Waarom een call-debetspread en een put-creditspread bij expiratie hetzelfde resultaat kunnen geven

Stel dat een hypothetisch aandeel op $101 staat. Je betaalt $200 om een callspread te openen met uitoefenprijzen van $100 en $105. Als alternatief ontvang je $300 om een putspread te openen met diezelfde uitoefenprijzen. Ondanks de tegengestelde kasstromen bij opening kunnen beide posities bij expiratie precies dezelfde winst of hetzelfde verlies opleveren.

Alle vier de opties hebben dezelfde toekomstige expiratiedatum en dezelfde te leveren effecten en aantallen; elke poot bestaat uit één standaardcontract uit de Amerikaanse aandelenoptiemarkt. Elk contract vertegenwoordigt 100 aandelen, zodat een premie van $1 per aandeel gelijkstaat aan $100 per contract. De premies hieronder zijn hypothetische bedragen die voor het voorbeeld zijn gekozen, geen livekoersen, marktschattingen of calculatoruitkomsten. Voor deze berekening van de expiratiewaarde is geen specifieke resterende looptijd nodig. 1

Bij de call-debetspread koop je de call met uitoefenprijs $100 voor $6 per aandeel en schrijf je de call met uitoefenprijs $105 voor $4. Je betaalt $600 en ontvangt $400: een netto debetbedrag van $200. Deze combinatie van kopen op de lagere en schrijven op de hogere uitoefenprijs heet ook een bull call spread. 2

Bij de put-creditspread schrijf je de put met uitoefenprijs $105 voor $8 per aandeel en koop je de put met uitoefenprijs $100 voor $5. Je ontvangt $800 en betaalt $500: een netto creditbedrag van $300. Deze combinatie van schrijven op de hogere en kopen op de lagere uitoefenprijs heet ook een bull put spread. 3

‘Debet’ en ‘credit’ beschrijven geld dat bij opening van de spread de rekening verlaat of binnenkomt. Ze vertellen op zichzelf niet hoeveel de positie uiteindelijk kan winnen of verliezen. Een creditbedrag van $300 ontvangen is niet hetzelfde als $300 winst maken: de putspread brengt nog steeds een verplichting met zich mee.

Volg de kasstromen tot expiratie

Begin met een aandelenkoers van $102 bij expiratie.

De gekochte $100-call heeft $2 per aandeel aan intrinsieke waarde, terwijl de geschreven $105-call geen intrinsieke waarde heeft. De callspread heeft dus een expiratiewaarde van $200. Dat compenseert precies het openingsdebet van $200, zodat de winst nul is.

Bij de puts heeft de geschreven $105-put $3 per aandeel aan intrinsieke waarde die voor jou een verplichting vormt, terwijl de gekochte $100-put geen intrinsieke waarde heeft. De intrinsieke waarde van de putpositie komt netto neer op een verplichting van $300. Dat compenseert precies de $300 die je bij opening ontving, zodat ook hier de winst nul is.

Dezelfde berekening werkt over het hele bereik van expiratiekoersen:

Aandelenkoers bij expiratie	Callspread: waarde van Positie met teken	Putspread: waarde van Positie met teken	Callspread: Winst / verlies	Putspread: Winst / verlies
$90	$0	−$500	−$200	−$200
$100	$0	−$500	−$200	−$200
$102	+$200	−$300	$0	$0
$105	+$500	$0	+$300	+$300
$110	+$500	$0	+$300	+$300

Alle bedragen zijn totalen in dollars voor één volledige spread. De waarde van Positie, met teken, is de intrinsieke waarde van de gekochte optie minus die van de geschreven optie, zonder de openingswaarde mee te rekenen. Winst / verlies omvat ook de openingspremies. De berekeningen laten provisies en overige kosten, financiering, belastingen, tussentijdse kasstromen uit uitoefening of toewijzing en latere resultaten op aandelenposities buiten beschouwing.

Bij $100 of lager hebben beide calls geen intrinsieke waarde, zodat de callspread het debetbedrag van $200 verliest. De putspread heeft dan een nettoverplichting van $500, deels gecompenseerd door het openingscredit van $300. Bij $90 draagt de geschreven $105-put bijvoorbeeld −$1.500 bij en de gekochte $100-put +$1.000. De resterende −$500 plus de oorspronkelijke ontvangst van $300 geeft hetzelfde verlies van $200.

Bij $105 of hoger bereikt de intrinsieke waarde van de callspread $500 en groeit die niet verder. Boven $105 wordt elke extra dollar aan waarde van de gekochte call gecompenseerd door een extra dollar verplichting uit de geschreven call. Na aftrek van het debetbedrag van $200 blijft $300 winst over. De putspread bereikt diezelfde winst op een andere manier: beide puts hebben geen intrinsieke waarde, zodat het oorspronkelijke creditbedrag van $300 overblijft.

Tussen de uitoefenprijzen verbetert elke stijging van $1 in de aandelenkoers bij expiratie het resultaat van elke spread met $100. De callspread wordt meer waard en de verplichting van de putspread neemt met hetzelfde bedrag af.

De positiewaarden verschillen; de winsten komen overeen

De twee kolommen met de waarde van Positie zijn niet gelijk. De expiratiewaarde met teken van de callspread is altijd $500 hoger dan die van de putspread.

Maar ook bij opening hadden de posities verschillende waarden met teken. Met de hypothetische premies begon de callspread op +$200, betaald met een uitgaande kasstroom van $200. De putspread begon op −$300, met een inkomende kasstroom van $300. Het teken van de optiepositie is het tegenovergestelde van dat van de kasstroom bij opening.

Zonder financiering en kosten is de berekening:

\text{Winst / verlies}=\text{waarde van Positie bij expiratie met teken}-\text{openingswaarde met teken}

Bij een expiratiekoers van $102 geeft dat:

\text{Winst / verlies callspread}=\$200-\$200=0

\text{Winst / verlies putspread}=-\$300-(-\$300)=0

Het voordeel van $500 in de positiewaarde van de callspread bij expiratie wordt precies gecompenseerd door het verschil van $500 tussen de openingswaarden met teken. Voor dezelfde winst of hetzelfde verlies hoeven de optiewaarden vóór verrekening van de openingswaarde niet gelijk te zijn.

Hieruit volgt de algemene voorwaarde voor een exacte overeenkomst. Noem het verschil tussen de uitoefenprijzen $W=K_H-K_L$ , het debetbedrag per aandeel van de callspread $d$ en het creditbedrag per aandeel van de putspread $c$ . Voor $q$ volledige één-op-éénspreads met overeenkomende voorwaarden en multiplier $M$ is het verschil in winst of verlies bij expiratie:

\text{Winst / verlies callspread}-\text{Winst / verlies putspread}=qM(W-d-c)

De aandelenkoers bij expiratie komt niet in deze uitdrukking voor: het verschil is over de hele curve constant. Zonder financiering en kosten vallen de curves dus samen wanneer:

d+c=W

Hier geldt $2+3=5$ , met $q=1$ en $M=100$ . Beide spreads hebben een maximale winst bij expiratie van $300, een maximaal verlies bij expiratie van $200 en een break-evenpunt bij expiratie van $102. Het break-evenpunt van de callspread is de lagere uitoefenprijs plus het debetbedrag, $100+2=102$ ; dat van de putspread is de hogere uitoefenprijs minus het creditbedrag, $105-3=102$ . Deze formules voor een break-evenpunt tussen de uitoefenprijzen gaan uit van een positief debet- of creditbedrag dat kleiner is dan de spreadbreedte, zoals in dit voorbeeld. 2 3

Als het debet- en creditbedrag samen niet gelijk zijn aan de spreadbreedte, houden de overeenkomstige spreads dezelfde vorm bij expiratie, maar ligt de ene curve van Winst / verlies boven of onder de andere. De vergelijking vereist dezelfde onderliggende waarde, uitoefenprijzen, expiratie, aantallen en leveringsspecificaties, niet alleen twee spreads die toevallig $5 breed zijn. Het opschalen van volledige, overeenkomstige spreads vermenigvuldigt de dollarresultaten zonder de break-evenkoers te veranderen. Expiratiewaarde en break-even behandelt de afzonderlijke berekeningen uitgebreider.

Waarom rente de prijsvergelijking verandert

De bovenstaande gelijkheid volgt uit de berekening van het resultaat bij expiratie. Het is geen regel die zegt dat actuele premies altijd aan $d+c=W$ moeten voldoen.

Bij Europese opties, die alleen bij expiratie kunnen worden uitgeoefend, verbindt put-callpariteit calls en puts op dezelfde onderliggende waarde, met dezelfde uitoefenprijs en expiratie. Bij ideale financiering en een continu dividendrendement luidt de relatie per aandeel:

C(K)-P(K)=S_0e^{-aT}-Ke^{-rT}

Hier zijn $C(K)$ en $P(K)$ de call- en putprijzen bij uitoefenprijs $K$ , is $S_0$ de aandelenkoers bij opening, $a$ het continue dividendrendement, $r$ de continu samengestelde jaarrente en $T$ de resterende looptijd in jaren. 4 5

Trek je de relatie bij de hogere uitoefenprijs af van die bij de lagere, dan volgt:

d+c=We^{-rT}

De gemeenschappelijke term voor het aandeel en de dividenden valt weg. De som van debet en credit is gelijk aan de contante waarde van het verschil tussen de uitoefenprijzen, niet noodzakelijk aan dat volledige verschil. Intuïtief heeft de callpositie bij expiratie $500 extra waarde; de extra economische kosten vandaag zijn de contante waarde van die toekomstige $500.

Neem voor een afzonderlijke hypothetische vergelijking met Europese opties een spreadbreedte van $5, een continu samengestelde jaarrente van 4% en 45 dagen, met $T=45/365.25$ :

5e^{-0.04(45/365.25)}\approx\$4.97542

Als de premies aan die relatie voldoen, ligt na aftrek van de openingspremies, maar zonder rente mee te rekenen, het nominale expiratieresultaat van de callspread ongeveer $2,46 hoger dan dat van de putspread per volledige spread op 100 aandelen. Dat is het financieringsverschil, geen onverklaard voordeel in de payoff.

Bij ideale financiering tegen dezelfde rente wordt het openingsdebet tot expiratie opgerent tot $de^{rT}$ en het openingscredit tot $ce^{rT}$ . Het verschil in winst of verlies bij expiratie wordt dan:

\text{Winst / verlies callspread}_{\text{met financiering}}-\text{Winst / verlies putspread}_{\text{met financiering}} =qM\bigl[W-(d+c)e^{rT}\bigr]=0

De laatste gelijkheid volgt uit de Europese prijsidentiteit. Werkelijke leenrentes, rente op kassaldi, beperkingen rond onderpand en uitvoeringskosten moeten apart worden behandeld. De Options Industry Council beschrijft de overeenkomstige profielen eveneens als een vergelijking na correctie voor de kosten van het aanhouden van de positie. 3 4

Bij een rente van nul wordt de Europese identiteit $d+c=W$ . Het hoofdvoorbeeld is zo gekozen dat het aan die berekening zonder discontering voldoet; het beweert niet dat de huidige marktrente nul is.

Waar de overeenkomst ophoudt

Amerikaanse uitoefenrechten en toewijzing

De opties in het hoofdvoorbeeld zijn standaard aandelenopties uit de Verenigde Staten, van het Amerikaanse type: ze kunnen vóór expiratie worden uitgeoefend. Door dat recht op vervroegde uitoefening kun je de strikte Europese put-callpariteit niet zonder aanpassingen op hun premies toepassen. Dividenden en het moment waarop de uitoefenprijs wordt betaald, kunnen uitoefenbeslissingen en werkelijke waarden beïnvloeden, ook al valt de dividendterm weg in de ideale prijsidentiteit voor Europese verticale spreads. 1 4

Ook de verplichtingen bij toewijzing verschillen. Bij toewijzing van de geschreven call met uitoefenprijs $105 moet je 100 aandelen leveren tegen $105 per stuk. Bij toewijzing van de geschreven put met uitoefenprijs $105 moet je 100 aandelen kopen tegen $105 per stuk, een aankoop van $10.500. In elke spread blijft de gekochte optie met uitoefenprijs $100 een afzonderlijk contract. Toewijzing van de geschreven poot leidt niet automatisch tot uitoefening van de gekochte poot en wikkelt ook niet de hele positie af. 6

Deze opties worden afgewikkeld via levering van aandelen, niet door het nettobedrag in dollars uit de tabel automatisch in contanten te verrekenen. De tabel bepaalt niet welke contracten worden uitgeoefend of welke aandelen daarna overblijven. Een maximaal verlies bij expiratie van $200 betekent daarom niet dat de rekening nooit met grotere financierings- of aandelenleveringsverplichtingen te maken kan krijgen. Latere winsten of verliezen op aangehouden aandelen vallen buiten die grens aan het optieresultaat. 1 6

Sluitingsprijzen, kapitaal en kans op winst

Om een van beide spreads vóór expiratie te sluiten, verkoop je de gekochte optie en koop je de geschreven optie terug. De beschikbare transactieprijzen van beide opties tellen mee. Dezelfde curve bij expiratie garandeert geen identieke tussentijdse waarderingskoersen of sluitingsresultaten tegen daadwerkelijk uitvoerbare prijzen, na rekening te houden met bied-laatspreads, kosten, financiering en de effecten van Amerikaanse uitoefenrechten. 2 3 De uitgewerkte gids over de waarde van een debetspread vóór expiratie legt uit waarom een koers boven beide uitoefenprijzen niet betekent dat je de spread eerder kunt sluiten voor een bedrag gelijk aan de spreadbreedte.

Ook het gelijke verlies van $200 bij expiratie betekent niet dat de broker identieke margineisen of eisen aan de beschikbare koopkracht hanteert. Het openingscredit is op zichzelf geen maatstaf voor het kapitaal dat nodig is om de positie aan te houden of te beheren. Risico, margin en toewijzing maakt onderscheid tussen grenzen aan het expiratieresultaat, onderpand en de financiering van aandelen.

In dit geconstrueerde voorbeeld maken beide spreads bij expiratie alleen winst als de aandelenkoers boven $102 eindigt. Bij dezelfde veronderstelde verdeling van expiratiekoersen is de gebeurtenis die winst oplevert voor beide dus dezelfde. De tabel vertelt echter niet hoe waarschijnlijk dat is en geeft geen schatting van het verwachte rendement. Het woord ‘credit’ houdt op zichzelf geen hogere winstkans in.

De spreads vergelijken in Options Calculator

Voer in de optiecalculator elk van beide spreads afzonderlijk in op één onderliggende waarde, met Instapkoers op $101, een aantal van 1 per poot en de standaardmultiplier van 100 aandelen. Gebruik bij het vergelijken van de twee constructies dezelfde toekomstige expiratie, impliciete volatiliteit, rente en hetzelfde dividendrendement. De calculator modelleert contracten van het Amerikaanse type en gebruikt deze invoerwaarden voor alle optiepoten.

Kies voor de vergelijking bij expiratie Winst / verlies in de weergave Aandelenkoers en stel Analysedatum in op de expiratiedatum. Lees de curve bij verschillende aandelenkoersen af, terwijl je Instapkoers op $101 laat staan. Winst / verlies trekt de modelopeningswaarde met teken af; Positie toont de optiewaarde met teken vóór die aftrek. Zoals de tabel laat zien, zijn die verticale niveaus niet onderling uitwisselbaar.

De calculator berekent de openingspremies opnieuw op basis van Instapkoers, de datum van vandaag, impliciete volatiliteit, rente en dividendrendement. Het wijzigen van openingsaannames verandert die referentie; het aflezen van een andere koers op de curve doet dat niet. Er is geen invoerveld voor werkelijke uitvoeringsprijzen waarmee je de voor dit voorbeeld gekozen callpremies van $6/$4 en putpremies van $8/$5 kunt vastzetten. Het invoeren van deze optiepoten garandeert dus niet dat de calculator deze tabel met dollarbedragen precies reproduceert.

Het model gebruikt hele kalenderdagen, met een resterende modeltijd van nul wanneer de optie vandaag expireert. Het houdt geen kasboek bij voor de financiering en neemt geen kosten, belastingen, brokermargin, aandelen die door toewijzing ontstaan of een schema met afzonderlijke dividendbetalingen mee. Het levert geen livekoersen en ook geen onafhankelijke schatting van kansen of verwacht rendement. Zie de stapsgewijze handleiding voor de calculator voor de bediening en de methodologie voor details over waardering, datums en reikwijdte.