Почему дебетный колл-спред и кредитный пут-спред могут давать одинаковый результат при экспирации

Предположим, гипотетическая акция стоит $101. Вы платите $200 за открытие колл-спреда со страйками $100 и $105. Другой вариант — получить $300 за открытие пут-спреда с теми же страйками. Несмотря на противоположные денежные потоки при открытии, прибыль или убыток двух позиций при экспирации могут полностью совпадать.

Все четыре опциона имеют одну общую будущую экспирацию и одинаковые условия поставки; в каждом компоненте — один стандартный опционный контракт на акции США. Каждый контракт охватывает 100 акций, поэтому премия $1 на акцию означает $100 на контракт. Премии ниже — специально подобранные гипотетические суммы, а не текущие котировки, рыночные оценки или результаты калькулятора. Для этого расчёта выплаты при экспирации не требуется задавать конкретный оставшийся срок. 1

Дебетный колл-спред покупает колл со страйком $100 за $6 на акцию и продаёт колл со страйком $105 за $4. Вы платите $600 и получаете $400, что оставляет чистый дебет $200. Покупка по нижнему страйку и продажа по верхнему также называется бычьим колл-спредом. 2

Кредитный пут-спред продаёт пут со страйком $105 за $8 на акцию и покупает пут со страйком $100 за $5. Вы получаете $800 и платите $500, что оставляет чистый кредит $300. Продажа по верхнему страйку и покупка по нижнему также называется бычьим пут-спредом. 3

«Дебет» и «кредит» описывают отток или приток денег на счёте при открытии спреда. Сами по себе они не показывают, сколько позиция в итоге может заработать или потерять. Получить кредит $300 — не значит заработать прибыль $300: пут-спред всё ещё несёт обязательство.

Проследим денежный результат до экспирации

Начнём с цены акции при экспирации $102.

У купленного колла со страйком $100 внутренняя стоимость равна $2 на акцию, а у проданного колла со страйком $105 её нет. Поэтому стоимость колл-спреда при экспирации составляет $200. Она точно компенсирует дебет открытия $200, и прибыль равна нулю.

В пут-спреде у проданного пута со страйком $105 внутренняя стоимость $3 на акцию представляет ваше обязательство, а у купленного пута со страйком $100 её нет. Чистое обязательство позиции по внутренней стоимости составляет $300. Оно точно компенсирует полученные при открытии $300, поэтому прибыль тоже равна нулю.

Тот же учёт действует во всём диапазоне цен экспирации:

Цена акции при экспирации	Колл-спред: стоимость в режиме «Позиция» с учётом знака	Пут-спред: стоимость в режиме «Позиция» с учётом знака	P/L колл-спреда	P/L пут-спреда
$90	$0	−$500	−$200	−$200
$100	$0	−$500	−$200	−$200
$102	+$200	−$300	$0	$0
$105	+$500	$0	+$300	+$300
$110	+$500	$0	+$300	+$300

Все суммы — общие доллары для одного полного спреда. Стоимость в режиме Позиция с учётом знака складывает внутреннюю стоимость длинного опциона и вычитает внутреннюю стоимость короткого до учёта входа. P/L также включает премии открытия. Расчёты исключают комиссии и сборы, финансирование, налоги, промежуточные денежные потоки от исполнения и назначения и последующие результаты позиций в акциях.

При $100 или ниже внутренняя стоимость обоих коллов нулевая, поэтому колл-спред теряет дебет $200. У пут-спреда вместо этого возникает чистое обязательство $500, частично компенсированное кредитом открытия $300. Например, при $90 короткий пут со страйком $105 вносит −$1,500, а длинный пут со страйком $100 — +$1,000. Оставшиеся −$500 вместе с первоначальным поступлением $300 дают тот же убыток $200.

При $105 или выше внутренняя стоимость колл-спреда достигает $500 и перестаёт расти. Каждый дополнительный доллар стоимости длинного колла выше $105 компенсируется дополнительным долларом обязательства по короткому. После вычета дебета $200 остаётся прибыль $300. Пут-спред достигает такой же прибыли иначе: внутренняя стоимость обоих путов нулевая, и остаётся первоначальный кредит $300.

Между страйками каждый рост цены акции при экспирации на $1 улучшает результат каждого спреда на $100. Он увеличивает стоимость актива колл-спреда и на ту же сумму уменьшает обязательство пут-спреда.

Стоимости позиций различаются, а прибыли совпадают

Два столбца стоимости в режиме «Позиция» не одинаковы. Стоимость колл-спреда с учётом знака при экспирации всегда на $500 выше стоимости пут-спреда.

Но и начальные позиции имели разные стоимости с учётом знака. При гипотетических премиях колл-спред начинался со стоимости +$200, оплаченной оттоком $200. Пут-спред начинался со стоимости −$300, сопровождавшейся притоком $300. Знак стоимости опционной позиции противоположен знаку денежного потока открытия.

Если не учитывать финансирование и издержки, расчёт выглядит так:

\text{P/L}=\text{стоимость позиции при экспирации с учётом знака}-\text{стоимость входа с учётом знака}

При цене экспирации $102 получаем:

\text{P/L колл-спреда}=\$200-\$200=0

\text{P/L пут-спреда}=-\$300-(-\$300)=0

Преимущество колл-спреда $500 в стоимости позиции при экспирации точно компенсируется разницей $500 между стоимостями входа с учётом знака. Совпадение P/L не требует совпадения стоимостей опционных позиций до учёта входа.

Отсюда получается общее условие точного совпадения. Пусть $W=K_H-K_L$ — ширина между страйками, $d$ — дебет колл-спреда на акцию, а $c$ — кредит пут-спреда на акцию. Для $q$ полных сопоставимых спредов один к одному с мультипликатором $M$ разница P/L при экспирации равна:

\text{P/L колл-спреда}-\text{P/L пут-спреда}=qM(W-d-c)

В выражении нет цены акции при экспирации: разница постоянна вдоль всей кривой. Следовательно, без финансирования и издержек кривые совпадают, когда:

d+c=W

Здесь $2+3=5$ при $q=1$ и $M=100$ . Оба спреда имеют максимальную прибыль при экспирации $300, максимальный убыток при экспирации $200 и точку безубыточности при экспирации $102. Для колл-спреда безубыточность — нижний страйк плюс дебет, $100+2=102$ ; для пут-спреда — верхний страйк минус кредит, $105-3=102$ . Эти формулы безубыточности между страйками предполагают положительный дебет или кредит меньше ширины, как в данном примере. 2 3

Если сумма дебета и кредита не равна ширине, у сопоставимых спредов сохраняется одинаковая форма результата при экспирации, но одна кривая P/L находится выше или ниже другой. Для сравнения нужны одинаковые базовый актив, страйки, экспирация, количества и предметы поставки, а не просто два спреда шириной $5. Масштабирование полных сопоставимых спредов умножает долларовые результаты, не меняя цену безубыточности. Отдельные расчёты подробнее разобраны в статье «Выплата и безубыточность».

Почему проценты меняют сравнение цен

Равенство выше — арифметика выплат, а не правило, которому текущие премии всегда должны подчиняться в виде $d+c=W$ .

Для европейских опционов, которые можно исполнить только при экспирации, паритет путов и коллов связывает коллы и путы с одинаковыми базовым активом, страйком и экспирацией. При идеальных условиях финансирования и непрерывной дивидендной доходности соотношение на акцию равно:

C(K)-P(K)=S_0e^{-aT}-Ke^{-rT}

Здесь $C(K)$ и $P(K)$ — цены колла и пута со страйком $K$ , $S_0$ — цена акции при открытии, $a$ — непрерывная дивидендная доходность, $r$ — годовая процентная ставка с непрерывным начислением, а $T$ — оставшееся время в годах. 4 5

Вычитая соотношение для верхнего страйка из соотношения для нижнего, получаем:

d+c=We^{-rT}

Общий член с акцией и дивидендами сокращается. Сумма дебета и кредита равна приведённой стоимости ширины между страйками, а не обязательно всей ширине. Интуитивно у позиции в коллах при экспирации на $500 больше стоимости; её дополнительные экономические затраты сегодня равны приведённой стоимости этих будущих $500.

Для отдельного гипотетического сравнения европейских опционов возьмём ширину $5, годовую ставку 4% с непрерывным начислением и 45 дней при $T=45/365.25$ :

5e^{-0.04(45/365.25)}\approx\$4.97542

При премиях, удовлетворяющих этому соотношению, вычитание премий открытия без учёта процентов оставляет номинальный P/L колл-спреда при экспирации примерно на $2.46 выше для одного полного спреда на 100 акций. Это разница финансирования, а не необъяснимое преимущество выплаты.

Учёт идеального финансирования по одной ставке означает наращение дебета открытия до $de^{rT}$ , а кредита — до $ce^{rT}$ . Тогда разница P/L при экспирации становится:

\text{P/L колл-спреда}_{\text{с финансированием}}-\text{P/L пут-спреда}_{\text{с финансированием}} =qM\bigl[W-(d+c)e^{rT}\bigr]=0

Последнее равенство следует из тождества европейского ценообразования. Фактические ставки заимствования, проценты по денежным остаткам, ограничения обеспечения и издержки исполнения требуют отдельного учёта. Options Industry Council также описывает совпадение профилей как сравнение с поправкой на затраты переноса позиции. 3 4

При нулевой процентной ставке европейское тождество сводится к $d+c=W$ . Основной пример специально построен так, чтобы удовлетворять этой арифметике без дисконтирования; он не утверждает, что текущие рыночные процентные ставки равны нулю.

Где сходство заканчивается

Американский стиль исполнения и назначение

Стандартные опционы на акции США в основном примере имеют американский стиль: их можно исполнить до экспирации. Из-за права досрочного исполнения строгий европейский паритет нельзя просто применять к их премиям без изменений. Дивиденды и время платежей по страйку могут влиять на решения об исполнении и фактическую стоимость, несмотря на сокращение дивидендного члена в идеальном европейском тождестве для вертикальных спредов. 1 4

Обязательства при назначении тоже различаются. Назначение короткого колла со страйком $105 требует поставки 100 акций по $105. Назначение короткого пута со страйком $105 требует покупки 100 акций по $105, то есть покупки на $10,500. В каждом спреде длинный опцион со страйком $100 остаётся отдельным контрактом. Назначение короткого компонента не исполняет длинный автоматически и не завершает всю позицию. 6

Расчёты по этим опционам проводятся акциями, а не автоматическим денежным обменом чистой суммой из таблицы. Таблица не определяет, какие контракты будут исполнены и какие акции останутся после этого. Поэтому максимальный убыток при экспирации $200 не означает, что на счёте никогда не возникнет большей потребности в финансировании или поставке акций. Дальнейшие прибыли и убытки по сохранённым акциям находятся вне этого ограничения опционной выплаты. 1 6

Цены закрытия, капитал и вероятность

До экспирации закрытие любого спреда предполагает продажу длинного опциона и выкуп короткого. Важны обе доступные цены сделок. Совпадающая кривая при экспирации не гарантирует одинаковых промежуточных оценок или фактических результатов закрытия после учёта спредов между спросом и предложением, издержек, финансирования и особенностей американского исполнения. 2 3 Подробное руководство по стоимости дебетного спреда до экспирации объясняет, почему цена выше обоих страйков не означает, что досрочное закрытие даст стоимость, равную ширине.

Совпадающий убыток при экспирации $200 также не устанавливает одинаковые брокерские требования к марже или покупательной способности. Один лишь кредит открытия не измеряет капитал, необходимый для удержания позиции или управления ею. Статья «Риск, маржа и назначение к исполнению» отделяет пределы выплаты от обеспечения и финансирования акций.

В построенном примере оба спреда приносят прибыль при экспирации только при итоговой цене акции выше $102. При одном и том же предполагаемом распределении цен экспирации событие получения прибыли у них одинаковое. Но таблица не говорит, насколько оно вероятно, и не даёт оценки ожидаемой доходности. В самом слове «кредитный» нет преимущества по вероятности.

Сравнение спредов в Калькуляторе опционов

В калькуляторе опционов вводите каждый спред отдельно на один базовый актив, задавая Цена входа — $101, количество 1 в каждом компоненте и стандартный мультипликатор 100 акций. Для сравнения двух конструкций используйте одинаковые будущую экспирацию, подразумеваемую волатильность, процентную ставку и дивидендную доходность. Калькулятор моделирует контракты американского стиля и применяет эти общие параметры ко всем опционным компонентам.

Для сравнения при экспирации выберите Прибыль / убыток в режиме Цена акции и установите в поле Дата анализа дату экспирации. Считывайте кривую при разных ценах акции, сохраняя «Цена входа» на $101. Режим Прибыль / убыток вычитает модельную стоимость входа с учётом знака; режим Позиция показывает стоимость опционов с учётом знака до этого вычитания. Как видно из таблицы, эти уровни по вертикальной оси не взаимозаменяемы.

Калькулятор пересчитывает премии открытия по значению поля «Цена входа», сегодняшней дате, подразумеваемой волатильности, процентной ставке и дивидендной доходности. Изменение предпосылок открытия меняет эту базу; чтение другой цены на кривой — нет. Ввода фактических цен сделок, который зафиксировал бы подобранные премии коллов $6/$4 и путов $8/$5, нет, поэтому ввод этих компонентов не обещает точно воспроизвести долларовые суммы таблицы.

Модель использует целые календарные дни с нулевым оставшимся модельным временем при экспирации в тот же день. Она не ведёт учёт денежного счёта для финансирования и не включает комиссии, налоги, брокерскую маржу, акции после назначения или расписание отдельных дивидендных выплат. Она не предоставляет текущие котировки или независимую оценку вероятности либо ожидаемой доходности. Элементы управления описаны в пошаговом руководстве по калькулятору, а оценка, даты и ограничения — в методологии.