Pourquoi un spread débiteur en calls et un spread créditeur en puts peuvent donner le même résultat à l’échéance

Supposons qu’une action hypothétique cote 101 $. Vous payez 200 $ pour ouvrir un spread en calls aux prix d’exercice de 100 $ et 105 $. Autre possibilité : vous recevez 300 $ pour ouvrir un spread en puts aux mêmes prix d’exercice. Malgré des flux de trésorerie opposés à l’ouverture, les deux positions peuvent avoir exactement le même gain ou la même perte à l’échéance.

Les quatre options ont une même échéance future et des livrables identiques, avec un contrat standard du marché américain des options sur actions par jambe. Chaque contrat représente 100 actions : une prime de 1 $ par action correspond donc à 100 $ par contrat. Les primes ci-dessous sont des montants hypothétiques choisis pour l’exemple, et non des cotations en temps réel, des estimations de marché ou des résultats du calculateur. Aucune durée restante précise n’est nécessaire pour ce calcul du résultat à l’échéance. 1

Le spread débiteur en calls consiste à acheter le call au prix d’exercice de 100 $ pour 6 $ par action et à vendre celui au prix d’exercice de 105 $ pour 4 $. Vous payez 600 $ et recevez 400 $, soit un débit net de 200 $. Cet achat au prix d’exercice le plus bas et cette vente au prix d’exercice le plus élevé constituent aussi un spread haussier en calls. 2

Le spread créditeur en puts consiste à vendre le put au prix d’exercice de 105 $ pour 8 $ par action et à acheter celui au prix d’exercice de 100 $ pour 5 $. Vous recevez 800 $ et payez 500 $, soit un crédit net de 300 $. Cette vente au prix d’exercice le plus élevé et cet achat au prix d’exercice le plus bas constituent aussi un spread haussier en puts. 3

« Débiteur » et « créditeur » indiquent si de l’argent sort du compte ou y entre à l’ouverture du spread. Ces termes ne disent pas, à eux seuls, combien la position peut finalement rapporter ou perdre. Recevoir le crédit de 300 $ ne signifie pas avoir gagné 300 $ : le spread en puts comporte toujours une obligation.

Suivez les flux jusqu’à l’échéance

Commençons par un cours de l’action de 102 $ à l’échéance.

Le call acheté au prix d’exercice de 100 $ a une valeur intrinsèque de 2 $ par action, tandis que le call vendu au prix d’exercice de 105 $ n’en a aucune. Le spread en calls vaut donc 200 $ à l’échéance. Cette valeur compense exactement son débit d’ouverture de 200 $ : son gain est nul.

Du côté des puts, le put vendu au prix d’exercice de 105 $ a une valeur intrinsèque de 3 $ par action à votre charge, tandis que le put acheté au prix d’exercice de 100 $ n’en a aucune. La position en puts présente une obligation nette de 300 $ en valeur intrinsèque. Ce montant compense exactement les 300 $ reçus à l’ouverture : son gain est lui aussi nul.

Le même calcul s’applique à l’ensemble des cours possibles à l’échéance :

Cours de l’action à l’échéance	Spread en calls : valeur signée de Position	Spread en puts : valeur signée de Position	Gain / perte du spread en calls	Gain / perte du spread en puts
90 $	0 $	−500 $	−200 $	−200 $
100 $	0 $	−500 $	−200 $	−200 $
102 $	+200 $	−300 $	0 $	0 $
105 $	+500 $	0 $	+300 $	+300 $
110 $	+500 $	0 $	+300 $	+300 $

Tous les montants sont des totaux en dollars pour un spread complet. La valeur signée de Position ajoute la valeur intrinsèque de l’option achetée et soustrait celle de l’option vendue, avant prise en compte des primes d’ouverture. Gain / perte inclut aussi les primes d’ouverture. Les calculs excluent les commissions et frais, le financement, la fiscalité, les flux liés à un exercice ou à une assignation avant l’échéance et les résultats ultérieurs des positions en actions.

À 100 $ ou moins, les deux calls ont une valeur intrinsèque nulle : le spread en calls perd donc son débit de 200 $. Le spread en puts présente, lui, une obligation nette de 500 $, partiellement compensée par son crédit d’ouverture de 300 $. À 90 $, par exemple, le put vendu au prix d’exercice de 105 $ contribue pour −1 500 $ et le put acheté au prix d’exercice de 100 $ pour +1 000 $. Les −500 $ restants, augmentés des 300 $ encaissés à l’ouverture, donnent la même perte de 200 $.

À 105 $ ou plus, la valeur intrinsèque du spread en calls atteint 500 $ et cesse d’augmenter. Au-delà de 105 $, chaque dollar supplémentaire de valeur du call acheté est compensé par un dollar supplémentaire dû au titre du call vendu. Après déduction du débit de 200 $, le gain est de 300 $. Le spread en puts atteint ce même gain autrement : les deux puts ont une valeur intrinsèque nulle, laissant le crédit initial de 300 $.

Entre les deux prix d’exercice, chaque hausse de 1 $ du cours de l’action à l’échéance améliore de 100 $ le résultat de chaque spread. Elle augmente la valeur de l’actif que constitue le spread en calls et réduit du même montant l’obligation liée au spread en puts.

Les valeurs des positions diffèrent ; les gains et pertes sont identiques

Les deux colonnes de valeur de Position ne sont pas identiques. La valeur signée du spread en calls à l’échéance dépasse toujours de 500 $ celle du spread en puts.

Mais les positions avaient aussi des valeurs signées différentes à l’ouverture. Avec les primes hypothétiques, le spread en calls avait une valeur initiale de +200 $, payée par un décaissement de 200 $. Le spread en puts avait une valeur initiale de −300 $, accompagnée d’un encaissement de 300 $. Le signe de la position en options est l’opposé de celui du flux de trésorerie à l’ouverture.

Hors financement et frais, le calcul est le suivant :

\text{Gain / perte}=\text{valeur signée de Position à l’échéance}-\text{valeur signée à l’ouverture}

Pour un cours de 102 $ à l’échéance, cela donne :

\text{Gain / perte du spread en calls}=\$200-\$200=0

\text{Gain / perte du spread en puts}=-\$300-(-\$300)=0

Les 500 $ de valeur supplémentaires du spread en calls à l’échéance sont exactement compensés par l’écart de 500 $ entre les valeurs signées des positions à l’ouverture. Des gains et pertes identiques n’exigent pas des valeurs d’options identiques avant prise en compte de l’ouverture.

On en déduit la condition générale d’une correspondance exacte. Soit $W=K_H-K_L$ l’écart entre les prix d’exercice, $d$ le débit par action du spread en calls et $c$ le crédit par action du spread en puts. Pour $q$ spreads complets correspondants, chacun composé d’un contrat acheté et d’un contrat vendu, avec un multiplicateur $M$ , l’écart de gain ou de perte à l’échéance est :

\text{Gain / perte du spread en calls}-\text{Gain / perte du spread en puts}=qM(W-d-c)

L’expression ne contient pas le cours de l’action à l’échéance : l’écart est constant sur toute la courbe. Hors financement et frais, les courbes coïncident donc lorsque :

d+c=W

Ici, $2+3=5$ , avec $q=1$ et $M=100$ . Les deux spreads ont un gain maximal à l’échéance de 300 $, une perte maximale à l’échéance de 200 $ et un seuil de rentabilité à l’échéance de 102 $. Pour le spread en calls, ce seuil est le prix d’exercice le plus bas augmenté du débit, $100+2=102$ ; pour le spread en puts, c’est le prix d’exercice le plus élevé diminué du crédit, $105-3=102$ . Ces formules de seuil de rentabilité entre les prix d’exercice supposent un débit ou un crédit positif et inférieur à leur écart, comme dans cet exemple. 2 3

Si la somme du débit et du crédit n’est pas égale à l’écart entre les prix d’exercice, les spreads correspondants conservent le même profil à l’échéance, mais une courbe de gain ou de perte se situe au-dessus ou au-dessous de l’autre. La comparaison exige le même sous-jacent, les mêmes prix d’exercice, la même échéance, les mêmes quantités et les mêmes livrables, et pas simplement deux spreads dont les prix d’exercice sont espacés de 5 $. Multiplier le nombre de spreads complets correspondants multiplie les résultats en dollars sans modifier le seuil de rentabilité. Le guide Valeur à l’échéance et seuil de rentabilité détaille les calculs individuels.

Pourquoi les intérêts modifient la comparaison des prix

L’égalité ci-dessus découle du calcul des résultats à l’échéance. Elle ne signifie pas que les primes de marché doivent toujours satisfaire $d+c=W$ .

Pour les options européennes, qui ne peuvent être exercées qu’à l’échéance, la parité put-call relie les calls et les puts de même sous-jacent, prix d’exercice et échéance. Dans des conditions de financement idéales et avec un rendement du dividende continu, la relation par action est :

C(K)-P(K)=S_0e^{-aT}-Ke^{-rT}

Ici, $C(K)$ et $P(K)$ sont les prix du call et du put au prix d’exercice $K$ , $S_0$ est le cours de l’action à l’ouverture, $a$ le rendement du dividende continu, $r$ le taux d’intérêt annuel à capitalisation continue et $T$ la durée restante en années. 4 5

En soustrayant la relation au prix d’exercice le plus élevé de celle au prix d’exercice le plus bas, on obtient :

d+c=We^{-rT}

Le terme commun lié à l’action et aux dividendes s’annule. La somme du débit et du crédit est égale à la valeur actualisée de l’écart entre les prix d’exercice, et pas nécessairement à cet écart entier. Intuitivement, la position en calls vaut 500 $ de plus à l’échéance ; son coût économique supplémentaire aujourd’hui est la valeur actualisée de ces 500 $ futurs.

Pour une comparaison hypothétique distincte entre options européennes, prenons un écart de 5 $, un taux annuel de 4 % à capitalisation continue et une durée de 45 jours, avec $T=45/365.25$ :

5e^{-0.04(45/365.25)}\approx\$4.97542

Avec des primes respectant cette relation, soustraire les primes d’ouverture sans tenir compte des intérêts donne au spread en calls un résultat nominal à l’échéance supérieur d’environ 2,46 $ par spread complet de 100 actions. Il s’agit de la différence liée au financement, pas d’un avantage inexpliqué dans le résultat à l’échéance.

Tenir compte d’un financement idéal au même taux revient à capitaliser le débit d’ouverture en $de^{rT}$ et le crédit en $ce^{rT}$ . L’écart de gain ou de perte à l’échéance devient alors :

\text{Gain / perte du spread en calls}_{\text{avec financement}}-\text{Gain / perte du spread en puts}_{\text{avec financement}} =qM\bigl[W-(d+c)e^{rT}\bigr]=0

La dernière égalité découle de l’identité de valorisation des options européennes. Les taux d’emprunt réels, les intérêts perçus sur les liquidités, les restrictions liées aux garanties et les coûts d’exécution doivent être traités séparément. L’Options Industry Council décrit lui aussi ces profils identiques comme une comparaison ajustée des coûts de portage. 3 4

À taux d’intérêt nul, l’identité européenne se réduit à $d+c=W$ . L’exemple principal a été construit pour respecter ce calcul sans actualisation ; il ne prétend pas que les taux d’intérêt actuels du marché sont nuls.

Là où les similitudes s’arrêtent

Droit d’exercice des options américaines et assignation

Les options standard sur actions aux États-Unis utilisées dans l’exemple principal sont de style américain : elles peuvent être exercées avant l’échéance. Ce droit d’exercice anticipé signifie que la parité européenne stricte ne peut pas être appliquée telle quelle à leurs primes. Les dividendes et le moment où les prix d’exercice sont payés peuvent influer sur les décisions d’exercice et les valeurs effectives, même si le terme lié aux dividendes s’annule dans l’identité idéale des spreads verticaux européens. 1 4

Les obligations en cas d’assignation diffèrent elles aussi. L’assignation du call vendu au prix d’exercice de 105 $ impose de livrer 100 actions à 105 $. L’assignation du put vendu au prix d’exercice de 105 $ impose d’acheter 100 actions à 105 $, soit un achat de 10 500 $. Dans chaque spread, l’option achetée au prix d’exercice de 100 $ reste un contrat distinct. L’assignation de la jambe vendue ne déclenche pas automatiquement l’exercice de la jambe achetée ni le dénouement de l’ensemble de la position. 6

Ces options se dénouent par livraison d’actions, et non par le versement automatique en espèces du montant net figurant dans le tableau. Le tableau ne détermine pas quels contrats sont exercés ni quelles positions en actions subsistent ensuite. Une perte maximale à l’échéance de 200 $ ne signifie donc pas que le compte ne peut jamais faire face à des exigences de financement ou de livraison d’actions d’un montant supérieur. Les gains ou pertes ultérieurs sur les actions conservées sortent du cadre de cette limite du résultat à l’échéance des options. 1 6

Prix de clôture, capital et probabilité

Avant l’échéance, clôturer l’un ou l’autre spread consiste à vendre son option achetée et à racheter son option vendue. Les prix disponibles pour ces deux transactions comptent. Une courbe identique à l’échéance ne garantit ni des valorisations intermédiaires identiques ni des résultats de clôture identiques aux prix réellement exécutables, une fois pris en compte les fourchettes acheteur-vendeur, les frais, le financement et les effets du droit d’exercice américain. 2 3 Le guide illustré sur la valeur d’un spread débiteur avant l’échéance explique pourquoi un cours supérieur aux deux prix d’exercice ne suffit pas à établir une valeur de clôture anticipée égale à leur écart.

De même, une perte identique de 200 $ à l’échéance ne garantit pas des exigences identiques de marge ou de pouvoir d’achat de la part du courtier. Le crédit d’ouverture ne mesure pas à lui seul le capital nécessaire pour conserver ou gérer la position. Le guide Risque, marge et assignation distingue les limites du résultat à l’échéance des garanties exigées et du financement des actions.

Dans cet exemple hypothétique, les deux spreads ne dégagent un gain à l’échéance que si l’action termine au-dessus de 102 $. Sous une même hypothèse de distribution des cours à l’échéance, le gain correspond au même événement pour les deux spreads. Mais le tableau n’en indique pas la probabilité et ne fournit pas d’estimation du rendement attendu. Le mot « crédit » n’implique aucun avantage de probabilité.

Comparer les spreads dans Options Calculator

Dans le calculateur d’options, saisissez séparément chacun des deux spreads sur un seul sous-jacent, avec un Cours d’entrée de 101 $, une quantité de 1 pour chaque jambe et le multiplicateur standard de 100 actions. Pour comparer les deux constructions, utilisez la même échéance future, la même volatilité implicite, le même taux d’intérêt et le même rendement du dividende. Le calculateur modélise des contrats de style américain et applique ces paramètres à toutes les jambes d’options.

Pour la comparaison à l’échéance, choisissez Gain / perte dans la vue Cours de l’action et réglez la Date d’analyse sur l’échéance. Lisez la courbe à différents cours de l’action tout en maintenant le Cours d’entrée à 101 $. Gain / perte soustrait la valeur théorique d’ouverture signée ; Position affiche la valeur signée des options avant cette soustraction. Comme le montre le tableau, ces niveaux verticaux ne sont pas interchangeables.

Le calculateur recalcule les primes d’ouverture à partir du Cours d’entrée, de la date du jour, de la volatilité implicite, du taux d’intérêt et du rendement du dividende. Modifier les hypothèses d’ouverture change cette référence ; consulter un autre cours sur la courbe ne la change pas. Aucun champ de prix d’exécution réel ne permet de figer les primes hypothétiques de 6 $ et 4 $ pour les calls et de 8 $ et 5 $ pour les puts : saisir ces jambes ne garantit donc pas de reproduire exactement les montants de ce tableau.

Le modèle utilise des jours calendaires entiers, avec une durée restante nulle lorsque l’échéance est le jour même. Il ne tient pas de compte de trésorerie retraçant le financement et n’inclut ni les frais, ni la fiscalité, ni la marge exigée par le courtier, ni les positions en actions créées par l’assignation, ni un calendrier de dividendes discrets. Il ne fournit ni cotations en temps réel ni estimation indépendante de la probabilité ou du rendement attendu. Consultez le guide d’utilisation du calculateur pour les commandes et la méthodologie pour les détails sur la valorisation, les dates et le périmètre du modèle.