Optiegrieken

De grieken meten de gevoeligheid van de gemodelleerde optiewaarde voor veranderingen in de waarderingsparameters. Elke griek isoleert één bron van verandering terwijl de andere parameters gelijk blijven, zoals een beweging in de onderliggende koers, verstreken tijd of een verandering in volatiliteit. Het zijn lokale veranderingstempo’s, geen vaste eigenschappen: wanneer de parameters veranderen, veranderen doorgaans ook de gevoeligheden.

Bij het toepassen van een griek op een positie zijn de eenheden van belang. Een gevoeligheid per aandeel moet met de contractgrootte en het aantal contracten worden vermenigvuldigd om het effect op de positie in dollars te verkrijgen. Een shortpositie keert het teken van de overeenkomstige blootstelling van een gekochte optie om.

Delta

Delta meet hoe de optiewaarde reageert op een kleine verandering in de onderliggende koers. Voor een call op aandelen die op $750 staan met een delta van 0.46 voegt een stijging naar $751 bij gelijkblijvende overige parameters ongeveer $0.46 per aandeel aan de callwaarde toe. Eén gekocht contract voor 100 aandelen wint daardoor ongeveer $46.

Gekochte calls hebben normaal een delta tussen nul en één, terwijl gekochte puts normaal een delta tussen min één en nul hebben. Een put met een delta van -0.54 verliest ongeveer $0.54 per aandeel na een onderliggende stijging van $1 en wint ongeveer dat bedrag na een daling van $1. Diep in-the-money-opties reageren doorgaans meer als de onderliggende waarde, terwijl ver out-of-the-money-opties meestal minder sterk op een kleine koersverandering reageren.

Delta is een lokale koersgevoeligheid. Wie delta als exacte voorspelling voor een grote onderliggende beweging gebruikt, negeert dat de reactie van de optie gedurende het koersverloop verandert.

Gamma

Gamma meet de verandering in delta bij een kleine verandering in de onderliggende koers. Als de voorbeeldcall een gamma van 0.0075 heeft, verhoogt een stijging van $1 de delta van ongeveer 0.46 naar 0.4675. De gevoeligheid voor de volgende koersstap is daardoor groter dan op het beginpunt.

Gekochte calls en puts hebben normaal een positieve gamma. Als de onderliggende koers stijgt, neemt de delta van een call toe en beweegt de negatieve delta van een put naar nul. Als de onderliggende koers daalt, wordt de delta van de put negatiever, waardoor de winst bij een verdere daling groter wordt. Gamma beschrijft dus de kromming van het verband tussen koers en optiewaarde.

Een geschreven optie keert deze blootstelling om. De positiedelta van een geschreven call wordt negatiever naarmate de onderliggende koers stijgt, en de positieve positiedelta van een geschreven put neemt toe naarmate de onderliggende koers daalt. In beide gevallen kan een aanhoudende beweging tegen de positie een steeds grotere reactie veroorzaken.

Vlak vóór expiratie concentreert de overgang tussen een optie met weinig expiratiewaarde en een optie die de onderliggende waarde nauw volgt zich rond de uitoefenprijs. Gamma kan in dat gebied hoog zijn. Verder in of out of the money is delta doorgaans stabieler en gamma lager.

Theta

Theta meet het effect van het verstrijken van tijd en wordt meestal per kalenderdag weergegeven. Een theta van -$0.26 per aandeel schat voor één gekocht contract voor 100 aandelen een daling van ongeveer $26 in één dag, mits de onderliggende koers, volatiliteit en overige parameters gelijk blijven.

Gekochte opties hebben meestal een negatieve theta, omdat een kortere resterende looptijd minder gelegenheid biedt om hun uitoefenrechten waardevoller te laten worden. Rond de uitoefenprijs versnelt het tijdswaardeverlies vaak richting expiratie. Diep in-the-money- of out-of-the-money-opties kunnen nog weinig tijdswaarde hebben en daardoor een ander patroon volgen.

Financiering kan dit gebruikelijke verband nuanceren. Een Europese put kan de opbrengst tegen de uitoefenprijs pas bij expiratie via uitoefening ontvangen. Bij positieve rentes neemt de contante waarde van die opbrengst toe naarmate de ontvangstdatum nadert. Voor een diep in-the-money-put met weinig resterende onzekerheid kan dit effect zwaarder wegen dan het verlies aan keuzevrijheid en zo een positieve theta opleveren. Dit volgt uit de disconteringsterm in de Europese putformule, niet uit een algemene regel dat gekochte opties altijd met de tijd in waarde dalen.

Vega

Vega meet hoe de optiewaarde reageert op een verandering van één procentpunt in impliciete volatiliteit, bijvoorbeeld een stijging van 20% naar 21%. Een vega van $1.04 per aandeel schat bij die verandering een premiestijging van $1.04, of $104 voor één gekocht contract voor 100 aandelen, als de overige parameters gelijk blijven.

Gekochte standaardcalls en -puts hebben normaal een positieve vega. Een hogere volatiliteit vergroot de waarde van mogelijke gunstige uitkomsten zonder uitoefening na een ongunstige uitkomst te verplichten. Vega is vaak groter rond de uitoefenprijs en wanneer meer looptijd resteert. Bij expiratie nadert vega nul, doordat de uiteindelijke onderliggende koers de expiratiewaarde bepaalt. Vega verandert ook wanneer volatiliteit en moneyness veranderen.

Rho

Rho meet de gevoeligheid voor een renteverandering van één procentpunt. Een callrho van $0.40 per aandeel schat bij gelijkblijvende overige parameters een premiestijging van $0.40 wanneer de rente van 4% naar 5% stijgt.

Een hogere rente verlaagt de contante waarde van de betaling tegen de uitoefenprijs. Dit is doorgaans gunstig voor callhouders, die mogelijk later betalen, en verlaagt de waarde van de toekomstige opbrengst voor puthouders. Rho is daarom meestal positief voor gekochte calls en negatief voor gekochte puts. Het effect is doorgaans belangrijker bij langer lopende contracten, omdat de mogelijke betaling tegen de uitoefenprijs verder in de toekomst ligt.

Grieken van een positie

Positiegevoeligheden combineren de genoteerde griek van de optie met de multiplier, het aantal en het long- of shortteken. Twee gekochte calls voor 100 aandelen, elk met een delta van 0.46, hebben een positiedelta van 92. Een kleine onderliggende stijging van $1 levert daarom naar schatting $92 winst op. Die calls verkopen om te openen geeft daarentegen een positiedelta van -92, omdat een stijging de shortverplichting vergroot.

De griek van een positie met meerdere optiepoten is de som van de gevoeligheden van de poten, na toepassing van teken en omvang. Delta’s die elkaar bij één onderliggende koers bijna opheffen, kunnen na een beweging minder in evenwicht zijn wanneer de poten verschillende gamma’s hebben. Evenzo beschrijven elkaar opheffende vega’s een gezamenlijke IV-verandering; zij verwijderen de blootstelling niet wanneer de IV’s op verschillende uitoefenprijzen met verschillende bedragen veranderen.

Wiskundige definities en eenheden

Voor optiewaarde per aandeel $V$ en onderliggende koers $S$ is delta de eerste afgeleide van de waarde naar de koers en gamma de tweede afgeleide:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Deze uitdrukkingen beschrijven een gladde waardecurve. Bij expiratie hebben de expiratiewaarden van calls en puts een knik bij de uitoefenprijs, waar geen unieke helling en eindige gamma zijn gedefinieerd. Gevoeligheden van vóór expiratie mogen bij die knik niet als gewone afgeleiden worden behandeld.

Als de resterende tijd $T$ in jaren wordt gemeten, is de dagelijkse theta onder een rapportageconventie van 365 dagen:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Het minteken weerspiegelt de afname van de resterende tijd terwijl de kalendertijd verstrijkt. De rapportageconventie moet worden onderscheiden van de jaarfractie die in een specifiek prijsvoorbeeld wordt gebruikt; die kan op een andere basis berusten.

Wanneer de jaarlijkse volatiliteit $\sigma$ en rente $r$ als decimalen worden uitgedrukt, geeft deling van hun afgeleiden door 100 vega en rho per procentpunt:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

Kleine veranderingen combineren

Voor een onderliggende koersverandering $x$ , verstreken kalenderdagen $h$ , een IV-verandering van $u$ procentpunten en een renteverandering van $w$ procentpunten geldt de lokale benadering:

\text{Verandering in }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

De gammaterm corrigeert voor de kromming over de onderliggende koersbeweging. De overige termen passen de oorspronkelijke gevoeligheden toe op de opgegeven veranderingen. Deze benadering laat hogere-orde-effecten en wisselwerkingen tussen parameters weg. Bij aanzienlijke veranderingen is een volledige herwaardering daarom betrouwbaarder.

Gebruik de afgeronde callgevoeligheden uit het bovenstaande voorbeeld en neem een onderliggende stijging van $1 in één dag, terwijl IV daalt van 20% naar 19% en de rente- en dividendaannames gelijk blijven:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

De geschatte daling is per aandeel; het aantal en de contractmultiplier rekenen haar om naar de positie. In dit voorbeeld wegen het verstrijken van tijd en de lagere IV zwaarder dan het voordeel van de onderliggende stijging. De berekening laat zien waarom één gunstige verandering in een parameter niet de totale prijsbeweging van een optie bepaalt.