Греки опционов

Греки измеряют чувствительность модельной стоимости опциона к изменениям параметров оценки. Каждый выделяет один источник изменения при фиксированных остальных — например движение базового актива, течение времени или изменение волатильности. Это локальные скорости изменения, а не постоянные характеристики: при изменении входных данных чувствительности обычно тоже меняются.

При применении грека к позиции важны единицы измерения. Чувствительность на акцию нужно умножить на размер и количество контрактов, чтобы получить долларовый эффект для позиции. Короткая позиция меняет знак соответствующей чувствительности длинного опциона на противоположный.

Дельта

Дельта измеряет реакцию стоимости опциона на небольшое изменение цены базового актива. Для колла на акции с ценой $750 и дельтой 0.46 рост до $751 добавляет приблизительно $0.46 на акцию к стоимости колла при неизменных остальных параметрах. Поэтому один купленный контракт на 100 акций дорожает примерно на $46.

Дельта купленных коллов обычно находится между нулём и единицей, а купленных путов — между минус единицей и нулём. Пут с дельтой -0.54 теряет приблизительно $0.54 на акцию после роста базового актива на $1 и прибавляет примерно столько же после падения на $1. Опционы глубоко в деньгах обычно реагируют всё больше как сам базовый актив, а опционы далеко вне денег — слабее на небольшое изменение цены.

Дельта — локальная чувствительность к цене. Используя её как точный прогноз при крупном движении базового актива, игнорируют изменение реакции опциона по ходу ценовой траектории.

Гамма

Гамма измеряет изменение дельты при небольшом изменении базового актива. Если гамма колла из примера равна 0.0075, рост на $1 увеличивает его дельту приблизительно с 0.46 до 0.4675. Следовательно, чувствительность к следующему приращению цены становится выше, чем в исходной точке.

Купленные коллы и путы обычно имеют положительную гамму. При росте базового актива дельта колла увеличивается, а отрицательная дельта пута движется к нулю. При падении базового актива дельта пута становится более отрицательной, увеличивая выигрыш от дальнейшего снижения. Таким образом, гамма описывает кривизну зависимости стоимости опциона от цены.

У короткого опциона эта чувствительность противоположна. При росте базового актива дельта позиции короткого колла становится более отрицательной, а при падении положительная дельта позиции короткого пута увеличивается. В обоих случаях продолжение неблагоприятного для позиции движения может вызывать всё более сильную реакцию.

Вблизи экспирации переход от опциона с небольшой выплатой к опциону, тесно следующему за базовым активом, сосредоточивается около страйка. В этой области гамма может быть высокой. Глубже в деньгах или дальше вне денег дельта обычно устойчивее, а гамма ниже.

Тета

Тета измеряет влияние течения времени и обычно указывается на календарный день. Тета -$0.26 на акцию оценивает однодневное снижение примерно на $26 для одного купленного контракта на 100 акций, если базовый актив, волатильность и остальные параметры не меняются.

У купленных опционов тета обычно отрицательна: более короткий оставшийся срок уменьшает возможности повышения ценности прав исполнения. Вблизи денег временной распад часто ускоряется к экспирации. У опционов глубоко в деньгах или далеко вне денег может оставаться мало временной стоимости, поэтому их динамика бывает иной.

Финансирование может вносить оговорки в эту обычную зависимость. До экспирации держатель европейского пута не может получить выручку по страйку через исполнение. При положительных процентных ставках её приведённая стоимость увеличивается по мере приближения даты поступления. Для пута глубоко в деньгах с небольшой оставшейся неопределённостью этот эффект может перевесить потерю ценности опционного права и дать положительную тету. Он следует из дисконтирующего члена формулы европейского пута, а не из общего правила, будто купленные опционы всегда дешевеют со временем.

Вега

Вега измеряет реакцию стоимости опциона на изменение подразумеваемой волатильности на один процентный пункт, например с 20% до 21%. Вега $1.04 на акцию оценивает увеличение премии при таком изменении на $1.04 на акцию, или на $104 для одного купленного контракта на 100 акций, при неизменных остальных параметрах.

Купленные стандартные коллы и путы обычно имеют положительную вегу. Более высокая волатильность повышает ценность возможных благоприятных исходов, не требуя исполнения при неблагоприятном. Вега часто выше вблизи денег и при большем оставшемся сроке. При экспирации она приближается к нулю, поскольку выплата определяется итоговой ценой базового актива. Её величина также меняется с волатильностью и денежностью.

Ро

Ро измеряет чувствительность к изменению процентной ставки на один процентный пункт. Ро колла $0.40 на акцию оценивает прирост премии на $0.40 при повышении ставки с 4% до 5% и фиксированных остальных параметрах.

Более высокие ставки уменьшают приведённую стоимость платежа по страйку. Это обычно выгодно держателям коллов, которые могут уплатить страйк позже, и снижает стоимость будущей выручки держателей путов. Поэтому ро обычно положительна у купленных коллов и отрицательна у купленных путов. Эффект, как правило, значительнее для долгосрочных контрактов, поскольку возможный платёж по страйку сильнее отдалён во времени.

Греки позиции

Чувствительности позиции объединяют котируемый грек опциона с мультипликатором, количеством и знаком длинной или короткой стороны. Два купленных колла на 100 акций каждый с дельтой 0.46 имеют дельту позиции 92. Поэтому небольшой рост базового актива на $1 даёт оценку выигрыша $92. Если вместо покупки продать эти коллы для открытия, дельта позиции будет -92, поскольку рост увеличивает короткое обязательство.

Грек многокомпонентной позиции — сумма чувствительностей её компонентов с учётом знаков и размеров. Дельты, почти компенсирующие друг друга при одной цене базового актива, после движения могут стать менее сбалансированными, если гаммы компонентов различаются. Аналогично, взаимная компенсация вег описывает общее изменение IV; она не устраняет риск, если IV разных страйков меняются на разные величины.

Математические определения и единицы измерения

Для стоимости опциона на акцию $V$ и цены базового актива $S$ дельта — первая производная стоимости по цене, а гамма — вторая:

\Delta=\frac{\partial V}{\partial S},\qquad \Gamma=\frac{\partial^2V}{\partial S^2}

Эти выражения описывают гладкую кривую стоимости. При экспирации у выплат колла и пута есть излом на страйке, где единственный наклон и конечная гамма не определены. Чувствительности до экспирации нельзя трактовать как обычные производные в этой точке излома.

Если оставшееся время $T$ измеряется в годах, дневная тета при принятом для отчётности 365-дневном годе равна:

\Theta=-\frac{1}{365}\frac{\partial V}{\partial T}

Знак минус отражает сокращение оставшегося времени по мере течения календарного. Принятую методику представления показателя нужно отличать от доли года в конкретном примере оценки, где может использоваться другая база.

Когда годовая волатильность $\sigma$ и процентная ставка $r$ выражены десятичными дробями, деление производных по ним на 100 даёт вегу и ро на один процентный пункт:

\text{Вега}=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial\sigma},\qquad \rho=\frac{1}{100}\frac{\partial V}{\partial r}

Совместный учёт небольших изменений

Для изменения цены базового актива $x$ , прошедших календарных дней $h$ , изменения IV на $u$ процентных пунктов и ставки на $w$ процентных пунктов локальное приближение имеет вид:

\text{Изменение }V\approx \Delta x+\tfrac12\Gamma x^2+\Theta h+\text{Вега}\,u+\rho w

Член с гаммой учитывает кривизну при движении базового актива. Остальные члены применяют исходные чувствительности к указанным изменениям. Приближение не учитывает эффекты более высоких порядков и взаимодействия параметров, поэтому при существенных изменениях надёжнее полностью пересчитать цену.

Используя приведённые выше округлённые чувствительности условного колла, рассмотрим рост базового актива на $1 за один день при снижении IV с 20% до 19%, неизменных ставках и предположениях о дивидендах:

0.46+\tfrac12(0.0075)(1)^2-0.26-1.04\approx-\$0.84

Оценённое снижение дано на акцию; количество и мультипликатор контракта переводят его в результат позиции. В этом примере течение времени и более низкая IV с избытком компенсируют выгоду от роста базового актива. Расчёт показывает, почему одно благоприятное изменение параметра не определяет общее движение цены опциона.