Optiegrieken

Een aandeel kan stijgen terwijl een gekochte call in waarde daalt. De stijging helpt de call, maar verstreken tijd en dalende impliciete volatiliteit (IV) kunnen meer waarde wegnemen dan de koersbeweging toevoegt. De optiegrieken helpen deze effecten te onderscheiden door de reactie op iedere parameter te schatten terwijl de overige parameters gelijk blijven. Het zijn lokale gevoeligheden, geen vaste regels voor de volgende optieprijs: wanneer de parameters veranderen, veranderen doorgaans ook de gevoeligheden. 1

Stel dat de aandelenkoers in één kalenderdag van $750 naar $751 stijgt terwijl IV van 20% naar 19% daalt, met ongewijzigde rente- en dividendaannames. Gebruik de onderstaande afgeronde voorbeeldgevoeligheden, uitgedrukt per aandeel, voor één gekocht contract met een multiplier van 100 aandelen.

Begin met de koersstijging van $1. Bij een delta van 0.46 voegt die bij gelijkblijvende overige parameters ongeveer $0.46 per aandeel aan de callwaarde toe, of $46 voor het gekochte contract. Delta meet deze lokale reactie op de onderliggende koers.

Die reactie is gedurende de beweging niet helemaal constant. Gamma meet de verandering in delta bij een kleine verandering in de onderliggende koers. Als de voorbeeldcall een gamma van 0.0075 heeft, verhoogt een stijging van $1 de delta van ongeveer 0.46 naar 0.4675. De gevoeligheid voor de volgende koersstap is daardoor groter dan op het beginpunt. De schatting hieronder houdt via een gammacorrectie rekening met deze kromming.

Intussen heeft de call één dag minder resterende looptijd. Theta schat het effect van het verstrijken van tijd en wordt hier per kalenderdag weergegeven. Een theta van -$0.26 per aandeel schat voor één gekocht contract voor 100 aandelen een daling van ongeveer $26 in één dag, mits de onderliggende koers, volatiliteit en overige parameters gelijk blijven.

De dalende IV draagt bij aan een verdere waardedaling. Vega meet hoe de optiewaarde reageert op een verandering van één procentpunt in impliciete volatiliteit. Een vega van $1.04 per aandeel schat bij een stijging van 20% naar 21% een premiestijging van $1.04 per aandeel, of $104 voor één gekocht contract voor 100 aandelen, als de overige parameters gelijk blijven. Ons voorbeeld gaat de andere kant op, van 20% naar 19%, zodat de geschatte bijdrage negatief is. Dit zijn veranderingen in procentpunten, geen evenredige procentuele veranderingen van IV.

Kleine veranderingen combineren

De koers-, tijds- en volatiliteitseffecten bij elkaar optellen, inclusief gamma’s correctie voor de kromming, geeft:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

De geschatte daling bedraagt ongeveer $0.84 per aandeel, of $84 voor één gekocht contract voor 100 aandelen. Het verstrijken van tijd en de lagere IV wegen zwaarder dan het voordeel van de koersstijging. Zo kan de call in waarde dalen zonder dat het aandeel tegen de positie in beweegt; delta alleen beschrijft slechts een deel van de verandering.

Meer algemeen staat $x$ voor de onderliggende koersverandering in dollars, $h$ voor het aantal verstreken kalenderdagen, $u$ voor de IV-verandering in procentpunten en $w$ voor de renteverandering in procentpunten. De lokale benadering van de waardeverandering per aandeel is:

\text{Verandering in }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Vega}\,u+\rho w

De gammaterm corrigeert de deltaschatting voor de kromming over de onderliggende koersbeweging; rho houdt rekening met de rente, die in dit voorbeeld ongewijzigd blijft. De uitdrukking gebruikt de oorspronkelijke gevoeligheden en laat hogere-orde-effecten en wisselwerkingen tussen parameters weg. Het is een benadering, geen volledige herwaardering of gegarandeerd handelsresultaat. Waardeer de optie bij aanzienlijke veranderingen, vooral wanneer meerdere parameters tegelijk bewegen, opnieuw met de nieuwe parameters in plaats van de oorspronkelijke grieken over de hele beweging door te trekken.

Waarom verandert de koersgevoeligheid?

De positieve delta van de call verklaart waarom de koersstijging haar hielp. Gekochte calls hebben normaal een delta tussen nul en één, terwijl gekochte puts normaal een delta tussen min één en nul hebben. Een put met een delta van -0.54 verliest ongeveer $0.54 per aandeel na een onderliggende stijging van $1 en wint ongeveer dat bedrag na een daling van $1, bij gelijkblijvende overige parameters. Diep in-the-money-opties reageren doorgaans meer als de onderliggende waarde, terwijl ver out-of-the-money-opties meestal minder sterk op een kleine koersverandering reageren.

Gekochte calls en puts hebben normaal een positieve gamma. Als de onderliggende koers stijgt, neemt de delta van een call toe en beweegt de negatieve delta van een put naar nul. Als de onderliggende koers daalt, wordt de delta van de put negatiever, waardoor de winst bij een verdere daling groter wordt. Gamma beschrijft dus de kromming van het verband tussen koers en optiewaarde. 2

Een geschreven optie keert deze blootstelling om. De positiedelta van een geschreven call wordt negatiever naarmate de onderliggende koers stijgt, en de positieve positiedelta van een geschreven put neemt toe naarmate de onderliggende koers daalt. In beide gevallen kan een aanhoudende beweging tegen de positie een groter verlies veroorzaken.

Vlak vóór expiratie concentreert de overgang tussen een optie met weinig expiratiewaarde en een optie die de onderliggende waarde nauw volgt zich rond de uitoefenprijs. Gamma kan in dat gebied hoog zijn: een kleine koersbeweging verandert de gevoeligheid dan sterk. Verder in of out of the money is delta doorgaans stabieler en gamma lager. Delta is geen exacte maatstaf voor een grote koersverandering en evenmin een exacte kans op uitoefening in de werkelijkheid.

Hoe tijd en volatiliteit de blootstelling veranderen

De negatieve theta uit het voorbeeld is gebruikelijk voor gekochte opties: een kortere resterende looptijd biedt minder gelegenheid voor een gunstige expiratiewaarde. Rond de uitoefenprijs versnelt het tijdswaardeverlies vaak richting expiratie. Diep in-the-money- of out-of-the-money-opties kunnen nog weinig tijdswaarde hebben en daardoor een ander patroon volgen.

Negatieve theta is geen universele regel. Een Europese put kan de opbrengst tegen de uitoefenprijs pas bij expiratie via uitoefening ontvangen. Bij positieve rentes neemt de contante waarde van die opbrengst toe naarmate de ontvangstdatum nadert. Voor een diep in-the-money-put met weinig resterende onzekerheid kan dit financieringseffect zwaarder wegen dan het verlies aan keuzevrijheid en zo een positieve theta opleveren. Dit volgt uit de disconteringsterm in de Europese putformule, niet uit een algemene regel dat gekochte opties altijd met de tijd in waarde dalen. 2

Ook de positieve vega uit het voorbeeld is gebruikelijk voor gekochte standaardcalls en -puts. Een hogere volatiliteit vergroot de waarde van mogelijke gunstige uitkomsten zonder uitoefening na een ongunstige uitkomst te verplichten. Vega is vaak groter rond de uitoefenprijs en wanneer meer looptijd resteert. Bij expiratie nadert vega nul, doordat de uiteindelijke onderliggende koers de expiratiewaarde bepaalt. Vega verandert ook wanneer volatiliteit en moneyness veranderen.

Deze calculator gebruikt hele dagen. Expiratie vandaag betekent nul resterende modeltijd en een waarde gelijk aan de intrinsieke waarde, geen voorspelling van intraday-tijdswaardeverlies.

Waar speelt rente een rol?

Het uitgewerkte voorbeeld houdt de rente constant, maar een renteverandering zou een extra bijdrage opleveren. Rho meet de gevoeligheid voor een renteverandering van één procentpunt. Een callrho van $0.40 per aandeel schat bij gelijkblijvende overige parameters een premiestijging van $0.40 wanneer de rente van 4% naar 5% stijgt.

Een hogere rente verlaagt de contante waarde van de betaling tegen de uitoefenprijs. Dit is doorgaans gunstig voor callhouders, die mogelijk later betalen, en verlaagt de waarde van de toekomstige opbrengst voor puthouders. Rho is daarom meestal positief voor gekochte calls en negatief voor gekochte puts. Het effect is doorgaans belangrijker bij langer lopende contracten, omdat de mogelijke betaling tegen de uitoefenprijs verder in de toekomst ligt. 3

Grieken van een positie

Dezelfde gevoeligheden gelden voor een positie na verwerking van haar omvang en richting. Vermenigvuldig de griek per aandeel van iedere poot met de contractmultiplier en het aantal met teken: positief voor een gekochte poot, negatief voor een geschreven poot. Tel daarna de poten op.

Twee gekochte calls voor 100 aandelen, elk met een delta van 0.46, hebben een positiedelta van $2\times100\times0.46=92$ . Een kleine onderliggende stijging van $1 levert daarom bij gelijkblijvende overige parameters naar schatting $92 winst op. Die calls verkopen om te openen geeft daarentegen een positiedelta van -92, omdat een stijging de shortverplichting vergroot. Een geschreven poot keert ook de overige gevoeligheden van de overeenkomstige gekochte optie om.

Delta’s die elkaar bij één onderliggende koers bijna opheffen, kunnen na een beweging minder in evenwicht zijn wanneer de poten verschillende gamma’s hebben. Evenzo beschrijven elkaar opheffende vega’s een gezamenlijke IV-verandering; zij verwijderen de blootstelling niet wanneer de IV’s op verschillende uitoefenprijzen met verschillende bedragen veranderen.

De positiegrieken van de calculator bevatten de long- of shortzijde, het aantal en de multiplier al; schaal ze niet nogmaals. Zij gebruiken de datum van vandaag en Instapkoers, ook wanneer Analysedatum de koersgrafiek verandert.

Wiskundige definities en eenheden

Voor optiewaarde per aandeel $V$ en onderliggende koers $S$ is delta de eerste afgeleide van de waarde naar de koers en gamma de tweede afgeleide:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Deze uitdrukkingen beschrijven een gladde waardecurve. Bij expiratie hebben de expiratiewaarden van calls en puts een knik bij de uitoefenprijs, waar geen unieke helling en eindige gamma zijn gedefinieerd. Gevoeligheden van vóór expiratie mogen bij die knik niet als gewone afgeleiden worden behandeld.

Als de resterende tijd $T$ in jaren wordt gemeten, is de dagelijkse theta onder een rapportageconventie van 365 dagen:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Het minteken weerspiegelt de afname van de resterende tijd terwijl de kalendertijd verstrijkt. Deze deler voor rapportage verschilt van de jaarfractie op basis van 365.25 dagen die in de prijsvoorbeelden van deze calculator wordt gebruikt.

Wanneer de jaarlijkse volatiliteit $\sigma$ en rente $r$ als decimalen worden uitgedrukt, geeft deling van hun afgeleiden door 100 vega en rho per procentpunt:

\text{Vega}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}