Gregas das opções

Uma ação pode subir enquanto uma call que você comprou perde valor. A alta ajuda a call, mas a passagem do tempo e uma queda da volatilidade implícita (IV) podem retirar mais valor do que o movimento da ação acrescenta. As gregas ajudam a separar esses efeitos ao estimar a resposta a cada parâmetro com os demais fixos. São sensibilidades locais, não regras fixas para o próximo preço da opção. 1

Suponha que a ação suba de $750 para $751 em um dia corrido enquanto a IV cai de 20% para 19%, com taxas de juros e hipóteses de dividendos inalteradas. Use as sensibilidades ilustrativas arredondadas abaixo, cotadas por ação, para um contrato comprado com multiplicador de 100 ações.

Comece pela alta de $1 da ação. Com delta de 0.46, ela acrescenta aproximadamente $0.46 por ação, ou $46 ao contrato comprado, se os demais parâmetros ficarem fixos. Delta mede essa resposta local ao preço do ativo subjacente.

Essa resposta não é exatamente constante ao longo do movimento. Gamma mede a variação do delta conforme o preço da ação muda. Com gamma de 0.0075, a alta de $1 aumenta o delta da call de cerca de 0.46 para 0.4675, tornando-a um pouco mais sensível ao próximo dólar de variação. Um ajuste de gamma considerará essa curvatura na estimativa abaixo.

Enquanto isso, a call tem um dia a menos de prazo. Seu theta estima o efeito da passagem do tempo, aqui expresso por dia corrido. Um theta de -$0.26 por ação contribui com uma queda estimada de $26 em um dia para o contrato comprado de 100 ações, mantendo fixos o preço da ação, a volatilidade e os demais parâmetros.

A queda da IV contribui com outra redução. Vega mede a sensibilidade a uma mudança de um ponto percentual na IV. Com vega de $1.04 por ação, uma alta de 20% para 21% acrescentaria aproximadamente $1.04 por ação, ou $104 ao contrato comprado, com tudo o mais constante. Nosso exemplo vai no sentido oposto, de 20% para 19%, portanto a contribuição estimada é negativa. São mudanças em pontos percentuais, não variações percentuais proporcionais da IV.

Combinação de pequenas variações

Somar os efeitos de preço da ação, prazo e volatilidade, incluindo o ajuste de curvatura do gamma, fornece:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

A queda estimada é de cerca de $0.84 por ação, ou $84 para um contrato comprado de 100 ações. A passagem do tempo e a IV menor mais do que compensam o benefício da alta da ação. Isso explica como a call pode perder valor sem que a ação se mova contra ela; o delta sozinho descreve apenas parte da variação.

De modo geral, sejam $x$ a variação do preço do ativo subjacente em dólares, $h$ os dias corridos transcorridos, $u$ a variação de IV em pontos percentuais e $w$ a variação da taxa de juros em pontos percentuais. Uma estimativa local da variação do valor por ação é:

\text{Variação de }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

O termo de gamma ajusta a estimativa do delta pela curvatura; rho considera as taxas de juros, que não mudam neste exemplo. A expressão usa as sensibilidades iniciais e omite efeitos de ordem superior e interações entre parâmetros. É uma aproximação, não um recálculo completo do preço ou um resultado de negociação garantido. Para mudanças substanciais, especialmente quando vários parâmetros variam juntos, recalcule a opção com os novos dados em vez de estender as gregas iniciais por todo o movimento.

Por que a sensibilidade ao preço da ação muda

O delta positivo da call explica por que a alta da ação a favoreceu. Calls compradas normalmente têm delta entre zero e um, enquanto puts compradas normalmente têm delta entre menos um e zero. Uma put com delta de -0.54 perde aproximadamente $0.54 por ação após uma alta de $1 no ativo subjacente e ganha aproximadamente esse valor após uma queda de $1, com os demais parâmetros fixos. Opções muito dentro do dinheiro geralmente respondem de forma mais semelhante ao ativo subjacente, enquanto opções muito fora do dinheiro costumam ser menos sensíveis a uma pequena variação de preço.

Calls e puts compradas normalmente têm gamma positivo. Conforme o ativo subjacente sobe, o delta da call aumenta, e o delta negativo da put se aproxima de zero. Conforme o ativo cai, o delta da put se torna mais negativo. Essa inclinação variável é a curvatura da relação entre o preço do ativo e o valor da opção. 2

Uma opção vendida inverte essa exposição. O delta de uma call vendida se torna mais negativo conforme a ação sobe; o delta de uma put vendida se torna mais positivo conforme a ação cai. A continuidade de um movimento contrário a qualquer uma dessas posições pode, portanto, causar uma perda maior.

O gamma pode ser especialmente alto perto do preço de exercício quando o vencimento se aproxima, onde um pequeno movimento da ação muda intensamente a sensibilidade da opção. Mais para dentro ou para fora do dinheiro, o delta costuma ser mais estável e o gamma, menor. Delta não é uma medida exata de uma grande variação de preço nem uma probabilidade exata de exercício no mundo real.

Como prazo e volatilidade mudam a exposição

O theta negativo do exemplo é comum em opções compradas: resta menos tempo para um payoff favorável se desenvolver. A perda de valor temporal frequentemente se acelera perto do vencimento para opções no dinheiro, enquanto opções muito dentro ou fora do dinheiro podem seguir outro padrão.

Theta negativo não é universal. Uma put europeia precisa esperar até o vencimento para receber o valor pelo preço de exercício por meio do exercício. Com taxas de juros positivas, esse recebimento vale mais em termos de valor presente à medida que a data se aproxima. Para uma put muito dentro do dinheiro com pouca incerteza remanescente, esse efeito de financiamento pode superar a perda de valor da flexibilidade de escolha e produzir theta positivo. 2

O vega positivo do exemplo também é típico de calls e puts padrão compradas. Uma volatilidade maior aumenta a possibilidade de um payoff maior sem obrigar o titular a exercer após um movimento desfavorável. O vega costuma ser maior perto do dinheiro e quando resta mais tempo. Ele muda com a volatilidade e o moneyness e se aproxima de zero no vencimento, quando o preço da ação determina o payoff.

Esta calculadora usa dias inteiros. Vencer hoje significa prazo restante zero no modelo e valor intrínseco, não uma previsão de perda de valor temporal intradiária.

Onde entram as taxas de juros

O exemplo mantém as taxas fixas, mas uma mudança acrescentaria outra contribuição. Rho mede a sensibilidade a uma variação de um ponto percentual na taxa de juros. Um rho de call de $0.40 por ação estima um aumento de aproximadamente $0.40 no prêmio quando a taxa sobe de 4% para 5%, com os demais parâmetros fixos.

Taxas maiores reduzem o valor presente do pagamento pelo preço de exercício. Isso geralmente beneficia os titulares de calls, que podem pagar esse valor mais tarde, e prejudica os titulares de puts, que podem recebê-lo. Por isso, calls compradas costumam ter rho positivo e puts compradas, rho negativo. O efeito tende a ser maior nos contratos de prazo mais longo. 3

Gregas da posição

As mesmas sensibilidades se aplicam a uma posição após considerar tamanho e direção. Multiplique a grega por ação de cada perna pelo multiplicador do contrato e pela quantidade com sinal: positivo para uma perna comprada, negativo para uma vendida. Depois some as pernas.

Duas calls compradas de 100 ações com delta de 0.46 têm delta da posição de $2\times100\times0.46=92$ . Uma pequena alta de $1 na ação produz ganho estimado de $92, com os demais parâmetros fixos. Vender essas duas calls para abrir, em vez de comprá-las, produz delta de -92. Uma perna vendida também inverte as outras sensibilidades da opção comprada correspondente.

Gregas que se compensam não necessariamente continuam equilibradas. Pernas com gammas diferentes podem perder o equilíbrio de delta após um movimento da ação. Da mesma forma, vegas que se compensam descrevem uma mudança comum da IV, não proteção contra variações distintas de volatilidade em diferentes preços de exercício.

As gregas da posição na calculadora já incluem lado, quantidade e multiplicador; não aplique esses fatores novamente. Elas usam a data de hoje e o Preço de entrada, mesmo quando a Data de análise muda o gráfico de preço da ação.

Definições matemáticas e unidades

Para valor da opção por ação $V$ e preço do ativo subjacente $S$ , delta é a primeira derivada do valor em relação ao preço, e gamma é a segunda derivada:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Essas definições pressupõem uma curva de valor suave. No vencimento, o payoff tem uma quina no preço de exercício, onde não se definem uma inclinação única nem um gamma finito.

Se o prazo remanescente $T$ é medido em anos, o theta diário sob uma convenção de apresentação de 365 dias é:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

O sinal negativo considera que o prazo restante diminui quando um dia passa. Esse divisor de apresentação é distinto da fração de ano com base em 365.25 dias usada nos exemplos de precificação desta calculadora.

Quando a volatilidade anual $\sigma$ e a taxa de juros $r$ são expressas em decimais, dividir suas derivadas por 100 apresenta vega e rho por ponto percentual:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}