Warum ein Call-Debit-Spread und ein Put-Credit-Spread bei Verfall dasselbe Ergebnis liefern können

Angenommen, eine hypothetische Aktie notiert bei 101 $. Sie zahlen 200 $, um einen Call-Spread mit den Ausübungspreisen 100 $ und 105 $ zu eröffnen. Alternativ erhalten Sie 300 $ für die Eröffnung eines Put-Spreads mit denselben Ausübungspreisen. Trotz entgegengesetzter Zahlungsströme bei Eröffnung können beide Positionen bei Verfall genau denselben Gewinn oder Verlust aufweisen.

Alle vier Optionen haben denselben künftigen Verfallstermin und denselben Lieferumfang, mit einem standardisierten US-Aktienoptionskontrakt je Leg. Jeder Kontrakt umfasst 100 Aktien; eine Prämie von 1 $ je Aktie entspricht somit 100 $ je Kontrakt. Die folgenden Prämien sind hypothetische, für das Beispiel gewählte Beträge, keine Echtzeitkurse, Marktschätzungen oder Ergebnisse des Rechners. Für diese Berechnung des Ergebnisses bei Verfall ist keine bestimmte Restlaufzeit erforderlich. 1

Beim Call-Debit-Spread kaufen Sie den Call mit Ausübungspreis 100 $ für 6 $ je Aktie und verkaufen den Call mit Ausübungspreis 105 $ für 4 $. Sie zahlen 600 $ und erhalten 400 $, was einen Nettoaufwand von 200 $ ergibt. Diese Kombination aus einem gekauften Call mit niedrigerem und einem verkauften Call mit höherem Ausübungspreis heißt auch Bull-Call-Spread. 2

Beim Put-Credit-Spread verkaufen Sie den Put mit Ausübungspreis 105 $ für 8 $ je Aktie und kaufen den Put mit Ausübungspreis 100 $ für 5 $. Sie erhalten 800 $ und zahlen 500 $, was eine Nettogutschrift von 300 $ ergibt. Diese Kombination aus einem verkauften Put mit höherem und einem gekauften Put mit niedrigerem Ausübungspreis heißt auch Bull-Put-Spread. 3

„Debit“ und „Credit“ beschreiben, ob bei der Eröffnung des Spreads Geld vom Konto abfließt oder ihm zufließt. Daraus allein lässt sich nicht ablesen, wie viel die Position am Ende gewinnen oder verlieren kann. Eine Gutschrift von 300 $ zu erhalten ist nicht dasselbe, wie 300 $ Gewinn erzielt zu haben: Mit dem Put-Spread ist weiterhin eine Verpflichtung verbunden.

Die Zahlungsströme bis zum Verfall verfolgen

Beginnen wir mit einem Aktienkurs bei Verfall von 102 $.

Der gekaufte Call mit Ausübungspreis 100 $ hat einen inneren Wert von 2 $ je Aktie, der verkaufte Call mit Ausübungspreis 105 $ dagegen keinen. Der Call-Spread ist bei Verfall somit 200 $ wert. Das gleicht den Nettoaufwand von 200 $ bei Eröffnung genau aus; der Gewinn ist null.

Beim Put-Spread hat der verkaufte Put mit Ausübungspreis 105 $ einen inneren Wert von 3 $ je Aktie zu Ihren Lasten, während der gekaufte Put mit Ausübungspreis 100 $ keinen inneren Wert hat. Aus den inneren Werten ergibt sich eine Nettoverpflichtung von 300 $. Sie gleicht die bei Eröffnung erhaltenen 300 $ genau aus; auch hier ist der Gewinn null.

Dieselbe Rechnung gilt über das gesamte Spektrum möglicher Aktienkurse bei Verfall:

Aktienkurs bei Verfall	Call-Spread: Wert unter Position (mit Vorzeichen)	Put-Spread: Wert unter Position (mit Vorzeichen)	Gewinn / Verlust des Call-Spreads	Gewinn / Verlust des Put-Spreads
90 $	0 $	−500 $	−200 $	−200 $
100 $	0 $	−500 $	−200 $	−200 $
102 $	+200 $	−300 $	0 $	0 $
105 $	+500 $	0 $	+300 $	+300 $
110 $	+500 $	0 $	+300 $	+300 $

Alle Beträge sind Gesamtwerte in Dollar für einen vollständigen Spread. Der Wert unter Position berücksichtigt die Vorzeichen: Der innere Wert der gekauften Option wird addiert und derjenige der verkauften Option abgezogen, noch ohne die Einstiegsprämien einzubeziehen. Gewinn / Verlust berücksichtigt zusätzlich die Einstiegsprämien. Die Berechnungen lassen Provisionen und Gebühren, Finanzierung, Steuern, zwischenzeitliche Zahlungsströme aus Ausübung oder Zuteilung sowie spätere Ergebnisse von Aktienpositionen unberücksichtigt.

Bei 100 $ oder weniger haben beide Calls keinen inneren Wert; der Call-Spread verliert deshalb die gezahlte Nettoprämie von 200 $. Der Put-Spread hat dagegen eine Nettoverpflichtung von 500 $, die durch seine anfängliche Nettogutschrift von 300 $ teilweise ausgeglichen wird. Bei 90 $ trägt beispielsweise der verkaufte Put mit Ausübungspreis 105 $ einen Wert von −1.500 $ und der gekaufte Put mit Ausübungspreis 100 $ einen Wert von +1.000 $ bei. Die verbleibenden −500 $ ergeben zusammen mit den ursprünglich erhaltenen 300 $ denselben Verlust von 200 $.

Bei 105 $ oder mehr erreicht der innere Wert des Call-Spreads 500 $ und steigt nicht weiter. Oberhalb von 105 $ steht jedem zusätzlichen Dollar Wert des gekauften Calls ein zusätzlicher Dollar Verpflichtung aus dem verkauften Call gegenüber. Nach Abzug der gezahlten Nettoprämie von 200 $ bleiben 300 $ Gewinn. Der Put-Spread erreicht diesen Gewinn auf andere Weise: Beide Puts haben keinen inneren Wert, sodass die anfängliche Gutschrift von 300 $ verbleibt.

Zwischen den Ausübungspreisen verbessert jeder zusätzliche Dollar Aktienkurs bei Verfall das Ergebnis jedes Spreads um 100 $. Der Vermögenswert des Call-Spreads steigt dabei um denselben Betrag, um den die Verpflichtung aus dem Put-Spread sinkt.

Unterschiedliche Positionswerte, gleiche Gewinne und Verluste

Die beiden Spalten für den Wert unter Position sind nicht identisch. Der vorzeichenbehaftete Wert des Call-Spreads bei Verfall liegt immer 500 $ über dem des Put-Spreads.

Allerdings unterschieden sich die vorzeichenbehafteten Positionswerte auch bei Eröffnung. Mit den hypothetischen Prämien hatte der Call-Spread einen Anfangswert von +200 $, bezahlt durch einen Mittelabfluss von 200 $. Der Put-Spread begann mit einem Wert von −300 $, begleitet von einem Mittelzufluss von 300 $. Das Vorzeichen der Optionsposition ist dem des Zahlungsstroms bei Eröffnung entgegengesetzt.

Ohne Finanzierung und Kosten lautet die Rechnung:

\text{Gewinn / Verlust}=\text{Positionswert bei Verfall mit Vorzeichen}-\text{Einstiegswert mit Vorzeichen}

Bei einem Aktienkurs von 102 $ am Verfallstag ergibt das:

\text{Gewinn / Verlust des Call-Spreads}=\$200-\$200=0

\text{Gewinn / Verlust des Put-Spreads}=-\$300-(-\$300)=0

Der um 500 $ höhere Positionswert des Call-Spreads bei Verfall wird durch den Unterschied von 500 $ zwischen den vorzeichenbehafteten Einstiegswerten genau ausgeglichen. Gleiche Gewinne und Verluste setzen keine gleichen Optionswerte vor Berücksichtigung des Einstiegs voraus.

Daraus ergibt sich die allgemeine Bedingung für eine exakte Übereinstimmung. Sei $W=K_H-K_L$ der Abstand zwischen den Ausübungspreisen, $d$ die gezahlte Nettoprämie des Call-Spreads je Aktie und $c$ die erhaltene Nettoprämie des Put-Spreads je Aktie. Für $q$ vollständige, aufeinander abgestimmte Spreads mit einem Verhältnis von 1:1 zwischen den Legs und dem Multiplikator $M$ beträgt die Differenz der Ergebnisse bei Verfall:

\text{Gewinn / Verlust des Call-Spreads}-\text{Gewinn / Verlust des Put-Spreads}=qM(W-d-c)

Der Aktienkurs bei Verfall kommt in diesem Ausdruck nicht vor: Die Differenz ist über die gesamte Kurve konstant. Ohne Finanzierung und Kosten fallen die Kurven daher zusammen, wenn:

d+c=W

Hier gilt $2+3=5$ , mit $q=1$ und $M=100$ . Beide Spreads haben einen maximalen Gewinn bei Verfall von 300 $, einen maximalen Verlust bei Verfall von 200 $ und eine Gewinnschwelle bei Verfall von 102 $. Beim Call-Spread ergibt sich die Gewinnschwelle aus dem niedrigeren Ausübungspreis plus gezahlter Nettoprämie, $100+2=102$ ; beim Put-Spread aus dem höheren Ausübungspreis minus erhaltener Nettoprämie, $105-3=102$ . Diese Formeln für eine Gewinnschwelle zwischen den Ausübungspreisen setzen voraus, dass die gezahlte beziehungsweise erhaltene Nettoprämie positiv und kleiner als der Abstand zwischen den Ausübungspreisen ist, wie in diesem Beispiel. 2 3

Ergibt die Summe aus gezahlter und erhaltener Nettoprämie nicht den Abstand zwischen den Ausübungspreisen, haben die aufeinander abgestimmten Spreads weiterhin dieselbe Ergebnisform bei Verfall. Eine Gewinn-Verlust-Kurve liegt dann jedoch über oder unter der anderen. Für den Vergleich müssen Basiswert, Ausübungspreise, Verfallstermin, Stückzahlen und Lieferumfang übereinstimmen; zwei Spreads mit jeweils 5 $ Abstand zwischen den Ausübungspreisen reichen dafür nicht aus. Eine proportionale Erhöhung der Anzahl vollständiger, aufeinander abgestimmter Spreads vervielfacht die Dollarergebnisse, ohne die Gewinnschwelle zu ändern. Der Leitfaden Auszahlungsprofil und Gewinnschwelle erläutert die einzelnen Berechnungen genauer.

Warum Zinsen den Preisvergleich verändern

Die obige Gleichheit folgt aus der Berechnung der Ergebnisse bei Verfall. Sie ist keine Regel, nach der aktuelle Marktprämien stets $d+c=W$ erfüllen müssten.

Bei europäischen Optionen, die nur bei Verfall ausgeübt werden können, verknüpft die Put-Call-Parität Calls und Puts mit demselben Basiswert, Ausübungspreis und Verfallstermin. Unter idealen Finanzierungsbedingungen und bei einer stetigen Dividendenrendite gilt je Aktie:

C(K)-P(K)=S_0e^{-aT}-Ke^{-rT}

Dabei sind $C(K)$ und $P(K)$ die Call- und Put-Preise zum Ausübungspreis $K$ , $S_0$ der Aktienkurs bei Eröffnung, $a$ die stetige Dividendenrendite, $r$ der Jahreszinssatz bei stetiger Verzinsung und $T$ die Restlaufzeit in Jahren. 4 5

Zieht man die Beziehung für den höheren Ausübungspreis von derjenigen für den niedrigeren ab, ergibt sich:

d+c=We^{-rT}

Der gemeinsame Aktien- und Dividendenterm fällt weg. Die Summe aus gezahlter und erhaltener Nettoprämie entspricht dem Barwert des Abstands zwischen den Ausübungspreisen, nicht zwingend dem vollen Abstand. Anschaulich hat die Call-Position bei Verfall einen Mehrwert von 500 $; ihre zusätzlichen wirtschaftlichen Kosten heute entsprechen dem Barwert dieser künftigen 500 $.

Für einen gesonderten hypothetischen Vergleich europäischer Optionen verwenden wir einen Abstand von 5 $, einen Jahreszinssatz von 4 % bei stetiger Verzinsung und 45 Tage, mit $T=45/365.25$ :

5e^{-0.04(45/365.25)}\approx\$4.97542

Erfüllen die Prämien diese Beziehung und werden die Einstiegsprämien ohne Berücksichtigung von Zinsen abgezogen, fällt das nominale Ergebnis des Call-Spreads bei Verfall je vollständigem Spread über 100 Aktien etwa 2,46 $ höher aus. Das ist der Finanzierungsunterschied, kein unerklärter Vorteil im Auszahlungsprofil.

Eine ideale Finanzierung zum selben Zinssatz wird berücksichtigt, indem die gezahlte Nettoprämie als $de^{rT}$ und die erhaltene Nettoprämie als $ce^{rT}$ bis zum Verfall aufgezinst werden. Die Differenz der Ergebnisse bei Verfall lautet dann:

\text{Gewinn / Verlust des Call-Spreads}_{\text{mit Finanzierung}}-\text{Gewinn / Verlust des Put-Spreads}_{\text{mit Finanzierung}} =qM\bigl[W-(d+c)e^{rT}\bigr]=0

Die letzte Gleichheit folgt aus der Preisidentität für europäische Optionen. Tatsächliche Kreditzinsen, Guthabenzinsen, Beschränkungen bei der Verwendung von Sicherheiten und Ausführungskosten müssen gesondert behandelt werden. Auch der Options Industry Council beschreibt die übereinstimmenden Profile als Vergleich unter Berücksichtigung der Halte- und Finanzierungskosten. 3 4

Bei einem Zinssatz von null vereinfacht sich die europäische Identität zu $d+c=W$ . Das Hauptbeispiel wurde so gewählt, dass es diese Rechnung ohne Abzinsung erfüllt; es behauptet nicht, dass die aktuellen Marktzinsen null sind.

Wo die Gemeinsamkeiten enden

Ausübungsrechte bei amerikanischen Optionen und Zuteilung

Die standardisierten US-Aktienoptionen im Hauptbeispiel sind amerikanischen Typs: Sie können vor dem Verfall ausgeübt werden. Wegen dieses Rechts zur vorzeitigen Ausübung lässt sich die strikte europäische Parität nicht unverändert auf ihre Prämien übertragen. Dividenden und der Zeitpunkt, zu dem der Ausübungspreis gezahlt wird, können Ausübungsentscheidungen und tatsächliche Optionswerte beeinflussen, auch wenn der Dividendenterm in der idealen Identität für europäische vertikale Spreads wegfällt. 1 4

Auch die Verpflichtungen bei einer Zuteilung unterscheiden sich. Die Zuteilung des verkauften Calls mit Ausübungspreis 105 $ verpflichtet zur Lieferung von 100 Aktien zu je 105 $. Die Zuteilung des verkauften Puts mit Ausübungspreis 105 $ verpflichtet zum Kauf von 100 Aktien zu je 105 $, also für 10.500 $. In jedem Spread bleibt die gekaufte Option mit Ausübungspreis 100 $ ein eigenständiger Kontrakt. Die Zuteilung des verkauften Legs führt nicht automatisch zur Ausübung des gekauften Legs oder zur Abwicklung der gesamten Position. 6

Diese Optionen werden durch Aktienlieferung erfüllt, nicht durch einen automatischen Barausgleich in Höhe des Nettobetrags aus der Tabelle. Die Tabelle legt nicht fest, welche Kontrakte ausgeübt werden oder welche Aktienpositionen anschließend bestehen bleiben. Ein maximaler Verlust bei Verfall von 200 $ bedeutet daher nicht, dass für das Konto keine darüber hinausgehenden Finanzierungs- oder Aktienlieferpflichten entstehen können. Spätere Gewinne oder Verluste aus weiter gehaltenen Aktien liegen außerhalb dieser Begrenzung des Optionsergebnisses. 1 6

Glattstellungspreise, Kapital und Wahrscheinlichkeit

Vor dem Verfall wird jeder der beiden Spreads geschlossen, indem die gekaufte Option verkauft und die verkaufte Option zurückgekauft wird. Dabei zählen beide verfügbaren Transaktionspreise. Übereinstimmende Kurven bei Verfall garantieren weder identische zwischenzeitliche Bewertungskurse noch identische Ergebnisse bei einer tatsächlich ausführbaren Glattstellung, wenn Geld-Brief-Spannen, Kosten, Finanzierung und die Auswirkungen amerikanischer Ausübungsrechte berücksichtigt werden. 2 3 Der Leitfaden mit Rechenbeispiel zum Wert eines Debit-Spreads vor dem Verfall erklärt, warum ein Aktienkurs oberhalb beider Ausübungspreise nicht bedeutet, dass der Spread bei einer vorzeitigen Glattstellung den vollen Abstand zwischen den Ausübungspreisen wert ist.

Ebenso wenig bedeutet der übereinstimmende Verlust bei Verfall von 200 $, dass die Marginanforderungen des Brokers oder die benötigte Kaufkraft identisch sind. Die anfängliche Nettogutschrift allein gibt nicht an, welches Kapital nötig ist, um die Position zu halten oder zu verwalten. Der Leitfaden Risiko, Margin und Zuteilung unterscheidet zwischen den Grenzen des Optionsergebnisses, erforderlichen Sicherheiten und der Finanzierung von Aktien.

In diesem hypothetischen Beispiel erzielen beide Spreads bei Verfall nur dann einen Gewinn, wenn die Aktie über 102 $ notiert. Unter derselben angenommenen Verteilung der Aktienkurse bei Verfall ist das Gewinnereignis damit für beide identisch. Die Tabelle zeigt aber weder, wie wahrscheinlich dieses Ereignis ist, noch liefert sie eine Schätzung der erwarteten Rendite. Die Bezeichnung „Credit“ bringt für sich genommen keinen Vorteil bei der Gewinnwahrscheinlichkeit mit sich.

Die Spreads in Options Calculator vergleichen

Geben Sie im Optionsrechner die beiden Spreads jeweils separat auf demselben Basiswert ein, mit Einstiegskurs bei 101 $, einer Kontraktanzahl von 1 je Leg und dem Standardmultiplikator von 100 Aktien. Verwenden Sie für den Vergleich denselben künftigen Verfallstermin und dieselben Werte für Implizite Volatilität, Risikofreier Zinssatz und Dividendenrendite. Der Rechner modelliert Kontrakte amerikanischen Typs und wendet diese Eingaben auf alle Options-Legs an.

Wählen Sie für den Vergleich bei Verfall in der Ansicht Aktienkurs die Anzeige Gewinn / Verlust und setzen Sie Analysedatum auf den Verfallstermin. Lesen Sie die Kurve bei verschiedenen Aktienkursen ab, während Einstiegskurs auf 101 $ bleibt. Gewinn / Verlust zieht den vorzeichenbehafteten Modellwert bei Einstieg ab; Position zeigt den vorzeichenbehafteten Optionswert vor diesem Abzug. Wie die Tabelle zeigt, sind diese Werte auf der vertikalen Achse nicht austauschbar.

Der Rechner berechnet die Einstiegsprämien aus Einstiegskurs, dem heutigen Datum sowie den Werten für Implizite Volatilität, Risikofreier Zinssatz und Dividendenrendite neu. Eine Änderung der Annahmen bei Eröffnung verändert diese Ausgangsbewertung; das Ablesen eines anderen Kurses auf der Kurve tut dies nicht. Es gibt keine Eingabe für tatsächliche Ausführungspreise, mit der sich die hypothetischen Call-Prämien von 6 $ und 4 $ sowie die Put-Prämien von 8 $ und 5 $ festschreiben ließen. Die Eingabe dieser Legs garantiert daher nicht, dass der Rechner die Dollarbeträge dieser Tabelle exakt reproduziert.

Das Modell verwendet ganze Kalendertage; am Verfallstag selbst beträgt die verbleibende Modelllaufzeit null. Es führt keine Kontorechnung über die mit der Finanzierung verbundenen Zahlungsströme und berücksichtigt weder Gebühren noch Steuern, Broker-Margin, durch Zuteilung entstandene Aktienpositionen oder einen Kalender einzelner Dividendenzahlungen. Es liefert weder Echtzeitkurse noch eine eigenständige Schätzung der Wahrscheinlichkeit oder der erwarteten Rendite. Die Anleitung zum Rechner erläutert die Bedienelemente; die Methodik enthält Einzelheiten zur Bewertung, zur Datumsberechnung und zum Funktionsumfang.