Payoff e punto di pareggio

Il payoff di un’opzione è il suo valore a scadenza prima di includere il premio di apertura. Il profitto o la perdita, abbreviato P/L, include il premio pagato o incassato e, in un calcolo interamente netto, le spese pertinenti. Un punto di pareggio è un prezzo del sottostante al quale il profitto o la perdita specificati sono nulli. Distinguere queste misure è necessario quando si confrontano contratti, si combinano gambe o si interpreta un grafico a scadenza.

Dal payoff al profitto o alla perdita

Una call ha un payoff positivo a scadenza quando il sottostante chiude sopra lo strike; una put lo ha quando il sottostante chiude sotto lo strike. Per un prezzo finale del sottostante $S_T$ e uno strike $K$, il payoff per azione della call $C_T$ e quello della put $P_T$ sono:

La funzione massimo seleziona zero quando non esiste una differenza favorevole rispetto allo strike. In un’opzione su azioni o ETF con consegna fisica, l’importo risultante misura il vantaggio economico dell’operazione azionaria all’esercizio. Non implica un pagamento separato in contanti di quell’importo. I contratti con regolamento in contanti corrispondono invece in denaro il valore di esercizio previsto.

Il risultato di un’opzione acquistata è il suo valore meno il premio di apertura per azione $p$. Quello di un’opzione venduta è il premio incassato meno il valore dell’obbligo. Con quantità di contratti $q$ e moltiplicatore $M$:

A scadenza, il «Valore dell’opzione» è il payoff sopra indicato. Per un contratto standard, $q=1$ e $M=100$, quindi un profitto di $2 per azione diventa $200. Le formule utilizzano i premi pagati o incassati; le commissioni del broker riducono il risultato netto e possono spostare il punto di pareggio.

Punti di pareggio delle singole opzioni

Una call con strike $775 acquistata a $8.50 per azione ha un payoff di $5 quando il prezzo a scadenza è $780, lasciando una perdita di $3.50 per azione. A $783.50, il payoff è $8.50 e recupera esattamente il premio. Una put con strike $725 acquistata a $6.50 raggiunge il punto corrispondente a $718.50, dove il suo diritto di vendita offre un vantaggio di $6.50 per azione.

Per un premio di apertura positivo, ponendo uguale a zero il risultato della posizione lunga o corta si ottiene:

Lo stesso premio di apertura attribuisce ai lati lungo e corto lo stesso punto di pareggio, perché i loro risultati hanno segno opposto. La quantità modifica il risultato in dollari, ma non queste condizioni per azione. Un punto di pareggio calcolato per una put inferiore a zero è esterno all’intervallo di prezzi raggiungibile da un’azione o un ETF.

Combinare le gambe di opzioni

Una posizione multigamba somma il profitto o la perdita delle sue componenti. In un esempio ipotetico, SPY quota $750 e una posizione acquista una call con strike $750 a $18.50 per azione, vendendo al contempo una call con strike $775 a $8.50. Entrambi i contratti hanno 45 giorni residui e riguardano 100 azioni. Il premio incassato compensa parte di quello pagato, lasciando un debito netto di $10 per azione, ossia $1,000.

A $750 o meno a scadenza, entrambe le call hanno payoff nullo e l’intero debito viene perso. Tra gli strike, soltanto la call acquistata ha valore intrinseco. Sopra $775, entrambe le call hanno valore intrinseco, ma quella venduta compensa ogni ulteriore aumento del payoff di quella acquistata.

La tabella include il debito di $10 in ogni risultato combinato. A $800, per esempio, le call hanno un payoff netto di $25, non un profitto di $25: il costo di apertura riduce il profitto a $15 per azione. Questa è la struttura a scadenza di un bull call spread.

Intervalli di prezzo e forma del grafico

Ogni strike modifica la pendenza del payoff di un’opzione. Per lo spread dell’esempio, il risultato totale in dollari è:

Sotto lo strike inferiore, il risultato è la perdita fissa del debito di $1,000. Tra gli strike, ogni rialzo di $1 aggiunge $100 e l’espressione centrale si annulla a $760. Allo strike superiore e oltre, la differenza tra i payoff delle call è fissa a $25 per azione. Dopo il debito di $10, il profitto massimo è $1,500.

Una posizione con più strike presenta più intervalli di prezzo. In ogni intervallo, un portafoglio di call e put standard con scadenza comune ha una funzione di profitto o perdita rettilinea. Risolvere tale funzione ponendola uguale a zero individua un punto di pareggio soltanto se la soluzione ricade nell’intervallo pertinente. Più intervalli possono contenere radici e un segmento orizzontale a zero crea un intero intervallo di pareggio. Per esempio, un’opzione acquisita a premio nullo raggiunge il pareggio in tutta la regione in cui il suo payoff è zero.

Formula generale della posizione

Per opzioni su un unico sottostante con scadenza comune, la gamba $i$ abbia payoff per azione $I_i(S_T)$, premio di apertura $p_i$, quantità $q_i$ e moltiplicatore $M_i$. Si assegni $s_i=+1$ a una gamba acquistata e $s_i=-1$ a una gamba venduta. Il risultato combinato è:

Ogni $I_i$ è il payoff della call o put, espresso mediante la funzione massimo e valutato allo strike di quella gamba. Il segno inverte sia il trattamento del payoff sia quello del premio per un’opzione venduta. Aumentare nella stessa proporzione la quantità di ogni gamba moltiplica il risultato in dollari; cambiare il rapporto tra le gambe può modificare pendenze, punti di pareggio e perdita massima.

Profitto massimo e perdita massima

Un segmento rettilineo non orizzontale raggiunge i suoi valori estremi agli estremi del segmento. Di conseguenza, gli estremi finiti a scadenza di un portafoglio fisso di call e put standard su azioni o ETF si possono individuare valutando il risultato a zero e a ogni strike, per poi esaminare la regione sopra lo strike più alto. Questo metodo deriva direttamente dalla formula del payoff lineare a tratti.

In quella regione superiore, le put hanno payoff nullo e ogni call guadagna un’unità di valore per ogni unità di rialzo del sottostante. Dopo aver applicato quantità, moltiplicatori e segni delle posizioni, un’esposizione eccedente in call acquistate produce una pendenza positiva e un profitto potenziale illimitato. Un’esposizione eccedente in call vendute produce una pendenza negativa e una perdita potenziale illimitata. Esposizioni uguali in call acquistate e vendute lasciano una regione superiore piatta. Il vincolo di prezzo zero fornisce l’estremo inferiore del dominio dei prezzi di un’azione o ETF.

Valutazione prima della scadenza

Il risultato di una chiusura anticipata utilizza i prezzi delle opzioni disponibili al momento dell’operazione, incluso il valore temporale residuo. Una call acquistata può quindi essere venduta in profitto prima che il sottostante raggiunga il suo punto di pareggio a scadenza. Il prezzo necessario per un esito con P/L nullo prima della scadenza dipende da tempo residuo, volatilità e altri parametri di valutazione, non dal solo valore intrinseco.

Scadenze diverse richiedono un diverso orizzonte di valutazione. Quando scade la prima opzione, una gamba con scadenza più lontana conserva ancora una durata residua. Il suo valore di mercato o di modello va incluso insieme al payoff della gamba in scadenza. Trattare entrambe le gambe come se scadessero alla prima data ometterebbe il valore dell’opzione ancora in essere e rappresenterebbe in modo errato il risultato combinato.