per un valore dell’opzione per azione $V$ e un prezzo del sottostante $S$, il delta è la derivata prima del valore rispetto al prezzo e il gamma è la derivata seconda:

Queste espressioni descrivono una curva di valore regolare. A scadenza, i payoff di call e put presentano un punto angoloso allo strike, dove non sono definiti una pendenza univoca e un gamma finito. Le sensibilità precedenti alla scadenza non vanno trattate come normali derivate in quel punto angoloso.

Se il tempo residuo $T$ è misurato in anni, il theta giornaliero secondo una convenzione di presentazione di 365 giorni è:

Il segno meno riflette la riduzione del tempo residuo al trascorrere del tempo di calendario. La convenzione di presentazione va distinta dalla frazione d’anno utilizzata in uno specifico esempio di valutazione, che può avere una base diversa.

Quando la volatilità annua $\sigma$ e il tasso di interesse $r$ sono espressi in forma decimale, dividere le loro derivate per 100 esprime vega e rho per punto percentuale:

Combinare piccole variazioni

Per una variazione del prezzo del sottostante $x$, un numero di giorni di calendario trascorsi $h$, una variazione dell’IV di $u$ punti percentuali e una variazione del tasso di $w$ punti percentuali, un’approssimazione locale è:

Il termine gamma corregge per la curvatura durante il movimento del sottostante. Gli altri termini applicano le sensibilità iniziali alle variazioni specificate. Questa approssimazione omette gli effetti di ordine superiore e le interazioni tra parametri, quindi un ricalcolo completo del prezzo è più affidabile per variazioni consistenti.

Utilizzando le sensibilità illustrative arrotondate della call riportate sopra, si consideri un rialzo del sottostante di $1 in un giorno mentre l’IV scende dal 20% al 19%, con tassi e ipotesi sui dividendi invariati:

La diminuzione stimata è per azione; quantità e moltiplicatore del contratto la rapportano alla posizione. In questo esempio, il trascorrere del tempo e la minore IV più che compensano il beneficio del rialzo del sottostante. Il calcolo mostra perché una sola variazione favorevole di un parametro non determini il movimento complessivo del prezzo di un’opzione.