Valeur à l’échéance et seuil de rentabilité

La valeur à l’échéance d’une option s’entend avant prise en compte de la prime d’ouverture. Le gain ou la perte, abrégé G/P, intègre la prime payée ou reçue et, dans un calcul entièrement net, les frais pertinents. Un seuil de rentabilité est un cours du sous-jacent auquel le gain ou la perte défini est nul. Il est nécessaire de distinguer ces mesures pour comparer des contrats, combiner des jambes ou interpréter un graphique à l’échéance.

De la valeur à l’échéance au gain ou à la perte

Un call a une valeur positive à l’échéance lorsque le sous-jacent termine au-dessus du prix d’exercice ; un put a une valeur positive lorsque le sous-jacent termine en dessous. Pour un cours final du sous-jacent $S_T$ et un prix d’exercice $K$, la valeur à l’échéance par action du call $C_T$ et celle du put $P_T$ sont :

La fonction maximum retient zéro en l’absence d’écart favorable avec le prix d’exercice. Pour une option sur actions ou ETF à livraison physique, le montant obtenu mesure l’avantage économique de la transaction sur actions lors de l’exercice. Il n’implique pas un paiement séparé de ce montant en espèces. Les contrats à règlement en espèces donnent, eux, lieu au paiement monétaire de la valeur d’exercice spécifiée.

Le résultat d’une option achetée correspond à sa valeur diminuée de la prime d’entrée par action $p$. Le résultat d’une option vendue correspond à la prime reçue diminuée de la valeur de son obligation. Avec un nombre de contrats $q$ et un multiplicateur $M$ :

À l’échéance, la « Valeur de l’option » est la valeur finale définie ci-dessus. Pour un contrat standard, $q=1$ et $M=100$ : un gain de $2 par action devient donc $200. Les formules utilisent les primes payées ou reçues ; les frais de courtage réduisent le résultat net et peuvent déplacer le seuil de rentabilité.

Seuils de rentabilité d’une option seule

Un call de prix d’exercice $775 acheté à $8.50 par action vaut $5 lorsque le cours à l’échéance est de $780, ce qui laisse une perte de $3.50 par action. À $783.50, sa valeur à l’échéance est de $8.50 et couvre exactement la prime. Un put de prix d’exercice $725 acheté à $6.50 atteint le point correspondant à $718.50, où son droit de vente procure un avantage de $6.50 par action.

Pour une prime d’entrée positive, l’annulation du résultat acheteur ou vendeur donne :

Une même prime d’entrée donne aux positions acheteuse et vendeuse le même seuil de rentabilité, car leurs résultats sont opposés. La quantité modifie le résultat en dollars, mais pas ces conditions par action. Un seuil de rentabilité de put calculé sous zéro se situe hors de la plage de cours atteignable pour une action ou un ETF.

Combinaison des jambes d’options

Une position à plusieurs jambes additionne les gains ou pertes de ses composantes. Dans un exemple hypothétique, SPY cote $750 et une position achète un call de prix d’exercice $750 pour $18.50 par action tout en vendant un call de prix d’exercice $775 pour $8.50. Les deux contrats ont 45 jours restants et portent sur 100 actions. La prime reçue compense une partie de la prime d’achat, laissant un débit net de $10 par action, soit $1,000.

À $750 ou en dessous à l’échéance, les deux calls ont une valeur nulle et le débit est intégralement perdu. Entre les prix d’exercice, seul le call acheté a une valeur intrinsèque. Au-dessus de $775, les deux calls ont une valeur intrinsèque, mais le call vendu compense chaque augmentation supplémentaire de la valeur du call acheté.

Le tableau inclut le débit de $10 dans chaque résultat combiné. À $800, par exemple, les calls ont une valeur nette à l’échéance de $25, et non un gain de $25 : le coût d’entrée ramène le gain à $15 par action. Il s’agit de la structure à l’échéance d’un spread haussier sur calls.

Zones de cours et forme du graphique

Chaque prix d’exercice modifie la pente de la valeur d’une option à l’échéance. Pour le spread de l’exemple, le résultat total en dollars est :

Sous le prix d’exercice inférieur, le résultat est la perte fixe du débit de $1,000. Entre les prix d’exercice, chaque hausse de $1 ajoute $100, et l’expression centrale s’annule à $760. Au prix d’exercice supérieur et au-delà, l’écart de valeur des calls à l’échéance est fixé à $25 par action. Après déduction du débit de $10, le gain maximal est de $1,500.

Une position comportant davantage de prix d’exercice présente davantage de zones de cours. Dans chacune, un portefeuille de calls et puts standard de même échéance possède une fonction de gain ou perte affine. Résoudre l’équation qui annule cette fonction n’identifie un seuil de rentabilité que si la solution se trouve dans la zone concernée. Plusieurs zones peuvent contenir des racines, et un segment plat à zéro crée un intervalle entier de rentabilité nulle. Par exemple, une option acquise sans prime atteint l’équilibre dans toute la zone où sa valeur à l’échéance est nulle.

Formule générale d’une position

Pour des options sur un même sous-jacent et de même échéance, supposons que la jambe $i$ ait une valeur à l’échéance par action $I_i(S_T)$, une prime d’entrée $p_i$, une quantité $q_i$ et un multiplicateur $M_i$. Attribuons $s_i=+1$ à une jambe achetée et $s_i=-1$ à une jambe vendue. Le résultat combiné est :

Chaque $I_i$ est la valeur à l’échéance du call ou du put, calculée par la fonction maximum au prix d’exercice de la jambe. Le signe inverse à la fois le traitement de la valeur finale et celui de la prime pour une option vendue. Augmenter la quantité de toutes les jambes dans une même proportion met le résultat en dollars à l’échelle ; modifier le ratio entre les jambes peut changer les pentes, les seuils de rentabilité et la perte maximale.

Gain maximal et perte maximale

Un segment de droite non horizontal atteint ses valeurs extrêmes à ses extrémités. Par conséquent, les extrêmes finis à l’échéance d’un portefeuille fixe de calls et puts standard sur actions ou ETF peuvent être trouvés en évaluant le résultat à zéro et à chaque prix d’exercice, puis en examinant la zone au-dessus du prix d’exercice le plus élevé. Cette méthode découle directement de la formule de résultat affine par morceaux.

Dans cette zone supérieure, les puts n’ont aucune valeur à l’échéance et chaque call gagne une unité de valeur pour chaque unité de hausse du sous-jacent. Après application des quantités, des multiplicateurs et des signes des positions, un excédent de calls achetés produit une pente ascendante et un potentiel de gain non plafonné. Un excédent de calls vendus produit une pente descendante et un potentiel de perte non plafonné. Des expositions égales en calls achetés et vendus laissent une zone supérieure plate. La borne de cours nul fournit l’extrémité inférieure du domaine de cours d’une action ou d’un ETF.

Valorisation avant l’échéance

Un résultat de clôture avant l’échéance utilise les prix d’options disponibles au moment de la transaction, y compris la valeur temps restante. Un call acheté peut donc être vendu avec un gain avant que le sous-jacent atteigne son seuil de rentabilité à l’échéance. Le cours nécessaire pour obtenir plus tôt un G/P nul dépend de la durée restante, de la volatilité et d’autres paramètres de valorisation, et non de la seule valeur intrinsèque.

Des échéances différentes exigent un horizon de valorisation différent. Lorsque la première option expire, une jambe d’échéance plus lointaine conserve une durée restante. Sa valeur de marché ou sa valeur théorique doit être incluse avec la valeur finale de la jambe arrivant à échéance. Traiter les deux jambes comme si elles expiraient à cette première date omettrait la valeur de l’option encore en vigueur et fausserait le résultat combiné.