Греки опционов

Акция может расти, а купленный вами колл — дешеветь. Рост помогает коллу, но течение времени и снижение подразумеваемой волатильности (IV) могут убрать больше стоимости, чем добавляет движение акции. Греки помогают разделить эти эффекты, оценивая реакцию на каждый параметр при фиксированных остальных. Это локальные чувствительности, а не неизменные правила для следующей цены опциона. 1

Предположим, за один календарный день акция растёт с $750 до $751, а IV снижается с 20% до 19%, при неизменных процентных ставках и предположениях о дивидендах. Используем приведённые ниже округлённые иллюстративные чувствительности на акцию для одного купленного контракта с мультипликатором 100 акций.

Начнём с роста акции на $1. При дельте 0.46 он добавляет приблизительно $0.46 на акцию, или $46 к купленному контракту, если остальные параметры неизменны. Дельта измеряет эту локальную реакцию на цену базового актива.

Эта реакция не вполне постоянна на протяжении движения. Гамма измеряет изменение дельты при изменении цены базового актива. Если гамма колла из примера равна 0.0075, рост на $1 увеличивает его дельту приблизительно с 0.46 до 0.4675. Следовательно, чувствительность к следующему доллару движения становится немного выше. Поправка на гамму учтёт эту кривизну в оценке ниже.

Тем временем до экспирации колла остаётся на один день меньше. Тета измеряет влияние течения времени и здесь указывается на календарный день. Тета -$0.26 на акцию оценивает однодневное снижение примерно на $26 для одного купленного контракта на 100 акций, если базовый актив, волатильность и остальные параметры не меняются.

Падение IV вносит ещё одно снижение. Вега измеряет реакцию стоимости опциона на изменение подразумеваемой волатильности на один процентный пункт. Вега $1.04 на акцию оценивает прирост премии при повышении с 20% до 21% на $1.04 на акцию, или на $104 для одного купленного контракта на 100 акций, при неизменных остальных параметрах. В нашем примере изменение противоположное — с 20% до 19%, поэтому оценённый вклад отрицателен. Это изменения в процентных пунктах, а не пропорциональные процентные изменения IV.

Совместный учёт небольших изменений

Сложив эффекты цены акции, времени и волатильности, включая поправку на кривизну через гамму, получим:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

Оценённое снижение составляет около $0.84 на акцию, или $84 для одного купленного контракта на 100 акций. Течение времени и более низкая IV с избытком компенсируют выгоду от роста базового актива. Это объясняет, как колл может подешеветь без неблагоприятного для него движения акции; одна дельта описывает лишь часть изменения.

В общем случае пусть $x$ — изменение цены базового актива в долларах, $h$ — прошедшие календарные дни, $u$ — изменение IV в процентных пунктах, а $w$ — изменение процентной ставки в процентных пунктах. Локальное приближение изменения стоимости на акцию имеет вид:

\text{Изменение }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Вега}\,u+\rho w

Член с гаммой корректирует оценку дельты на кривизну; ро учитывает процентные ставки, которые в этом примере неизменны. Выражение использует исходные чувствительности и не учитывает эффекты более высоких порядков и взаимодействия параметров. Это приближение, а не полный пересчёт цены или гарантированный торговый результат. При существенных изменениях, особенно когда одновременно меняются несколько параметров, пересчитайте опцион при новых входных данных, а не распространяйте исходные греки на всё движение.

Почему меняется чувствительность к цене акции

Положительная дельта колла объясняет, почему рост акции помог его стоимости. Дельта купленных коллов обычно находится между нулём и единицей, а купленных путов — между минус единицей и нулём. Пут с дельтой -0.54 теряет приблизительно $0.54 на акцию после роста базового актива на $1 и прибавляет примерно столько же после падения на $1 при фиксированных остальных параметрах. Опционы глубоко в деньгах обычно реагируют всё больше как сам базовый актив, а опционы далеко вне денег — слабее на небольшое изменение цены.

Купленные коллы и путы обычно имеют положительную гамму. При росте базового актива дельта колла увеличивается, а отрицательная дельта пута движется к нулю. При падении базового актива дельта пута становится более отрицательной, увеличивая выигрыш от дальнейшего снижения. Таким образом, гамма описывает кривизну зависимости стоимости опциона от цены. 2

У короткого опциона эта чувствительность противоположна. При росте базового актива дельта позиции короткого колла становится более отрицательной, а при падении положительная дельта позиции короткого пута увеличивается. В обоих случаях продолжение неблагоприятного для позиции движения может вызывать всё больший убыток.

Вблизи экспирации переход от опциона с небольшой выплатой к опциону, тесно следующему за базовым активом, сосредоточивается около страйка. В этой области гамма может быть высокой. Глубже в деньгах или дальше вне денег дельта обычно устойчивее, а гамма ниже. Дельта не является ни точной оценкой крупного изменения цены, ни точной вероятностью исполнения в реальном мире.

Как время и волатильность меняют чувствительность

Отрицательная тета в примере типична для купленных опционов: остаётся меньше времени для формирования благоприятной выплаты. Вблизи денег временной распад часто ускоряется к экспирации. У опционов глубоко в деньгах или далеко вне денег может оставаться мало временной стоимости, поэтому их динамика бывает иной.

Отрицательная тета не универсальна. До экспирации держатель европейского пута не может получить выручку по страйку через исполнение. При положительных процентных ставках её приведённая стоимость увеличивается по мере приближения даты поступления. Для пута глубоко в деньгах с небольшой оставшейся неопределённостью этот эффект финансирования может перевесить потерю ценности опционного права и дать положительную тету. 2

Положительная вега в примере также типична для купленных стандартных коллов и путов. Более высокая волатильность повышает ценность возможных благоприятных исходов, не требуя исполнения при неблагоприятном. Вега часто выше вблизи денег и при большем оставшемся сроке. При экспирации она приближается к нулю, поскольку выплата определяется итоговой ценой базового актива. Её величина также меняется с волатильностью и денежностью.

Этот калькулятор использует целые дни. Экспирация сегодня означает нулевое оставшееся модельное время и внутреннюю стоимость, а не прогноз внутридневного распада.

Где учитываются процентные ставки

В разобранном примере ставки фиксированы, но их изменение добавило бы ещё один вклад. Ро измеряет чувствительность к изменению процентной ставки на один процентный пункт. Ро колла $0.40 на акцию оценивает прирост премии на $0.40 при повышении ставки с 4% до 5% и фиксированных остальных параметрах.

Более высокие ставки уменьшают приведённую стоимость платежа по страйку. Это обычно выгодно держателям коллов, которые могут уплатить страйк позже, и снижает стоимость будущей выручки держателей путов. Поэтому ро обычно положительна у купленных коллов и отрицательна у купленных путов. Эффект, как правило, значительнее для долгосрочных контрактов, поскольку возможный платёж по страйку сильнее отдалён во времени. 3

Греки позиции

Чувствительности позиции объединяют котируемый грек опциона с мультипликатором, количеством и знаком длинной или короткой стороны. Умножьте грек каждого компонента на акцию на его мультипликатор и количество со знаком: положительным для длинного компонента и отрицательным для короткого. Затем сложите компоненты.

Два купленных колла на 100 акций каждый с дельтой 0.46 имеют дельту позиции $2\times100\times0.46=92$ . Поэтому небольшой рост базового актива на $1 даёт оценку выигрыша $92 при фиксированных остальных параметрах. Если вместо покупки продать эти коллы для открытия, дельта позиции будет -92. Короткий компонент аналогично меняет на противоположные и остальные чувствительности соответствующего длинного опциона.

Грек многокомпонентной позиции — сумма чувствительностей её компонентов с учётом знаков и размеров. Дельты, почти компенсирующие друг друга при одной цене базового актива, после движения могут стать менее сбалансированными, если гаммы компонентов различаются. Аналогично, взаимная компенсация вег описывает общее изменение IV; она не устраняет риск, если IV разных страйков меняются на разные величины.

Греки позиции в калькуляторе уже учитывают сторону, количество и мультипликатор; не масштабируйте их повторно. Они используют сегодняшнюю дату и значение поля Цена входа, даже когда Дата анализа меняет график зависимости от цены акции.

Математические определения и единицы измерения

Для стоимости опциона на акцию $V$ и цены базового актива $S$ дельта — первая производная стоимости по цене, а гамма — вторая:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Эти выражения описывают гладкую кривую стоимости. При экспирации у выплат колла и пута есть излом на страйке, где единственный наклон и конечная гамма не определены. Чувствительности до экспирации нельзя трактовать как обычные производные в этой точке излома.

Если оставшееся время $T$ измеряется в годах, дневная тета при принятом для отчётности 365-дневном годе равна:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Знак минус отражает сокращение оставшегося времени по мере течения календарного. Этот делитель для представления показателя отличается от базы 365.25 дня, используемой для доли года в примерах оценки этого калькулятора.

Когда годовая волатильность $\sigma$ и процентная ставка $r$ выражены десятичными дробями, деление производных по ним на 100 даёт вегу и ро на один процентный пункт:

\text{Вега}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}