計算ツールの計算方法

計算ツールは、まずエントリー時点で各オプションを評価し、その後、選択された価格や日付にわたってポジションを再評価します。新規建て時のプレミアムはすべて、シナリオの入力値から算出される理論値です。

エントリー時の基準値とグラフ表示

エントリー価格は、各レッグのプレミアム計算に用いる、本日付の原資産価格です。この価格、契約、インプライド・ボラティリティ、金利、配当利回りを変更すると、エントリー時の評価額が再計算されます。分析日は株価に対する曲線を変更しますが、表示されるモデル価格やグリークスは変更しません。時間表示の価格スライダーは、上部の価格欄と同じエントリー価格を変更し、新規建て時のプレミアムとポジションの概要を再計算します。

満期時の価値と損益

最終原資産価格 $S_T$ 、権利行使価格 $K$ に対する1株当たりの満期時価値は、次のとおりです。

\text{コールの価値}=\max(S_T-K,0),\qquad \text{プットの価値}=\max(K-S_T,0)

買いレッグは正の価値、売りレッグは負の価値として寄与し、数量と100株の乗数で調整されます。初期プレミアムにも同じ符号を用います。

\text{損益}=\text{符号付きポジション価値}-\text{符号付きエントリー価値}

権利行使価格の間では、満期時の損益は直線になります。損益分岐点は、各区間の有効な非負の価格範囲内で式を解いて求めます。有限の極値はゼロと各権利行使価格で確認し、上方の端の領域が水平か、際限なく増減するかは、コールのネット・エクスポージャーで決まります。損益がある区間全体でゼロになる場合、サマリーにはその価格範囲を表示します。

満期前の価値

ヨーロピアン型の参照値には、配当調整後のブラック–ショールズ–マートン式を用います。アメリカン型オプションは、権利行使価格を中心とするLeisen–Reimer二項ツリーで評価し、数値計算上の代替手法としてドリフト調整後のCox–Ross–Rubinstein方式を用います。ツリーは満期から逆算し、各ステップで即時行使価値と割引後の継続保有価値を比較します。

配当のないアメリカン型コールには、ヨーロピアン型の結果を用います。モデルの前提と非負の金利の下では、早期行使に追加価値がないためです。その他のアメリカン型の評価には、早期行使の選択肢を含めます。連続配当利回り、年率ボラティリティ、連続複利金利は、各曲線内で固定されます。

有限の時間ステップに起因する変動を減らすため、ツリーの評価額とグリークスには平滑化を施します。時間表示の曲線は、サンプリングした早期行使プレミアムを補間し、価値の上下限を適用します。これらの数値近似の影響は、残存期間が短い場合や入力値が極端な場合に特に大きくなります。

グラフ表示

ポジションは、保有中の各レッグの符号付き価値を表示します。損益は、そこから符号付きエントリー価値を差し引きます。この基準値は曲線全体で一定なので、2点の差を取ると、どちらの表示でも同じドル建て変化額になります。

比較の変化率には、最初に表示された金額の絶対値を用います。

\text{変化率}=100\frac{y_2-y_1}{|y_1|}

ここで、 $y_1$ と $y_2$ は、選択された損益またはポジション価値の金額です。したがって、-$500から-$200への変化は+$300、+60%となります。開始時の絶対値が$0.005未満の場合はゼロとして扱い、表示上の変化がなければ0.00%、それ以外の変化はN/Aと表示します。有限でない結果もN/Aと表示します。これは、エントリー時のプレミアムや口座資金に対する収益率ではなく、その描画された金額に対する変化を測るものです。

グリークス

サマリーのグリークスは、本日付とエントリー時の原資産価格を用い、数量と乗数で調整した後、買いレッグの感応度を加え、売りレッグの感応度を差し引きます。デルタは原資産の$1の変動に対する価値の変化、ガンマは$1の変動に対するデルタの変化を測ります。セータは暦日当たり、ベガとローはそれぞれボラティリティと金利の1パーセントポイントの変化当たりです。ヨーロピアン型の感応度には公式の導関数を用い、アメリカン型にはモデル入力値を数値的に変化させた結果を用います。

入力値、丸め、対象範囲

計算ツールは、最大10のコールまたはプットのレッグ、1から99までの整数枚数、1つの原資産、共通のアメリカン型の満期に対応します。ティッカーはシナリオのラベルです。株式レッグ、調整済み契約、満期の異なる組合せ、リアルタイム気配、口座証拠金は、モデル化するポジションの対象外です。

評価には、日付間の整数日数を365.25で割った値を用い、日次セータには365日換算を用います。当日満期の場合、モデル上の残存時間はゼロなので、エントリー価値は本質的価値です。満期日は、最大39暦月先までの平日から選択できます。日付選択では、取引所の上場日程や休場日カレンダーは確認しません。

計算では、表示価格より多くの桁数を保持します。戦略記事のグラフには、記事に明記されたプレミアムと満期時ペイオフを用います。記事の例を開くとシナリオが引き継がれ、その後、計算ツールが現在の入力値と日付でエントリー時のプレミアムを再計算します。結果には、取引コスト、資金調達費用、税金、権利割当により生じる株式を含めません。

参考資料

契約と取引

The Options Clearing Corporation。標準化オプションの特性とリスクおよびETFオプションの仕様。
Options Industry Council。権利行使および権利割当。
FINRA。追加証拠金請求。
Cboe。複合注文およびSPX Weeklysの仕様。
Nasdaq ISE。Options 4、第8節：長期オプション契約。

価格評価

Black, F., & Scholes, M. (1973)。オプションと企業負債の価格評価。Journal of Political Economy, 81(3), 637–654。
Merton, R. C. (1973)。合理的なオプション価格評価の理論。The Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141–183。
Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979)。オプション価格評価：簡略化したアプローチ。Journal of Financial Economics, 7(3), 229–263。
Leisen, D. P. J., & Reimer, M. (1996)。オプション評価の二項モデル―収束の検討と改善。Applied Mathematical Finance, 3(4), 319–346。