Gregas das opções

As gregas medem a sensibilidade do valor de uma opção calculado por um modelo a mudanças em seus parâmetros de precificação. Cada uma isola uma fonte de variação e mantém as demais fixas, como um movimento do ativo subjacente, a passagem do tempo ou uma mudança na volatilidade. Elas são taxas locais de variação, não características fixas: conforme os parâmetros mudam, as sensibilidades geralmente também mudam.

As unidades importam ao aplicar uma grega a uma posição. Uma sensibilidade cotada por ação deve ser multiplicada pelo tamanho do contrato e pela quantidade para obter um efeito em dólares sobre a posição. Uma posição vendida inverte o sinal da exposição correspondente da opção comprada.

Delta

Delta mede a resposta do valor da opção a uma pequena variação no preço do ativo subjacente. Para uma call sobre ações negociadas a $750 com delta de 0.46, uma alta para $751 acrescenta aproximadamente $0.46 por ação ao valor da call quando os demais parâmetros permanecem inalterados. Um contrato comprado de 100 ações ganha, portanto, cerca de $46.

Calls compradas normalmente têm delta entre zero e um, enquanto puts compradas normalmente têm delta entre menos um e zero. Uma put com delta de -0.54 perde aproximadamente $0.54 por ação após uma alta de $1 no ativo subjacente e ganha aproximadamente esse valor após uma queda de $1. Opções muito dentro do dinheiro geralmente respondem de forma mais semelhante ao ativo subjacente, enquanto opções muito fora do dinheiro costumam ser menos sensíveis a uma pequena variação de preço.

Delta é uma sensibilidade local ao preço. Usá-lo como previsão exata para um grande movimento do ativo subjacente ignora que a resposta da opção muda ao longo da trajetória de preços.

Gamma

Gamma mede a variação do delta para uma pequena variação do ativo subjacente. Se a call do exemplo tem gamma de 0.0075, uma alta de $1 aumenta seu delta de aproximadamente 0.46 para 0.4675. Sua sensibilidade ao próximo incremento de preço é, portanto, maior que no ponto inicial.

Calls e puts compradas normalmente têm gamma positivo. Conforme o ativo subjacente sobe, o delta da call aumenta, e o delta negativo da put se aproxima de zero. Conforme o ativo cai, o delta da put se torna mais negativo, aumentando seu ganho com uma nova queda. Assim, o gamma descreve a curvatura da relação entre o preço do ativo e o valor da opção.

Uma opção vendida inverte essa exposição. O delta da posição em uma call vendida se torna mais negativo conforme o ativo subjacente sobe, e o delta positivo da posição em uma put vendida aumenta conforme o ativo cai. Em ambos os casos, a continuidade de um movimento contrário à posição pode produzir uma resposta progressivamente maior.

Perto do vencimento, a transição entre uma opção com pouco payoff e outra que acompanha de perto o ativo subjacente se concentra ao redor do preço de exercício. O gamma pode ser alto nessa região. Mais para dentro ou para fora do dinheiro, o delta costuma ser mais estável e o gamma, menor.

Theta

Theta mede o efeito da passagem do tempo, geralmente expresso por dia corrido. Um theta de -$0.26 por ação estima uma queda de cerca de $26 em um dia para um contrato comprado de 100 ações, se o ativo subjacente, a volatilidade e os demais parâmetros permanecerem inalterados.

Opções compradas geralmente têm theta negativo porque um prazo remanescente menor reduz a oportunidade de seus direitos de exercício se tornarem mais valiosos. Perto do dinheiro, a perda de valor temporal frequentemente se acelera em direção ao vencimento. Opções muito dentro ou fora do dinheiro podem ter pouco valor temporal remanescente e, portanto, seguir outro padrão.

O financiamento pode impor ressalvas a essa relação usual. Uma put europeia não pode receber o valor correspondente ao preço de exercício por meio do exercício antes do vencimento. Com taxas de juros positivas, o valor presente desse recebimento aumenta à medida que a data se aproxima. Para uma put muito dentro do dinheiro com pouca incerteza remanescente, esse efeito pode superar a perda de valor da flexibilidade de escolha e produzir theta positivo. Isso decorre do termo de desconto na fórmula da put europeia, e não de uma regra geral de que opções compradas sempre perdem valor com o tempo.

Vega

Vega mede a resposta do valor da opção a uma variação de um ponto percentual na volatilidade implícita, como um aumento de 20% para 21%. Um vega de $1.04 por ação estima um aumento de $1.04 no prêmio para essa variação, ou $104 para um contrato comprado de 100 ações, com os demais parâmetros inalterados.

Calls e puts padrão compradas normalmente têm vega positivo. Uma volatilidade maior aumenta o valor de possíveis resultados favoráveis sem exigir o exercício após um resultado desfavorável. O vega costuma ser maior perto do dinheiro e quando resta mais tempo. Ele se aproxima de zero no vencimento, à medida que o payoff passa a ser determinado pelo preço final do ativo subjacente. Seu valor também muda conforme a volatilidade e o moneyness variam.

Rho

Rho mede a sensibilidade a uma variação de um ponto percentual na taxa de juros. Um rho de call de $0.40 por ação estima um aumento de $0.40 no prêmio quando a taxa sobe de 4% para 5%, mantendo-se fixos os demais parâmetros.

Taxas maiores reduzem o valor presente do pagamento pelo preço de exercício. Isso geralmente beneficia os titulares de calls, que podem pagar esse valor mais tarde, e reduz o valor do recebimento futuro disponível aos titulares de puts. Por isso, o rho costuma ser positivo para calls compradas e negativo para puts compradas. O efeito tende a ser mais relevante nos contratos de prazo mais longo, pois o possível pagamento pelo preço de exercício está mais distante no futuro.

Gregas da posição

As sensibilidades da posição combinam a grega cotada da opção com o multiplicador, a quantidade e o sinal de compra ou venda. Duas calls compradas de 100 ações, cada uma com delta de 0.46, têm delta da posição de 92. Uma pequena alta de $1 no ativo subjacente produz, portanto, ganho estimado de $92. Vender essas calls para abrir, em vez de comprá-las, produz delta da posição de -92, pois uma alta aumenta a obrigação vendida.

A grega de uma posição com várias pernas é a soma das sensibilidades de suas pernas, ajustadas pelos respectivos sinais e tamanhos. Deltas que quase se compensam em um preço do ativo subjacente podem ficar menos equilibrados após um movimento se as pernas tiverem gammas diferentes. Da mesma forma, vegas que se compensam descrevem uma mudança comum da IV; eles não eliminam a exposição quando as IVs de diferentes preços de exercício variam em magnitudes diferentes.

Definições matemáticas e unidades

Para valor da opção por ação $V$ e preço do ativo subjacente $S$ , delta é a primeira derivada do valor em relação ao preço, e gamma é a segunda derivada:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Essas expressões descrevem uma curva de valor suave. No vencimento, os payoffs de calls e puts têm uma quina no preço de exercício, em que não se definem uma inclinação única nem um gamma finito. As sensibilidades anteriores ao vencimento não devem ser tratadas como derivadas usuais nessa quina.

Se o prazo remanescente $T$ é medido em anos, o theta diário sob uma convenção de apresentação de 365 dias é:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

O sinal negativo reflete a redução do prazo remanescente com a passagem do tempo no calendário. A convenção de apresentação deve ser distinguida da fração de ano usada em um exemplo específico de precificação, que pode adotar outra base.

Quando a volatilidade anual $\sigma$ e a taxa de juros $r$ são expressas em decimais, dividir suas derivadas por 100 apresenta vega e rho por ponto percentual:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

Combinação de pequenas variações

Para uma variação do preço do ativo subjacente $x$ , dias corridos transcorridos $h$ , uma variação de IV de $u$ pontos percentuais e uma variação de taxa de $w$ pontos percentuais, uma aproximação local é:

\text{Variação de }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

O termo de gamma ajusta a curvatura ao longo do movimento do ativo subjacente. Os demais termos aplicam as sensibilidades iniciais às variações especificadas. Essa aproximação omite efeitos de ordem superior e interações entre parâmetros; por isso, recalcular integralmente o preço é mais confiável para mudanças substanciais.

Usando as sensibilidades ilustrativas arredondadas da call acima, considere uma alta de $1 no ativo subjacente ao longo de um dia enquanto a IV cai de 20% para 19%, com taxas e hipóteses de dividendos inalteradas:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

A queda estimada é por ação; a quantidade e o multiplicador do contrato a ajustam ao tamanho da posição. Neste exemplo, a passagem do tempo e a IV menor mais do que compensam o benefício da alta do ativo subjacente. O cálculo demonstra por que uma mudança favorável em um parâmetro não determina o movimento total do preço de uma opção.