Auszahlung und Gewinnschwelle

Die Auszahlung einer Option ist ihr Wert bei Verfall vor Berücksichtigung der Eröffnungsprämie. Gewinn oder Verlust, kurz GuV, berücksichtigt die gezahlte oder erhaltene Optionsprämie und bei einer vollständigen Nettoberechnung auch die relevanten Kosten. Eine Gewinnschwelle ist ein Basiswertkurs, bei dem der jeweils berechnete Gewinn oder Verlust null beträgt. Diese Größen müssen beim Vergleich von Kontrakten, bei der Kombination von Legs und bei der Interpretation eines Verfallsdiagramms auseinandergehalten werden.

Von der Auszahlung zum Gewinn oder Verlust

Ein Call hat eine positive Auszahlung bei Verfall, wenn der Basiswert oberhalb des Basispreises endet; ein Put hat eine positive Auszahlung, wenn er darunter endet. Für den abschließenden Basiswertkurs $S_T$ und den Basispreis $K$ lauten die Call-Auszahlung $C_T$ und die Put-Auszahlung $P_T$ je Aktie:

Die Maximumfunktion wählt null, wenn keine günstige Differenz zum Basispreis besteht. Bei einer Aktien- oder ETF-Option mit physischer Lieferung misst der resultierende Betrag den wirtschaftlichen Vorteil der Aktientransaktion bei Ausübung. Er bedeutet keine gesonderte Geldzahlung in dieser Höhe. Kontrakte mit Barausgleich zahlen dagegen den festgelegten Ausübungswert in Geld.

Das Ergebnis einer Long-Option ist ihr Wert abzüglich der Eröffnungsprämie je Aktie $p$. Das Ergebnis einer Short-Option ist die erhaltene Optionsprämie abzüglich des Werts ihrer Verpflichtung. Mit der Kontraktzahl $q$ und dem Multiplikator $M$ gilt:

Bei Verfall ist der „Optionswert“ die oben angegebene Auszahlung. Für einen Standardkontrakt gelten $q=1$ und $M=100$, sodass aus einem Gewinn von $2 je Aktie ein Betrag von $200 wird. Die Formeln verwenden die gezahlten oder erhaltenen Optionsprämien; Brokergebühren verringern das Nettoergebnis und können die Gewinnschwelle verschieben.

Gewinnschwellen einzelner Optionen

Ein Call mit einem Basispreis von $775, der für $8.50 je Aktie gekauft wurde, hat bei einem Verfallskurs von $780 eine Auszahlung von $5 und damit einen Verlust von $3.50 je Aktie. Bei $783.50 beträgt seine Auszahlung $8.50 und deckt die Optionsprämie exakt. Ein Put mit einem Basispreis von $725, der für $6.50 gekauft wurde, erreicht den entsprechenden Punkt bei $718.50; dort bietet sein Verkaufsrecht einen Vorteil von $6.50 je Aktie.

Bei positiver Eröffnungsprämie ergibt das Gleichsetzen des Long- oder Short-Ergebnisses mit null:

Bei gleicher Eröffnungsprämie haben Long- und Short-Seite dieselbe Gewinnschwelle, weil ihre Ergebnisse jeweils das Negative voneinander sind. Die Kontraktzahl verändert den Dollarbetrag, nicht aber diese Bedingungen je Aktie. Eine berechnete Put-Gewinnschwelle unter null liegt außerhalb des für eine Aktie oder einen ETF erreichbaren Kursbereichs.

Kombination von Options-Legs

Eine Position mit mehreren Legs addiert die Gewinne oder Verluste ihrer Bestandteile. In einem hypothetischen Beispiel notiert SPY bei $750. Die Position kauft einen Call mit einem Basispreis von $750 zu $18.50 je Aktie und verkauft zugleich einen Call mit einem Basispreis von $775 zu $8.50. Beide Kontrakte haben eine Restlaufzeit von 45 Tagen und umfassen 100 Aktien. Die erhaltene Optionsprämie gleicht einen Teil der Kaufprämie aus, sodass eine Nettobelastung von $10 je Aktie beziehungsweise $1,000 verbleibt.

Bei $750 oder darunter haben beide Calls bei Verfall eine Auszahlung von null, und die gesamte Nettobelastung geht verloren. Zwischen den Basispreisen hat nur der gekaufte Call inneren Wert. Oberhalb von $775 haben beide Calls inneren Wert, doch der Short Call gleicht jeden weiteren Anstieg der Auszahlung des Long Calls aus.

Die Tabelle berücksichtigt die Nettobelastung von $10 in jedem Gesamtergebnis. Bei $800 haben die Calls beispielsweise eine Nettoauszahlung von $25, keinen Gewinn von $25: Die Einstiegskosten verringern den Gewinn auf $15 je Aktie. Dies ist die Verfallsstruktur eines Bull-Call-Spreads.

Kursbereiche und Diagrammverlauf

Jeder Basispreis verändert die Steigung einer Optionsauszahlung. Für den Beispiel-Spread lautet das gesamte Dollarergebnis:

Unterhalb des niedrigeren Basispreises besteht das Ergebnis aus dem festen Verlust der Nettobelastung von $1,000. Zwischen den Basispreisen erhöht jeder Anstieg um $1 das Ergebnis um $100; der mittlere Ausdruck erreicht bei $760 den Wert null. Am und oberhalb des höheren Basispreises bleibt die Auszahlungsdifferenz der Calls bei $25 je Aktie. Nach der Nettobelastung von $10 beträgt der maximale Gewinn $1,500.

Eine Position mit mehr Basispreisen hat mehr Kursbereiche. Innerhalb jedes Bereichs verläuft die Gewinn- oder Verlustfunktion eines Portfolios aus Standard-Calls und -Puts mit gemeinsamem Verfallstermin geradlinig. Das Auflösen dieser Funktion nach null liefert nur dann eine Gewinnschwelle, wenn die Lösung innerhalb des betreffenden Bereichs liegt. Mehrere Bereiche können Nullstellen enthalten, und ein waagerechter Abschnitt bei null schafft ein ganzes Gewinnschwellenintervall. Eine ohne Optionsprämie erworbene Option erzielt beispielsweise im gesamten Bereich, in dem ihre Auszahlung null beträgt, ein ausgeglichenes Ergebnis.

Allgemeine Positionsformel

Für Optionen auf einen Basiswert mit gemeinsamem Verfallstermin habe das Leg $i$ die Auszahlung je Aktie $I_i(S_T)$, die Eröffnungsprämie $p_i$, die Kontraktzahl $q_i$ und den Multiplikator $M_i$. Ein gekauftes Leg erhält das Vorzeichen $s_i=+1$, ein Short-Leg das Vorzeichen $s_i=-1$. Das Gesamtergebnis lautet:

Jedes $I_i$ ist die mit der Maximumfunktion berechnete Call- oder Put-Auszahlung am Basispreis dieses Legs. Das Vorzeichen kehrt bei einer Short-Option sowohl die Behandlung der Auszahlung als auch der Optionsprämie um. Werden die Kontraktzahlen aller Legs im selben Verhältnis erhöht, skaliert dies den Dollarbetrag. Eine Änderung des Verhältnisses zwischen den Legs kann dagegen Steigungen, Gewinnschwellen und maximalen Verlust verändern.

Maximaler Gewinn und maximaler Verlust

Ein nicht waagerechter gerader Abschnitt erreicht seine Extremwerte an seinen Endpunkten. Endliche Extremwerte bei Verfall eines festen Portfolios aus Standard-Calls und -Puts auf Aktien oder ETFs lassen sich daher ermitteln, indem das Ergebnis bei null und an jedem Basispreis berechnet und anschließend der Bereich oberhalb des höchsten Basispreises untersucht wird. Diese Methode folgt unmittelbar aus der abschnittsweise linearen Auszahlungsformel.

In diesem oberen Bereich haben Puts keine Auszahlung, und jeder Call gewinnt je Einheit Basiswertanstieg eine Werteinheit. Nach Berücksichtigung von Kontraktzahlen, Multiplikatoren und Positionsvorzeichen erzeugt ein Überhang gekaufter Calls eine positive Steigung und unbegrenztes Gewinnpotenzial. Ein Überhang an Short Calls erzeugt eine negative Steigung und unbegrenztes Verlustpotenzial. Gleich große Long- und Short-Call-Positionen hinterlassen einen waagerechten oberen Bereich. Die Kursgrenze von null bildet den unteren Endpunkt des Kursbereichs einer Aktie oder eines ETFs.

Bewertung vor dem Verfall

Ein vorzeitiges Schließungsergebnis verwendet die zum Handelszeitpunkt verfügbaren Optionspreise einschließlich des verbleibenden Zeitwerts. Ein Long Call kann daher mit Gewinn verkauft werden, bevor der Basiswert seine Gewinnschwelle bei Verfall erreicht. Der für ein früheres Ergebnis von null erforderliche Kurs hängt von Restlaufzeit, Volatilität und weiteren Bewertungsparametern ab, nicht allein vom inneren Wert.

Unterschiedliche Verfallstermine erfordern einen anderen Bewertungshorizont. Wenn die erste Option verfällt, hat ein später verfallendes Leg noch eine Restlaufzeit. Sein Markt- oder Modellwert muss neben der Auszahlung des verfallenden Legs berücksichtigt werden. Würden beide Legs so behandelt, als verfielen sie am ersten Termin, bliebe der Wert der fortbestehenden Option unberücksichtigt, und das Gesamtergebnis wäre falsch dargestellt.