Perché uno spread call a debito e uno spread put a credito possono coincidere a scadenza

Supponiamo che un’azione ipotetica quoti $101. Paghi $200 per aprire uno spread su call con strike $100 e $105. In alternativa, incassi $300 per aprire uno spread su put con gli stessi strike. Nonostante i flussi di cassa iniziali opposti, le due posizioni possono avere esattamente lo stesso profitto o perdita a scadenza.

Tutte e quattro le opzioni hanno un’unica scadenza futura comune e lo stesso deliverable, con un contratto standard di opzioni azionarie statunitensi in ciascuna gamba. Ogni contratto rappresenta 100 azioni, quindi un premio di $1 per azione equivale a $100 per contratto. I premi riportati sotto sono importi ipotetici costruiti a scopo didattico, non quotazioni in tempo reale, stime di mercato o risultati del calcolatore. Per questo calcolo del payoff a scadenza non è necessario ipotizzare una specifica durata residua. 1

Lo spread call a debito acquista la call $100 a $6 per azione e vende la call $105 a $4. Paghi $600 e incassi $400, per un debito netto di $200. L’acquisto della call con strike inferiore e la vendita di quella con strike superiore sono anche chiamati spread rialzista su call. 2

Lo spread put a credito vende la put $105 a $8 per azione e acquista la put $100 a $5. Incassi $800 e paghi $500, per un credito netto di $300. La vendita della put con strike superiore e l’acquisto di quella con strike inferiore sono anche chiamati spread rialzista su put. 3

«Debito» e «credito» descrivono il denaro che esce o entra nel conto quando lo spread viene aperto. Da soli non dicono quanto la posizione potrà infine guadagnare o perdere. Incassare il credito di $300 non equivale ad aver già ottenuto un profitto di $300: lo spread su put conserva comunque un’obbligazione.

Segui il denaro fino alla scadenza

Partiamo da un prezzo dell’azione a scadenza di $102.

La call $100 acquistata ha $2 per azione di valore intrinseco, mentre la call $105 venduta non ne ha. Lo spread su call ha quindi un valore a scadenza di $200. Questo compensa esattamente il debito iniziale di $200, perciò il profitto è zero.

Sul lato delle put, la put $105 venduta ha $3 per azione di valore intrinseco a sfavore della posizione, mentre la put $100 acquistata non ne ha. La posizione su put presenta una passività netta di valore intrinseco pari a $300. Questo compensa esattamente i $300 incassati all’apertura, quindi anche il suo profitto è zero.

La stessa contabilità vale lungo tutto l’intervallo dei prezzi a scadenza:

Prezzo dell’azione a scadenza	Spread call: valore firmato della Posizione	Spread put: valore firmato della Posizione	Spread call: Profitto / perdita	Spread put: Profitto / perdita
$90	$0	−$500	−$200	−$200
$100	$0	−$500	−$200	−$200
$102	+$200	−$300	$0	$0
$105	+$500	$0	+$300	+$300
$110	+$500	$0	+$300	+$300

Tutti gli importi sono dollari totali per uno spread completo. Il valore firmato della Posizione somma il valore intrinseco dell’opzione acquistata e sottrae quello dell’opzione venduta, prima di considerare l’ingresso. Profitto / perdita include anche i premi di apertura. I calcoli escludono commissioni e costi, finanziamento, imposte, flussi di cassa intermedi da esercizio o assegnazione e risultati successivi di eventuali posizioni in azioni.

A $100 o meno, entrambe le call hanno valore intrinseco nullo, quindi lo spread call perde il debito di $200. Lo spread put ha invece una passività netta di $500, parzialmente compensata dal credito iniziale di $300. A $90, per esempio, la put corta $105 contribuisce −$1,500 e la put lunga $100 contribuisce +$1,000. Restano −$500 che, sommati all’incasso iniziale di $300, producono la stessa perdita di $200.

A $105 o più, il valore intrinseco dello spread call raggiunge $500 e smette di crescere. Ogni ulteriore dollaro di valore della call lunga sopra $105 è compensato da un ulteriore dollaro dovuto sulla call corta. Sottraendo il debito di $200 resta un profitto di $300. Lo spread put raggiunge lo stesso profitto in modo diverso: entrambe le put hanno valore intrinseco nullo e rimane il credito iniziale di $300.

Tra i due strike, ogni aumento di $1 del prezzo dell’azione a scadenza migliora il risultato di ciascuno spread di $100. Aumenta il valore dell’attività nello spread call e riduce della stessa misura la passività dello spread put.

I valori della posizione differiscono; i profitti coincidono

Le due colonne del valore della Posizione non sono identiche. Il valore firmato a scadenza dello spread call è sempre superiore di $500 a quello dello spread put.

Ma anche le posizioni iniziali avevano valori firmati diversi. Con i premi ipotetici, lo spread call è partito da +$200, finanziato da un’uscita di cassa di $200. Lo spread put è partito da −$300, accompagnato da un’entrata di cassa di $300. Il segno della posizione in opzioni è opposto al flusso di cassa iniziale.

Ignorando finanziamento e costi, la contabilità è:

\text{Profitto / perdita}=\text{valore firmato della Posizione a scadenza}-\text{valore firmato iniziale}

Con un prezzo a scadenza di $102, si ottiene:

\text{P/L spread call}=\$200-\$200=0

\text{P/L spread put}=-\$300-(-\$300)=0

Il vantaggio di $500 dello spread call nel valore della posizione a scadenza è compensato esattamente dalla differenza di $500 tra i valori firmati iniziali. Un P/L coincidente non richiede valori non rettificati delle opzioni coincidenti.

Questo fornisce la condizione generale per una corrispondenza esatta. Sia $W=K_H-K_L$ l’ampiezza tra gli strike, $d$ il debito per azione dello spread call e $c$ il credito per azione dello spread put. Per $q$ spread completi corrispondenti uno a uno, con moltiplicatore $M$ , la differenza del P/L a scadenza è:

\text{P/L spread call}-\text{P/L spread put}=qM(W-d-c)

L’espressione non contiene il prezzo dell’azione a scadenza: la differenza è costante lungo l’intera curva. Pertanto, escludendo finanziamento e costi, le curve coincidono quando:

d+c=W

Qui $2+3=5$ , con $q=1$ e $M=100$ . Entrambi gli spread hanno un profitto massimo a scadenza di $300, una perdita massima a scadenza di $200 e un punto di pareggio a scadenza di $102. Il punto di pareggio della call è lo strike inferiore più il debito, $100+2=102$ ; quello della put è lo strike superiore meno il credito, $105-3=102$ . Queste formule di pareggio tra gli strike presuppongono un debito o credito positivo e inferiore all’ampiezza, come nell’esempio. 2 3

Se debito e credito non sommano all’ampiezza, gli spread corrispondenti mantengono comunque la stessa forma a scadenza, ma una curva di P/L si trova sopra o sotto l’altra. Il confronto richiede lo stesso sottostante, strike, scadenza, quantità e deliverable, non semplicemente due spread entrambi larghi $5. Aumentare il numero di spread completi corrispondenti moltiplica i risultati in dollari senza cambiare il punto di pareggio. Payoff e punto di pareggio tratta più in dettaglio i singoli calcoli.

Perché l’interesse cambia il confronto dei prezzi

L’uguaglianza precedente è aritmetica del payoff. Non è una regola secondo cui i premi di mercato debbano sempre soddisfare $d+c=W$ .

Per le opzioni europee, esercitabili solo a scadenza, la parità put-call collega call e put sullo stesso sottostante con lo stesso strike e la stessa scadenza. Con finanziamento ideale e rendimento da dividendi continuo, la relazione per azione è:

C(K)-P(K)=S_0e^{-aT}-Ke^{-rT}

Qui $C(K)$ e $P(K)$ sono i prezzi di call e put allo strike $K$ , $S_0$ è il prezzo iniziale dell’azione, $a$ è il rendimento da dividendi continuo, $r$ è il tasso annuo composto continuamente e $T$ è il tempo residuo in anni. 4 5

Sottraendo la relazione dello strike superiore da quella dello strike inferiore si ottiene:

d+c=We^{-rT}

Il termine comune relativo ad azione e dividendi si annulla. La somma di debito e credito è quindi pari al valore attuale dell’ampiezza tra gli strike, non necessariamente all’intera ampiezza. Intuitivamente, lo spread call ha $500 di valore in più a scadenza; il suo maggior costo economico oggi è il valore attuale di quei $500 futuri.

Per un confronto europeo ipotetico separato, usiamo un’ampiezza di $5, un tasso annuo composto continuamente del 4% e 45 giorni, con $T=45/365.25$ :

5e^{-0.04(45/365.25)}\approx\$4.97542

Con premi che rispettano tale relazione, sottrarre i premi iniziali senza considerare gli interessi lascia il P/L nominale a scadenza dello spread call più alto di circa $2.46 per spread completo da 100 azioni. È la differenza di finanziamento, non un vantaggio inspiegato del payoff.

Considerare il finanziamento ideale allo stesso tasso significa capitalizzare il debito iniziale come $de^{rT}$ e il credito come $ce^{rT}$ . La differenza del P/L a scadenza diventa quindi:

\text{P/L spread call}_{\text{finanziato}}-\text{P/L spread put}_{\text{finanziato}} =qM\bigl[W-(d+c)e^{rT}\bigr]=0

L’ultima uguaglianza deriva dall’identità europea di prezzo. I tassi di finanziamento effettivi, gli interessi maturati sulla liquidità, le restrizioni sulle garanzie e i costi di esecuzione richiedono un trattamento separato. Anche l’Options Industry Council descrive i profili corrispondenti come un confronto corretto per i costi di carry. 3 4

Con un tasso d’interesse pari a zero, l’identità europea si riduce a $d+c=W$ . L’esempio principale è costruito per rispettare questa aritmetica non scontata; non afferma che i tassi di mercato correnti siano pari a zero.

Dove finisce la somiglianza

Diritti di esercizio americano e assegnazione

Le opzioni azionarie statunitensi standard dell’esempio principale sono di stile americano: possono essere esercitate prima della scadenza. Il diritto di esercizio anticipato significa che la rigorosa parità europea non può essere applicata senza modifiche ai loro premi. Dividendi e tempistica dei pagamenti allo strike possono influire sulle decisioni di esercizio e sui valori effettivi, nonostante l’annullamento del termine dei dividendi nell’identità ideale per spread verticali europei. 1 4

Anche gli obblighi di assegnazione differiscono. L’assegnazione della call venduta $105 richiede la consegna di 100 azioni a $105. L’assegnazione della put venduta $105 richiede invece l’acquisto di 100 azioni a $105, cioè un acquisto da $10,500. In ciascuno spread, l’opzione lunga $100 resta un contratto separato. L’assegnazione della gamba corta non esercita automaticamente la gamba lunga né risolve l’intera posizione. 6

Queste opzioni sono regolate tramite azioni, non mediante uno scambio automatico in contanti dell’importo netto mostrato nella tabella. La tabella non stabilisce quali contratti vengano esercitati né quali azioni rimangano in seguito. Una perdita massima a scadenza di $200 non significa quindi che il conto non possa mai affrontare un requisito di finanziamento o consegna di azioni maggiore. Eventuali guadagni o perdite successivi sulle azioni mantenute sono fuori dal limite di payoff dell’opzione. 1 6

Prezzi di chiusura, capitale e probabilità

Prima della scadenza, chiudere uno dei due spread significa vendere l’opzione lunga e riacquistare quella corta. Contano entrambi i prezzi di transazione disponibili. Una curva a scadenza coincidente non garantisce mark intermedi identici né risultati di chiusura eseguibili identici dopo spread denaro-lettera, costi, finanziamento ed effetti dell’esercizio americano. 2 3 La guida pratica sul valore di uno spread a debito prima della scadenza spiega perché trovarsi sopra entrambi gli strike non determina un valore di chiusura anticipata pari all’ampiezza.

Nemmeno la perdita a scadenza coincidente di $200 implica requisiti identici di margine o potere d’acquisto presso il broker. Il credito iniziale, da solo, non misura il capitale necessario per mantenere o gestire la posizione. Rischio, margine e assegnazione distingue i limiti del payoff dalle garanzie e dal finanziamento delle azioni.

Nell’esempio costruito, entrambi gli spread realizzano un profitto a scadenza solo se l’azione termina sopra $102. Con la stessa distribuzione ipotizzata dei prezzi a scadenza, questo è lo stesso evento di profitto. Ma la tabella non indica quanto sia probabile né fornisce una stima del rendimento atteso. La parola «credito» non implica di per sé alcun vantaggio probabilistico.

Confrontare gli spread nel Calcolatore di opzioni

Nel calcolatore di opzioni, inserisci separatamente ciascuno spread sullo stesso sottostante, con Prezzo iniziale a $101, quantità 1 in ogni gamba e moltiplicatore standard di 100 azioni. Usa la stessa scadenza futura, la stessa Volatilità implicita, lo stesso Tasso privo di rischio e lo stesso Rendimento da dividendi per confrontare le due costruzioni. Il calcolatore modella contratti di stile americano e condivide questi parametri tra le gambe delle opzioni.

Per il confronto a scadenza, seleziona Profitto / perdita nella vista Prezzo dell’azione e imposta Data di analisi sulla scadenza. Leggi la curva a diversi prezzi dell’azione mantenendo Prezzo iniziale a $101. Profitto / perdita sottrae il valore iniziale firmato calcolato dal modello; Posizione mostra il valore firmato delle opzioni prima di questa sottrazione. Come mostra la tabella, questi livelli verticali non sono intercambiabili.

Il calcolatore ricalcola i premi iniziali da Prezzo iniziale, dalla data odierna, dalla Volatilità implicita, dal Tasso privo di rischio e dal Rendimento da dividendi. Modificare le ipotesi di apertura cambia questa base; leggere un altro prezzo sulla curva non la modifica. Non esiste un campo per un’esecuzione reale che blocchi i premi costruiti $6/$4 delle call e $8/$5 delle put, quindi l’inserimento di queste gambe non garantisce di riprodurre esattamente questa tabella in dollari.

Il modello usa giorni di calendario interi, con tempo residuo di modello pari a zero quando la scadenza è nello stesso giorno. Non tiene un registro di cassa per il finanziamento e non include commissioni, imposte, margine del broker, azioni create dall’assegnazione o un calendario di dividendi discreti. Non fornisce quotazioni in tempo reale né una stima indipendente della probabilità o del rendimento atteso. Consulta la guida al calcolatore per i controlli e la metodologia per i dettagli su prezzo, date e perimetro del modello.