옵션 그릭스

그릭스는 가격결정 입력값의 변화에 대한 옵션 모형 가치의 민감도를 측정합니다. 기초자산의 움직임, 시간 경과나 변동성 변화 등 각 변화 요인을 다른 입력값이 고정된 상태에서 따로 측정합니다. 고정된 특성이 아니라 국소적 변화율이므로, 입력값이 바뀌면 민감도도 대체로 달라집니다.

그릭스를 포지션에 적용할 때는 단위가 중요합니다. 주당 민감도에 계약 크기와 수량을 곱해야 포지션의 달러 기준 효과를 구할 수 있습니다. 매도 포지션에서는 대응하는 옵션 매수 노출의 부호가 반대가 됩니다.

델타

델타는 기초자산 가격의 작은 변화에 대한 옵션 가치의 반응을 측정합니다. 주가가 $750이고 콜의 델타가 0.46일 때 다른 입력값이 같다면, 주가가 $751로 오를 경우 콜 가치는 주당 약 $0.46 증가합니다. 따라서 100주를 대상으로 하는 매수 계약 한 개의 가치는 약 $46 증가합니다.

콜 매수의 델타는 보통 0과 1 사이, 풋 매수의 델타는 -1과 0 사이입니다. 델타가 -0.54인 풋은 기초자산이 $1 오르면 주당 약 $0.54 하락하고, $1 내리면 대략 같은 금액만큼 상승합니다. 깊은 내가격 옵션은 대체로 기초자산과 더 비슷하게 반응하고, 깊은 외가격 옵션은 작은 가격 변화에 덜 민감합니다.

델타는 국소적 가격 민감도입니다. 이를 큰 기초자산 변동의 정확한 예측치로 사용하면 가격 경로를 따라 옵션의 반응이 달라진다는 사실을 무시하게 됩니다.

감마

감마는 기초자산의 작은 변화에 따른 델타의 변화를 측정합니다. 예시 콜의 감마가 0.0075라면 기초자산이 $1 오를 때 델타는 약 0.46에서 0.4675로 증가합니다. 따라서 다음 가격 상승분에 대한 민감도는 출발점보다 커집니다.

콜·풋 매수는 보통 양의 감마를 갖습니다. 기초자산이 오르면 콜 델타는 커지고 풋의 음의 델타는 0에 가까워집니다. 기초자산이 내리면 풋 델타는 더 음수가 되어 추가 하락에서 얻는 가치 증가가 커집니다. 이처럼 감마는 옵션 가치 관계의 곡률을 설명합니다.

옵션 매도에서는 이 노출이 반대가 됩니다. 기초자산이 오르면 콜 매도 포지션의 델타는 더 음수가 되고, 기초자산이 내리면 풋 매도 포지션의 양의 델타는 커집니다. 두 경우 모두 포지션에 불리한 움직임이 계속될수록 반응의 크기가 점점 커질 수 있습니다.

만기 부근에는 만기 가치가 거의 없는 상태에서 기초자산을 밀접하게 따라가는 상태로의 전환이 행사가격 주변에 집중됩니다. 이 구간의 감마는 높을 수 있습니다. 더 깊은 내가격이나 외가격에서는 대체로 델타가 안정적이고 감마가 낮습니다.

세타

세타는 시간 경과의 영향을 측정하며, 보통 달력일 하루 기준으로 표시합니다. 주당 세타가 -$0.26이면 기초자산, 변동성과 기타 입력값이 같을 때 100주를 대상으로 하는 매수 계약 한 개의 가치가 하루에 약 $26 감소한다고 추정합니다.

잔존기간이 짧아지면 행사 권리가 더 가치 있어질 기회가 줄어들므로 매수 옵션의 세타는 보통 음수입니다. 등가격 부근에서는 만기에 가까워질수록 시간가치 감소 속도가 빨라지는 경우가 많습니다. 깊은 내가격이나 외가격 옵션은 시간가치가 거의 남지 않아 다른 패턴을 따를 수 있습니다.

금융 효과 때문에 이 일반적 관계에도 예외가 생길 수 있습니다. 유럽형 풋은 만기 전에는 행사로 행사가격 대금을 받을 수 없습니다. 금리가 양수이면 수령일이 가까워질수록 그 대금의 현재가치가 증가합니다. 불확실성이 거의 남지 않은 깊은 내가격 풋에서는 이 효과가 선택권 가치의 감소를 넘어 양의 세타를 만들 수 있습니다. 이는 유럽형 풋 공식의 할인 항에서 비롯되며, 매수 옵션이 언제나 시간 경과로 가치를 잃는다는 일반 규칙으로 설명할 수는 없습니다.

베가

베가는 내재변동성이 20%에서 21%로 오르는 것처럼 1퍼센트포인트 변할 때 옵션 가치가 반응하는 정도입니다. 다른 입력값이 같고 주당 베가가 $1.04이면, 그 변화로 프리미엄이 주당 약 $1.04, 100주를 대상으로 하는 매수 계약 한 개에서는 약 $104 증가한다고 추정합니다.

표준 콜·풋 매수는 보통 양의 베가를 갖습니다. 변동성이 높아지면 불리한 결과에서 행사를 강제하지 않으면서 유리한 잠재 결과의 가치를 높입니다. 베가는 등가격 부근이고 잔존기간이 길수록 큰 경우가 많습니다. 만기에는 최종 기초자산 가격으로 만기 가치가 결정되므로 0에 가까워집니다. 변동성과 머니니스가 바뀌어도 베가는 달라집니다.

로

로는 금리가 1퍼센트포인트 변할 때의 민감도를 측정합니다. 콜의 로가 주당 $0.40이면 다른 입력값이 같을 때 금리가 4%에서 5%로 상승하면 프리미엄이 약 $0.40 증가한다고 추정합니다.

금리 상승은 행사가격 대금의 현재가치를 낮춥니다. 이는 나중에 행사가격을 지급할 수 있는 콜 보유자에게 대체로 유리하고, 풋 보유자가 받을 미래 대금의 가치는 낮춥니다. 따라서 로는 보통 콜 매수에서 양수, 풋 매수에서 음수입니다. 장기 계약은 잠재적인 행사가격 지급 시점이 더 먼 미래에 있으므로 이 효과가 더 중요한 경향이 있습니다.

포지션 그릭스

포지션 민감도는 옵션의 표시 그릭스에 승수, 수량과 매수·매도 부호를 결합한 값입니다. 각 델타가 0.46이고 100주를 대상으로 하는 콜 두 계약을 매수하면 포지션 델타는 92입니다. 따라서 기초자산이 $1 소폭 오르면 약 $92의 가치 증가가 예상됩니다. 대신 같은 콜을 신규매도하면 상승이 매도 의무를 키우므로 포지션 델타는 -92가 됩니다.

멀티레그 포지션의 그릭스는 각 레그의 부호와 규모를 반영한 민감도의 합입니다. 한 기초자산 가격에서 거의 상쇄되던 델타도 레그별 감마가 다르면 가격 변동 후에는 덜 균형을 이룰 수 있습니다. 마찬가지로 상쇄되는 베가는 공통 IV 변화를 나타낼 뿐, 행사가격별 IV가 서로 다른 폭으로 변할 때의 노출을 제거하지는 않습니다.

수학적 정의와 단위

주당 옵션 가치를 $V$ , 기초자산 가격을 $S$ 라고 하면 델타는 가격에 대한 가치의 일차 미분, 감마는 이차 미분입니다.

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

이 식들은 매끄러운 가치 곡선을 설명합니다. 만기 시 콜·풋의 만기 가치에는 행사가격에서 꺾이는 지점이 생기며, 그 지점에서는 유일한 기울기와 유한한 감마가 정의되지 않습니다. 만기 전 민감도를 그 꺾임점의 일반적인 미분값으로 취급해서는 안 됩니다.

잔존기간 $T$ 를 연 단위로 측정한다면 365일 표시 기준의 일일 세타는 다음과 같습니다.

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

음의 부호는 달력상 시간이 지날수록 잔존기간이 줄어드는 것을 반영합니다. 이 표시 기준은 특정 가격 예시에서 사용하는 연 환산 기간과 구별해야 합니다. 해당 예시에서는 다른 일수 기준을 사용할 수 있습니다.

연간 변동성 $\sigma$ 와 금리 $r$ 를 소수로 표시할 때 각 미분값을 100으로 나누면 베가와 로를 퍼센트포인트당으로 나타낼 수 있습니다.

\text{베가}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

작은 변화의 결합

기초자산 가격 변화가 $x$ , 경과한 달력일이 $h$ , IV 변화가 $u$ 퍼센트포인트, 금리 변화가 $w$ 퍼센트포인트일 때 국소적 근사식은 다음과 같습니다.

\text{변화량: }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{베가}\,u+\rho w

감마 항은 기초자산 움직임 동안의 곡률을 보정합니다. 나머지 항은 지정된 변화량에 최초 민감도를 적용합니다. 이 근사식은 고차 효과와 입력값 사이의 상호작용을 생략하므로, 변화가 클 때는 전체 가격을 다시 계산하는 것이 더 신뢰할 만합니다.

위의 반올림된 예시 콜 민감도를 사용하여, 금리와 배당 가정이 같은 상태에서 하루 동안 기초자산이 $1 오르고 IV가 20%에서 19%로 하락하는 경우를 살펴보겠습니다.

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

추정 하락액은 주당 기준이며, 수량과 계약 승수를 적용하면 전체 포지션의 변화량이 됩니다. 이 예시에서는 시간 경과와 IV 하락이 기초자산 상승의 이익을 넘어섭니다. 이는 하나의 입력값이 유리하게 변했다고 옵션의 전체 가격 움직임이 결정되지는 않는 이유를 보여 줍니다.