옵션 그릭스

주가가 올라도 매수한 콜의 가치는 떨어질 수 있습니다. 주가 상승은 콜에 유리하지만, 시간 경과와 내재변동성(IV) 하락이 더 큰 가치를 빼앗을 수 있기 때문입니다. 그릭스는 다른 입력값을 고정한 채 각 입력 변화의 영향을 따로 추정합니다. 그릭스는 다음 가격을 정하는 고정 규칙이 아니라 현재 입력 부근의 국소 민감도입니다. 1

주가가 하루 동안 $750에서 $751로 오르고 IV가 20%에서 19%로 떨어지며 금리와 배당 가정은 같다고 하겠습니다. 아래의 반올림된 민감도는 주당 기준이고, 100주 승수의 콜 한 계약 매수를 예로 듭니다.

주가가 $1 오르는 효과부터 보겠습니다. 델타가 0.46이면 다른 입력값이 같을 때 콜 가치는 주당 약 $0.46, 매수 계약 한 개는 약 $46 증가합니다. 델타는 기초자산 가격 변화에 대한 이 국소 반응을 측정합니다.

이 반응은 가격이 움직이는 동안 일정하지 않습니다. 감마는 주가 변화에 따라 델타가 얼마나 바뀌는지 측정합니다. 감마가 0.0075라면 $1 상승으로 콜 델타는 약 0.46에서 0.4675로 올라갑니다. 아래 결합 근사에서는 이 곡률을 감마 항으로 보정합니다.

같은 시간에 콜의 잔존기간은 하루 줄어듭니다. 세타는 시간 경과 효과를 추정하며 여기서는 달력일 하루 기준입니다. 주당 세타가 -$0.26이면 주가, 변동성과 다른 입력값이 같을 때 100주 매수 계약 한 개가 하루에 약 $26 하락한다고 추정합니다.

IV 하락도 추가 감소를 만듭니다. 베가는 IV 1퍼센트포인트 변화에 대한 민감도입니다. 주당 베가가 $1.04라면 IV가 20%에서 21%로 오를 때 다른 입력값이 같으면 주당 약 $1.04, 계약 전체 약 $104가 늘어납니다. 이 예시는 반대로 20%에서 19%로 내려가므로 추정 기여는 음수입니다. 이는 IV의 비례 퍼센트 변화가 아니라 퍼센트포인트 변화입니다.

작은 변화들을 합치기

주가, 시간과 변동성 효과에 감마 곡률 보정을 더하면:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

추정 하락은 주당 약 $0.84, 100주 매수 계약 한 개에서 약 $84입니다. 시간 경과와 낮은 IV가 주가 상승의 이익을 넘어섭니다. 주가가 불리하게 움직이지 않았는데도 콜이 손실을 볼 수 있는 이유입니다. 델타만으로는 전체 변화를 설명할 수 없습니다.

일반적으로 기초자산 가격 변화가 $x$ 달러, 경과한 달력일이 $h$ , IV 변화가 $u$ 퍼센트포인트, 금리 변화가 $w$ 퍼센트포인트라면 주당 가치 변화의 국소 근사는:

\text{변화량 }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{베가}\,u+\rho w

감마 항은 델타의 곡률을 보정하고, 로는 이 예시에서 변하지 않은 금리 효과를 나타냅니다. 이 식은 시작점의 민감도를 사용하고 고차 효과와 입력값 간 상호작용을 생략합니다. 따라서 완전한 재가격이나 보장된 거래 결과가 아닙니다. 여러 입력값이 함께 크게 움직이면 시작 그릭스를 전체 변화에 그대로 적용하기보다 새 입력값으로 옵션을 다시 가격화해야 합니다.

주가 민감도가 달라지는 이유

콜의 양의 델타가 주가 상승이 콜에 유리한 이유를 설명합니다. 콜 매수 델타는 보통 0과 1 사이, 풋 매수 델타는 -1과 0 사이입니다. 델타 -0.54인 풋은 다른 입력값이 같을 때 주가가 $1 오르면 주당 약 $0.54 하락하고, $1 내리면 대략 그만큼 상승합니다. 깊은 내가격 옵션은 기초자산을 더 밀접하게 따르고 깊은 외가격 옵션은 작은 움직임에 덜 반응하는 경향이 있습니다.

콜·풋 매수는 보통 양의 감마를 갖습니다. 주가가 오르면 콜 델타는 커지고 풋 델타는 덜 음수가 됩니다. 주가가 내리면 풋 델타는 더 음수가 됩니다. 이 기울기의 변화가 옵션 가치 곡선의 곡률입니다. 2

옵션 매도는 이 노출의 부호를 뒤집습니다. 콜 매도의 델타는 주가 상승 시 더 음수가 되고, 풋 매도의 델타는 주가 하락 시 더 양수가 됩니다. 따라서 두 포지션 모두 불리한 방향의 추가 움직임이 더 큰 손실을 만들 수 있습니다.

감마는 만기에 가까운 행사가 부근에서 특히 높을 수 있습니다. 작은 가격 변화가 옵션 민감도를 급격히 바꾸기 때문입니다. 더 깊은 내가격이나 외가격에서는 델타가 대체로 더 안정적이고 감마가 낮습니다. 델타는 큰 가격 변화에 대한 정확한 지침도, 실제 세계의 정확한 행사 확률도 아닙니다.

시간과 변동성이 노출을 바꾸는 방식

예시의 음의 세타는 옵션 매수에서 흔합니다. 유리한 만기 가치가 생길 시간이 줄어들기 때문입니다. 등가격 부근에서는 만기에 가까워질수록 시간가치 감소가 빨라지는 경우가 많지만 깊은 내가격·외가격 옵션은 다른 패턴을 보일 수 있습니다.

세타가 항상 음수인 것은 아닙니다. 유럽형 풋은 행사로 행사가 대금을 받으려면 만기까지 기다려야 합니다. 금리가 양수라면 지급 시점이 가까워질수록 그 대금의 현재가치가 올라갑니다. 남은 불확실성이 적은 깊은 내가격 풋에서는 이 금융 효과가 선택권 가치 감소보다 커져 양의 세타가 될 수 있습니다. 2

예시의 양의 베가도 표준 콜·풋 매수에서 흔합니다. 높은 변동성은 불리한 결과에서 행사 의무를 만들지 않으면서 유리한 큰 만기 가치의 가능성을 높입니다. 베가는 등가격 부근과 잔존기간이 길 때 더 큰 경우가 많고, 변동성과 머니니스에 따라 달라지며 만기에는 0에 가까워집니다.

이 계산기는 달력일 전체를 사용합니다. 만기가 오늘이면 모델 잔존시간은 0이고 가치는 내재가치이며, 장중 시간가치 감소를 예측하는 것이 아닙니다.

금리는 어디에 들어가나요?

위 계산에서는 금리를 고정했지만 금리 변화가 있으면 추가 항이 생깁니다. 로는 금리 1퍼센트포인트 변화에 대한 민감도입니다. 콜의 주당 로가 $0.40이면 다른 입력값을 고정한 채 금리가 4%에서 5%로 오를 때 프리미엄이 약 $0.40 증가한다고 추정합니다.

금리 상승은 미래 행사가 대금의 현재가치를 낮춥니다. 이는 행사가 지급을 늦출 수 있는 콜 보유자에게 일반적으로 유리하고, 풋 보유자가 받을 미래 대금의 가치는 낮춥니다. 그래서 콜 매수의 로는 보통 양수, 풋 매수는 음수이고 장기 계약일수록 효과가 더 큰 경향이 있습니다. 3

포지션 그릭스

같은 민감도를 포지션에 적용할 때는 규모와 방향을 반영합니다. 각 레그의 주당 그릭스에 계약 승수와 부호 있는 수량을 곱합니다. 매수 레그는 양수, 매도 레그는 음수로 보고 모든 레그를 더합니다.

델타가 0.46이고 승수가 100인 콜 두 계약을 매수하면 포지션 델타는 $2\times100\times0.46=92$ 입니다. 다른 입력값이 같을 때 작은 $1 상승은 약 $92의 이익을 의미합니다. 같은 두 콜을 신규매도하면 델타는 -92입니다. 매도 레그는 다른 민감도도 대응하는 매수 옵션과 반대 부호를 갖습니다.

상쇄되는 그릭스가 계속 균형을 유지하는 것은 아닙니다. 레그별 감마가 다르면 주가 변화 후 델타 균형이 깨질 수 있습니다. 마찬가지로 상쇄되는 베가는 공통 IV 변화에 대한 설명일 뿐, 서로 다른 행사가의 IV가 다른 폭으로 움직이는 위험을 없애지 않습니다.

계산기의 포지션 그릭스에는 이미 방향, 수량과 승수가 반영되어 있으므로 다시 곱하지 마세요. 주가 그래프의 분석일이 바뀌어도 포지션 요약 그릭스는 오늘 날짜와 진입 가격을 사용합니다.

수학적 정의와 단위

주당 옵션 가치를 $V$ , 기초자산 가격을 $S$ 라고 하면 델타는 가격에 대한 1차 미분, 감마는 2차 미분입니다.

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

이 정의는 매끄러운 가치 곡선을 가정합니다. 만기에는 행사가에서 만기 가치가 꺾이므로 그 지점에서 하나의 기울기와 유한한 감마가 정의되지 않습니다.

잔존기간 $T$ 를 연 단위로 측정할 때 365일 보고 관례의 일일 세타는:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

음의 부호는 하루가 지날 때 잔존기간이 줄어드는 것을 반영합니다. 이 365일 보고 기준은 이 계산기의 가격 예시에서 연 환산에 사용하는 365.25일과 구별됩니다.

연 변동성 $\sigma$ 와 금리 $r$ 를 소수로 입력할 때, 각각의 미분을 100으로 나누면 베가와 로를 1퍼센트포인트당으로 표시할 수 있습니다.

\text{베가}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}