Greche delle opzioni

Un’azione può salire mentre una call che hai acquistato perde valore. Il rialzo aiuta la call, ma il tempo trascorso e il calo della volatilità implicita (IV) possono sottrarre più valore di quanto ne aggiunga il movimento azionario. Le greche aiutano a separare questi effetti stimando la risposta a ciascun parametro, a parità degli altri. Sono sensibilità locali, non regole fisse che determinano il prossimo prezzo dell’opzione. 1

Supponi che l’azione salga da $750 a $751 in un giorno di calendario, mentre l’IV scende dal 20% al 19%, con tassi di interesse e ipotesi sui dividendi invariati. Usa le sensibilità illustrative arrotondate riportate di seguito, quotate per azione, per un contratto acquistato con moltiplicatore di 100 azioni.

Parti dal rialzo azionario di $1. Con un delta di 0.46, aggiunge circa $0.46 per azione, ossia $46 al contratto acquistato, se gli altri parametri restano fissi. Il delta misura questa risposta locale al prezzo del sottostante.

La risposta non rimane del tutto costante durante il movimento. Il gamma misura la variazione del delta al cambiare del prezzo azionario. Con gamma di 0.0075, il rialzo di $1 aumenta il delta della call da circa 0.46 a 0.4675, rendendola un po’ più sensibile al successivo dollaro di movimento. Un aggiustamento per il gamma terrà conto di questa curvatura nella stima seguente.

Nel frattempo, la call ha un giorno residuo in meno. Il suo theta stima l’effetto del trascorrere del tempo, qui espresso per giorno di calendario. Un theta di -$0.26 per azione contribuisce a una diminuzione stimata in un giorno di $26 per il contratto acquistato su 100 azioni, mantenendo fissi prezzo azionario, volatilità e altri parametri.

Il calo dell’IV contribuisce a un’altra diminuzione. Il vega misura la sensibilità a una variazione dell’IV di un punto percentuale. Con un vega di $1.04 per azione, un aumento dal 20% al 21% aggiungerebbe circa $1.04 per azione, ossia $104 al contratto acquistato, a parità di tutto il resto. Il nostro esempio va nella direzione opposta, dal 20% al 19%, quindi il contributo stimato è negativo. Si tratta di variazioni in punti percentuali, non di variazioni percentuali proporzionali dell’IV.

Combinare piccole variazioni

Sommando gli effetti del prezzo azionario, del tempo e della volatilità, incluso l’aggiustamento per la curvatura dato dal gamma, si ottiene:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

La diminuzione stimata è di circa $0.84 per azione, ossia $84 per un contratto acquistato su 100 azioni. Il trascorrere del tempo e la minore IV più che compensano il beneficio del rialzo dell’azione. Questo spiega come la call possa perdere valore senza un movimento azionario sfavorevole: il delta da solo descrive soltanto una parte della variazione.

Più in generale, siano $x$ la variazione del prezzo del sottostante in dollari, $h$ i giorni di calendario trascorsi, $u$ la variazione dell’IV in punti percentuali e $w$ la variazione del tasso di interesse in punti percentuali. Una stima locale della variazione del valore per azione è:

\text{Variazione di }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

Il termine gamma corregge la stima del delta per la curvatura; il rho tiene conto dei tassi di interesse, che in questo esempio sono invariati. L’espressione usa le sensibilità iniziali e omette gli effetti di ordine superiore e le interazioni tra parametri. È un’approssimazione, non un ricalcolo completo del prezzo o un risultato di negoziazione garantito. Per variazioni consistenti, soprattutto quando più parametri cambiano insieme, ricalcola il prezzo dell’opzione con i nuovi parametri anziché estendere le greche iniziali all’intero movimento.

Perché cambia la sensibilità al prezzo dell’azione

Il delta positivo della call spiega perché il rialzo azionario l’abbia aiutata. Le call acquistate hanno normalmente delta compreso tra zero e uno, mentre le put acquistate hanno normalmente delta compreso tra meno uno e zero. Una put con delta di -0.54 perde circa $0.54 per azione dopo un rialzo dell’azione di $1 e guadagna approssimativamente lo stesso importo dopo un ribasso di $1, a parità degli altri parametri. Le opzioni profondamente in the money rispondono generalmente in modo più simile al sottostante, mentre quelle molto out of the money sono meno sensibili a piccoli movimenti.

Le call e put acquistate hanno normalmente gamma positivo. Al rialzo dell’azione, il delta della call aumenta e quello della put diventa meno negativo. Al ribasso dell’azione, il delta della put diventa più negativo. Questa pendenza variabile è la curvatura della relazione con il valore dell’opzione. 2

Un’opzione venduta inverte questa esposizione. Il delta di una call venduta diventa più negativo al rialzo dell’azione; quello di una put venduta diventa più positivo al ribasso. Un ulteriore movimento sfavorevole a una delle due posizioni può quindi causare una perdita maggiore.

Il gamma può essere particolarmente elevato vicino allo strike in prossimità della scadenza, dove un piccolo movimento azionario modifica nettamente la sensibilità dell’opzione. Più lontano, in the money o out of the money, il delta è generalmente più stabile e il gamma più basso. Il delta non è né una misura esatta di un’ampia variazione di prezzo né l’esatta probabilità di esercizio nel mondo reale.

Come tempo e volatilità modificano l’esposizione

Il theta negativo dell’esempio è comune nelle opzioni acquistate: rimane meno tempo perché si sviluppi un payoff favorevole. Per le opzioni at the money, il decadimento spesso accelera verso la scadenza, mentre le opzioni profondamente in the money o out of the money possono seguire un andamento diverso.

Il theta negativo non è universale. Una put europea deve aspettare la scadenza per incassare il corrispettivo allo strike tramite esercizio. Con tassi di interesse positivi, il valore attuale di tale incasso aumenta all’avvicinarsi della data di pagamento. Per una put profondamente in the money con poca incertezza residua, questo effetto di finanziamento può superare la perdita di valore della facoltà di scelta e produrre theta positivo. 2

Anche il vega positivo dell’esempio è tipico delle call e put standard acquistate. Una volatilità più alta aumenta la possibilità di payoff maggiori senza imporre al titolare l’esercizio dopo un movimento sfavorevole. Il vega è spesso maggiore quando il sottostante è vicino allo strike e rimane più tempo. Cambia con volatilità e moneyness e si avvicina a zero a scadenza, quando il prezzo azionario determina il payoff.

Questo calcolatore usa giorni interi. Una scadenza odierna significa tempo residuo nullo nel modello e valore intrinseco, non una previsione del decadimento infragiornaliero.

Dove entrano in gioco i tassi di interesse

L’esempio mantiene fissi i tassi, ma una loro variazione aggiungerebbe un altro contributo. Il rho misura la sensibilità a una variazione del tasso di interesse di un punto percentuale. Un rho della call di $0.40 per azione implica un aumento approssimativo del premio di $0.40 quando il tasso passa dal 4% al 5%, mantenendo fissi gli altri parametri.

Tassi più alti riducono il valore attuale del pagamento dello strike. Ciò generalmente favorisce i titolari di call, che possono pagare lo strike più avanti, e sfavorisce i titolari di put, che potrebbero incassarlo. Il rho è quindi di solito positivo per le call acquistate e negativo per le put acquistate. L’effetto tende a essere maggiore per i contratti a lunga scadenza. 3

Greche della posizione

Le stesse sensibilità si applicano a una posizione tenendo conto della sua dimensione e direzione. Moltiplica la greca per azione di ogni gamba per il moltiplicatore del contratto e per la quantità con segno: positivo per una gamba lunga, negativo per una corta. Somma poi le gambe.

Due call acquistate su 100 azioni con delta di 0.46 hanno un delta di posizione pari a $2\times100\times0.46=92$ . Un piccolo rialzo dell’azione di $1 produce un guadagno stimato di $92, a parità degli altri parametri. Vendere quelle due call in apertura dà invece un delta di -92. Analogamente, una gamba corta inverte le altre sensibilità della corrispondente opzione lunga.

Le greche che si compensano non restano necessariamente equilibrate. Gambe con gamma diversi possono perdere l’equilibrio dei delta dopo un movimento azionario. Analogamente, vega compensati descrivono una variazione comune dell’IV, non una protezione da variazioni diverse della volatilità a strike diversi.

Le greche di posizione del calcolatore includono già lato, quantità e moltiplicatore: non moltiplicarle di nuovo. Usano la data odierna e Prezzo iniziale, anche quando Data di analisi modifica il grafico del prezzo dell’azione.

Definizioni matematiche e unità di misura

Per un valore dell’opzione per azione $V$ e un prezzo del sottostante $S$ , il delta è la derivata prima rispetto al prezzo e il gamma la derivata seconda:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Queste definizioni presuppongono una curva di valore regolare. A scadenza, il payoff presenta un punto angoloso allo strike, dove non sono definiti una pendenza univoca e un gamma finito.

Con tempo residuo $T$ misurato in anni, il theta giornaliero secondo una convenzione di presentazione di 365 giorni è:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Il segno meno tiene conto della riduzione del tempo residuo al trascorrere di un giorno. Questo divisore di presentazione è distinto dalla frazione d’anno su base 365.25 giorni utilizzata negli esempi di valutazione del calcolatore.

Quando la volatilità annua $\sigma$ e il tasso di interesse $r$ sono espressi in forma decimale, si dividono le loro derivate per 100 per esprimere vega e rho per punto percentuale:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}